1、1第四节 函数 yAsin(x)的图象与性质最新考纲1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出 yAsin(x)的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题知识梳理1. yAsin(x)的有关概念振幅 周期 频率 相位 初相 yAsin(x)(A0，0，0)，表示一个振动量时 A T2f 1T 2x 2.作函数 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的图象主要有以下两种方法:(1)用“五点法”作图:用“五点法”作 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由 z 取 0
2、, , ,2 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点的纵坐标,描点、连线后得出图象, 如下表所示x 2 32 2 x 0 2 32 2yAsin(x) 0 A 0 A 0(2)用“图象变换法”作图:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(x+)(其中 A0,0)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.先平移后伸缩:y=sin x 的图- y=sin(x+)的图象 (相位变换)- y=sin(x+)的 图象 (周期变换)- y=Asin(x+)的图象. ( 振幅变换)先伸缩后平移:y=sin x 的图象- y=sinx 的图象- y=sin(x+)的图象-
3、 y=Asin(x+)的图象.【方法技巧】 两种变换的差异2先平移变换后伸缩变换，平移的量是|个单位，而先伸缩变换再平移变换，平移的量是 (0)个| |单位，原因是平移变换与伸缩变换都是对 x 而言的3必清误区(1)把函数 yAsin x 的图象向右平移 (0)个单位，得到的图象解析式为 yAsin (x)，而不是 yAsin(x)(2)把函数 yAsin(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍，得到的图象解析式为yAsin ，而不是 yAsin(kxk)( kx )典型例题考点一 三角函数的图象变换【例 1】 已知函数 f(x)3sin ， xR. (12x 4)（1）画出函数
4、 f(x)在一个周期的闭区间上的简图；（2）将函数 ysin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图像？【解析】（1）列表取值：x 232527292x12 40 2 322f(x) 0 3 0 3 0描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图（2）先把 ysin x 的图像向右平移 个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍，再把所有点的 4纵坐标扩大为原来的 3 倍，得到 f(x)的图像【例 2】 已知 a(2cosx，cos2x)，b(sinx， )，f(x)ab.3(1) 求 f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象；(2) 说明它可以由函数 ysinx 的图
5、象经过怎样的变换得到【解析】(1) f(x)absin2x cos2x2sin ，周期 T，振幅 A2.列表从略，图象如下：3 (2x 3)3(2) f(x)可以由 ysinx 的图象上各点右移 个单位后，再将纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标缩短到原 3来的 而得到12规律方法(1)变换法作图像的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 x 确定平移单位(x )(2)用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设 z x ，由 z 取 0， ， ，2 来求出相应 2 32的 x，通过列表，描点得出图像如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定（3）“五点法”作图的列表技巧
6、：表中“五点”相邻两点的横向距离均为 .T4【变式训练 1】(1)将函数 y2sin 的图像向右平移 个周期后，所得图像对应的函数为( )(2x 6) 14A y2sin B y2sin(2x 4) (2x 3)C y2sin D y2sin(2x 4) (2x 3)【答案】D.【解析】函数 y2sin 的周期为 ，将函数 y 2sin 的 图像向右平移 周期即 个单位长(2x 6) (2x 6) 14 4度，所得图像对应的函数为 y2sin 2sin ，故选 D2(x 4) 6 (2x 3)(2)将函数 ycos 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平移 个单位，(
7、x 3) 6所得函数图象的一条对称轴是( )A x B x C x D x 4 6 2【答案】 D【解析】 ycos ycos ycos ，即 ycos(x 3) 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2倍 纵 坐 标 不 变 (12x 3) 12(x 6) 3.(12x 4)(3)要得到函数 f(x)cos 的图像，只需将函数 g(x)sin 的图像( )(2x 3) (2x 3)4A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 2 2C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 4 4【答案】C.【解析】 f(x)cos sin ，故把 g(x)sin 的图像向左平移 个单位，即得函(2x
