1、- 1 -江苏省姜堰二中 2019 届高三数学上学期期末考试试题（扫描版）- 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 -20182019 学年度第一学期期末考试高三数学答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 451,156. 7. 8. 9. 10. 824(,)11. 12. 13. 14. 2341,0)5二、解答题 15.（本题满分 14 分）解：（1）因为 ， ， ，(sin1)xa(cos)2xb/ab所以 ， 3 分sincox即 ，i21因为 ，所以 ，所以 7 分(0)x，2x4x（2）因为 ， ，(sin1)a(cos)b因为 ，所以 ，则 ，t2x2x1incos0
2、x所以 ， 10 分1sinco0ab=所以 ，2222219(sin)(cos)44xxab=所以 14 分3ab16.（本题满分 14 分）证明：（1）在 中， 为 的中点， 为 的中点。PBDOFPD所以 ， 3 分/ F- 8 -因为 平面 ， 平面 ， 7 分PBOEFOEF所以直线 平面/（2）连结 ，AC因为底面 为平行四边形， 为 的中点，BDBD所以 为 的中点，O在 中， 为 的中点， 为 的中点，PAEPC所以 ， 9 分/ E因为 ， ，BAD所以 ， ， 11 分O又因为 ， 在平面 内，ABCD所以 平面 ，EABC因为 平面 ，F所以平面 平面 14 分O17.（
3、本题满分 14 分）解：（1）因为点 是弧 的中点，所以 ， ，QAB6AOPB因为 ，所以 ， ，P在 中，由正弦定理， ，OAsin()isi()66PAP即 ，21sini()P所以 ， 4 分2sin()6sinAOP，所以 ， si()12cos3nsiiniyB7()612，7 分（2）因为 ， ，2cos3iny7()612所以 ，令 ，得 ， 10 分21si0y- 9 -当 时， ，当 时， ，()63，0y7()312，0y所以当 时， 有极小值，且是最小值，此时 .13 分2sin()36OP答：（1） ， 2cos3iny7()612，（2）当 为 千米时，地下电缆管线
4、的总长度最小 14 分OP18.（本题满分 16 分）解： （1）由题意得 ， ，解得 ，所以 ，12ca6a2,1c23bac所以椭圆 的标准方程为 4 分C43xy(2) （法 1）设 ，则 ，(,)Bmn21因为 ， ，所以直线 的方程为 ，(2,0)AQB2()myxn因为 是 的中点，所以 ，所以直线 的方程为 ，PB2(,)nPOPy联立直线 、 的方程得 ， 8 分QO()2mnxx解得 ，220()4mnx由 得 ，代入上式化简得 ，14 分2143n223()06xm因为 ，所以 16 分048x（法 2）设直线 的方程为 ， （k0）AB(2)yk将 代入椭圆方程 得 ，(
5、)ykx2143x22243)1610kxk- 10 -解得 ，所以 ，28643Bkx22861()4343Bkky则直线 的方程为 ，Q221()xkk因为 是 的中点，则 ，PAB228643ACP kx，21643ky所以直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，8 分OP2384kOP34yxk联立直线 、 的方程得 ， 14 分BQ20163xk2143k因为 ，所以 ， ，即 243k2428048x16 分19.（本题满分 16 分）解：（1）不妨设 ，(,)01)Atft当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，0xfx(ft1x()2fxa12()aft因为函数 不存在优点，所以对任
6、意的 ，都有 ，2ln,01()fa 0tt所以 4 分1（2）设 ， ，由题意 ，2(,)At21(,)Bt0,1t过 两点的切线方程分别为 ， ，6 分, 2()ytxt21()yxtt- 11 -联立得 ，即 ，所以 ，8 分221()()txtxt21()txt1()2xt因为 ，所以当 时， ；当 时， ，1t0tt0tt所以优点横坐标的取值范围是 10 分(,1)(,)（3）证：设优点为 ，只要证 ， P0,xy0x0y设 ，不妨设 在 的右边，则 ， 1(,ln)(,l)AtBtAB1t过 的切线方程分别为： ， ，, 1()lnyxt()lnytxt联立这两个方程得 ， ， 2
