1、12 直角三角形第 1 课时 直角三角形的性质与判定教学目标一、基本目标1掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题2结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，明确原命题成立，其逆命题不一定成立二、重难点目标【教学重点】掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)及判定定理的证明方法【教学难点】运用定理解决与直角三角形有关的问题教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P14P16 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】(一)直角三角形的性质与判定1直角三角形的两个锐角互余反之，有两个角互余的三角形是直角三角形2勾股定理：直角三角形两条直角边的平方
2、和等于斜边的平方3如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形4下列四组线段中，能组成直角三角形的是( D )A a1， b2， c3B a2， b3， c4C a2， b4， c5D a3， b4， c55如图所示，在 Rt ABC 中， C90，若 b5， c13，则 a12；若a8， b6，则 c10.(二)命题与逆命题1在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么2这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题2如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组
3、讨论(师生互学)【例 1】如图，在 ABC 中， ACB90， AB13 cm， BC5 cm， CD AB 于点 D.求：(1)AC 的长；(2) ABC 的面积；(3)CD 的长【互动探索】(引发学生思考)观察图形与已知条件，利用勾股定理求 AC 的长，利用三角形的面积公式计算 ABC 的面积，利用等面积法求 CD 的长【解答】(1)在 ABC 中， ACB90， AB13 cm， BC5 cm， AC 12 cm.AB2 BC2(2)S ABC CBAC30 cm 2.12(3) S ABC ACBC CDAB，12 12 CD cm.ACBCAB 6013【互动总结】(学生总结，老师点
4、评)解此类题时，一般是先利用勾股定理求出第三边，利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可【例 2】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题(1)两直线平行，同旁内角互补；(2)垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是 60的三角形是等边三角形【互动探索】(引发学生思考)什么是逆命题？逆命题一定是真命题吗？【解答】(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行该逆命题是真命题(2)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)该逆命题是真命题(3)逆命题：内错角相等该逆命题是假命题3(
5、4)逆命题：等边三角形有一个角是 60.该逆命题是真命题【互动总结】(学生总结，老师点评)逆命题的条件是原命题的结论，逆命题的结论是原命题的条件【例 3】如图，在正方形 ABCD 中， AE EB， AF AD，求证： CE EF.14【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证 CE EF，考虑证 CFE 是直角三角形结合已知条件，可考虑利用勾股定理的逆定理进行证明【证明】如题图，连结 CF，设正方形的边长为 4.四边形 ABCD 为正方形， AB BC CD DA4.点 E 为 AB 中点， AF AD， AE BE2， AF1， DF3，由勾14股定理，得 EF21 22 25， EC22
6、 24 220， FC24 23 225. EF2 EC2 FC2， CFE是直角三角形，且 FEC90，即 EF CE.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法活动 2 巩固练习(学生独学)1具备下列条件的 ABC 中，不是直角三角形的是( D )A A B CB A B CC A B C123D A B3 C2如图，正方形网格中有 ABC，若小方格边长为 1，则 ABC 的形状为( A )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D以上答案都不对3命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的三角形是
7、全等三角形4如图所示，以 RtABC 的三条边为边长分别向外作正方形，其面积分别为S1、S 2、S 3，且 S14，S 28，则 S3 12.45如图，CD 是 RtABC 斜边上的高(1)求证：ACDB；(2)若 AC3，BC4，AB5，则求 CD 的长(1)证明：CD 是 RtABC 斜边上的高，ACBADC90，AACDAB90，ACDB.(2)解：AC3，BC4，AB5， ABCD ACBC，CD .12 12 ACBCAB 345 125活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 4】如图所示，在等腰直角三角形 OAA1中，OAA 190，OA1，以 OA1为直角边作等腰直角三角形 OA1A