8、 3) (2x 56) (2x 3) 4数 f(x)sin 的图像，即得到函数 f(x)cos 的图像，故选 C2(x 4) 3 (2x 3)考点二 求函数 yAsin(x)的解析式【例 3 】 (1)(2016全国卷)函数 y Asin(x )的部分图像如图所示，则( )A y2sin B y2sin(2x 6) (2x 3)C y2sin D y2sin(x 6) (x 3)【答案】 A.(2)已知函数 y Asin(x ) b(A0， 0)的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为 ，直线 x 2是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( ) 3A y4sin B y2sin
9、 2(4x 6) (2x 3)C y2sin 2 D y2sin 2(4x 3) (4x 6)【答案】D.【解析】由函数 y Asin(x ) b 的最大 值为 4，最小值为 0，可知 b2， A2.由函数的最小正周期为 ，可知 ，得 4.由直线 x 是其图像的一条对称轴，可知 4 k ， kZ， 2 2 2 3 3 25从而 k ， kZ，故满足题意的是 y2sin 2.56 (4x 6)规律方法 确定 y Asin(x ) b(A0， 0)的步骤和方法(1)求 A， b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A ， b ；M m2 M m2(2)求 ：确定函数的周期 T，则可得 ；2T(
10、3)求 ：常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时 A， ， b 已知)或代入图像与直线 y b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口“第一点”(即图像上升时与 x轴的交点)时 x 0；“第二点”(即图像的“峰点”)时 x ；“第三点”(即图像下降时与 2x 轴的交点)时 x ；“第四点”(即图像的“谷点”)时 x ；“第五点”时32x 2.【变式训练 2】（1）函数 f(x)cos( x )的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( )A. ， kZ B. ， kZ(k 14， k 34) (
11、2k 14， 2k 34)C. ， kZ D. ， kZ(k14， k 34) (2k 14， 2k 34)【答案】 D【解析】 由图象可知 2 m， 2 m， mZ，所以 4 2 54 32 ， 2 m， mZ，所以函数 f(x)cos cos 的单调递减区间为 4 ( x 4 2m ) ( x 4)2k0， | |0， 0)的图象过点 P ，图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q(12， 0).( 3， 5)(1)求函数的解析式； (2)求函数 f(x)的递增区间【答案】（1） y5sin .（2） (kZ)(2x 6) k 6， k 3【解析】 (1)依题意得 A5，周期 T4 ，( 3
12、 12) 2.故 y5sin(2 x )，又图象过点 P ，2 (12， 0)5sin 0，由已知可得 0， ， y5sin .( 6 ) 6 6 (2x 6)(2)由 2 k2 x 2 k， kZ， 2 6 2得 k x k， kZ，故函数 f(x)的递增区间为 (kZ) 6 3 k 6， k 313.已知 f(x)cos(x) 的最小正周期为 ，且 f .( 0， 2 ，求 x 的取值范围22【答案】（1）2， .（2）略.（3） . 3 x|k 24 ，(2x 3) 222k 2x 2k ， 4 3 42k 2x2k ，12 712k xk ，kZ，24 724x 的取值范围是 .x|k
13、 24xk 724， k Z)14.已知函数 f(x)Asin(x)，xR(其中 A0，0，0 )的周期为 ，且图象上一个最 2低点为 M .(23， 2)(1) 求 f(x)的解析式；(2) 当 x 时，求 f(x)的最值0，12【答案】（1）f(x)2sin .(2x 6)（2）x0 时，f(x)取得最小值 1；x 时，f(x)取得最大值 .12 312(2) x ， 2x .0，12 6 6， 3 当 2x ，即 x0 时，f(x)取得最小值 1； 6 6当 2x ，即 x 时，f(x)取得最大值 . 6 3 12 315.已知函数 f(x)4tan xsin cos .( 2 x) (
14、x 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性 4， 4【答案】（1）.（2） f(x)在区间 上是递增的，在 上是递减的.12， 4 4， 12【解析】(1) f(x)的定义域为Error!.f(x)4tan xcos xcos 4sin xcos (x 3) 3 (x 3) 34sin x 2sin xcos x2 sin2x(12cos x 32sin x) 3 3 3sin 2 x (1cos 2 x) sin 2 x cos 2x2sin .3 3 3 (2x 3)所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)令 z2 x ，则函数 y2sin z 的单调递增区间是 ， kZ. 3 2 2k ， 2 2k 由 2 k2 x 2 k， 2 3 213得 k x k， kZ. 12 512设 A ， B xError!kZ，易知 A B . 4， 4 12， 4所以当 x 时， f(x)在区间 上是递增的，在 上是递减的. 4， 4 12， 4 4， 12