8、2，以 OA2为直角边作等腰直角三角形 OA2A3，则 OAn的长度为_【互动探索】OAA 1为等腰直角三角形，OA1，OA 1 OA .OA 1A2为等腰2 2直角三角形，OA 2 OA1 2( )2.OA 2A3为等腰直角三角形，2 2OA 3 OA22 ( )3.OA 3A4为等腰直角三角形， OA 4 OA34( )2 2 2 2 24，OA n OAn1 ( )n.2 2【答案】( )n2【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理是解题关键环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1直角三角形的性质：(1)直角三角形的两
9、个锐角互余；(2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)2直角三角形的判定Error! 3逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题54如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理练习设计请完成本课时对应练习！第 2 课时 直角三角形全等的判断教学目标一、基本目标1能够证明直角三角形全等的“ HL”定理，并能利用“ HL”定理解决实际问题2进一步掌握推理证明的方法，提升演绎推理能力和思维能力二、重难点目标【教学重点】直角三角形全等的判定方法【教学难点】直角
10、三角形全等的判定的应用教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P18P20 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1证明三角形全等的方法有：AAS 、ASA、SAS、SSS.2斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL” 3如图， BAD BCD90， AB CB，可以证明 BAD BCD 的理由是( A )AHL B ASACSAS D AAS4下列条件中能判定两个直角三角形全等的有( D )有两条直角边对应相等；有两个锐角对应相等；有斜边和一条直角边对应相等；有一条直角边和一个锐角对应相等；有斜边和一个锐角对应相等；有
11、两条边相等A6 个 B5 个 C4 个 D3 个6环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图，已知AD90，E、F 在线段 BC 上，DE 与 AF 交于点 O，且ABCD，BECF.求证： RtABF RtDCE.【互动探索】(引发学生思考)证明三角形全等的方法有哪些？已知两边对应相等可以寻找哪些条件证明三角形全等？【证明】BECF，BEEFCFEF，即 BFCE.AD90，ABF 与DCE 都为直角三角形在 RtABF 和 RtDCE 中，Error! RtABF RtDCE( HL)【互动总结】(学生总结，老师点评)利用“ HL”判定三角形全等，首先要判定这
12、两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可【例 2】如图，已知 AD、AF 分别是两个钝角ABC 和ABE 的高，若 ADAF，ACAE.求证：BCBE.【互动探索】(引发学生思考)从图中可以知道，要证 BCBE，可以从三角形全等入手观察图形判断 RtADC 和 RtAFE 全等吗？ RtABD 和 RtABF 呢？【证明】AD、AF 分别是两个钝角ABC 和ABE 的高，DF90.在 RtADC和 RtAFE 中，Error! RtADC RtAFE( HL)，CDEF.在 RtABD 和 RtABF 中，Error! RtABD RtABF( HL)，BDBF，BDCDBF
13、EF，即 BCBE.【互动总结】(学生总结，老师点评)证明线段相等可通过证明三角形全等解决直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件活动 2 巩固练习(学生独学)1下列条件中能说明两个直角三角形全等的是( D )A锐角分别相等B一条直角边分别相等C斜边分别相等D两直角边分别相等2如图所示， AB EF DC， ABC90 ， AB DC，那么图中共有全等三角形( C )7A5 对 B4 对 C3 对 D2 对3在 RtABC 和 RtDEF 中，ABDE，AD90，再补充一个条件 BCEF(答案不唯一)，便可得 RtABC RtDEF.4如图，ABAD，ABCADC90
14、，EF 过点 C，BEEF 于点 E，DFEF 于点F，BEDF. 求证： RtBCE RtDCF.证明：连结 BD.ABAD，ABDADB.ABCADC90，CBDCDB，BCDC.BEEF，DFEF，EF90.在 RtBCE 和 RtDCF中，Error! RtBCE RtDCF( HL)活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图，在 RtABC 中，C90，AC20，BC10，PQAB.点 P、Q 分别在线段 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AM 上运动，且点 P 不与点 A、C 重合，那么当点 P 运动到什么位置时，才能使ABC 与APQ 全等？【互动探索】本题要分情况讨论
15、：(1) RtAPQ RtCBA，此时 APBC10，可据此求出点 P 的位置；(2) RtQAP RtBCA，此时 APAC，P、C 重合，不合题意【解答】分情况讨论：(1)当点 P 运动到 APBC 时，在 RtABC 和 RtQPA 中，CQAP90，BCAP，ABPQ， RtABC RtQPA( HL)，即 APBC10；(2)当点P 运动到与点 C 重合时，APAC，不合题意综上所述，当点 P 运动到距离点 A 为 10 时，ABC 与APQ 全等【互动总结】(学生总结，老师点评)判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“ HL”练习设计请完成本课时对应练习！8