7、 分02l1tx20l1tt因为 ，所以 ，1t02lnt设 ，则 2ln+tht12(1)0tht所以函数 在 上是增函数，所以 ，则 t,th21ln+t因为当 时， ，所以 1t20t20+1ln0tty故函数 的优点 一定落在第一象限 16 分()lnfxP20.（本题满分 16 分）证明：（1）因为 ， ，所以 ，213a23a31215aa当 时， ，n1114()9()r所以 ，即 ，15 1因为 ，所以 4 分0ar- 12 -（2）数列 不能是等比数列，理由如下：na假设 是等比数列，设公比为 ，q因为 ，所以 ，等比数列需满足 ，所以 或 ，123211a10a2q16 分
8、当 时，因为 时， ，qn1231214()9()r即 ，则 ，1114(2)9aara又 时， ，所以 ，3n343216(SS4173a而 不构成等比数列，所以此时不满足要求；8 分117,2,aa当 时，因为 时， ，qn1231214()9()aar即 ，则 ，114()9ar5又 时， ，所以 ，3n343216(SaSa413a而 不构成等比数列，所以此时不满足要求，115,a故数列 不能是等比数列 10 分n（3）当 时， ，即 ，21231214()9()aaa31245a因为 ，所以 ，所以 ，13a,51,9S当 时， ，所以 。n43216()SS47因为 ，1125na
9、所以 ，即 ，1()()n n11nnaSa所以当 时， ，314nS两式相减得 ，即 ，12 分12()n naa 112(3)0nn- 13 -所以 ，21(1)(5)0nnaa两式相减得 ，14(24)0na所以 ， 14 分211()nn所以所1113 43231() ()022()nnnnnaa an 以对任意的 ，都有 ，又因为 ，3110nn 3210a所以数列 是等差数列 16 分na数学（附加题）21. A 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）解：将 代入 ，解得 221(1)(5)05x3x矩阵 5 分32M所以 10 分85B.选修 4-4：坐标系与参数方程（
10、本小题满分 10 分）解：因为直线 的参数方程为 ，所以 ， l12xty，1xy因为曲线 的参数方程为 ，所以曲线 的方程为 ，它是以C1cos2in x，C2(1)4xy为圆心， 为半径的圆 5 分(1,0)圆心 到直线 的距离为 ，,l210d所以 10 分22()AB- 14 -C.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）解：因为 ，321abc由柯西不等式得 c1(32)()abcabc222222()()()()()ab，6 分22111( )()64bca当且仅当 ，即2bc时取等号，2ac又由于 ，所以此时31，2,cb所以 的最小值为 10 分1ac64222.（本小
11、题满分 10 分）解：（1）以 ， ， 为一组正交基底建立如图所示的空间直 ABD1角坐标系 ，xyz所以 ， ， ， ， ，(0)(10)(1)(0)C13)A1()C， ，13AB13AC所以 ，11 8410cos 50B，所以异面直线 与 所成角的余弦值是 4 分1A1C（2）设平面 的一个法向量为 ，B1()nxyz，- 15 -因为 ， ，1(03)AB(01)C又因为 ，所以 ，取 ，得 ，1 n3 xzy1z1(30)n同理可得，平面 的一个法向量为 ， 7 分1ACD2()n所以 ，212184cos 50n，所以 ，123i5，所以平面 与平面 所成二面角的正弦值是 10
12、分ABC1D3523.（本小题满分 10 分）解：（1）令 ，有 ，得 ，()1fx21=x12x令 ，有 ，得 ，2f()f()f即 ，得 ，1=x34x所以 4 分2()g证明：（2）因为 ，所以 ，0(1)f(0)1nnff因为 ，1()2,x当 时， 单调递增，且 ，0，1()fx1()0,fx当 时， 单调递减，且 ， 6 分(2xf ,f下面用数学归纳法证明：方程 （ ） 、方程 （ ） 、方程 ()0nfx(,1()1nfx(0,（ ） 、方程 （ ）的根的个数都相等，且为 ()0nfx,1)()1nf,)ng（）当 时，方程 （ ） 、方程 （ ） 、方程 n10fx(,1()
13、fx(0,11()0fx（ ） 、方程 （ ）的根的个数都相等，且为 1，上述命题成立，0,1)x()f,)（）假设 时，方程 （ ） 、方程 （ ） 、方程nk0kfx(,1()kfx(0,()0kfx- 16 -（ ） 、方程 （ ）的根的个数都相等，且为 ，0,1)x()1kfx0,)(1)kg则当 时，有 ，n11(kkffx当 时， ，方程 的根的个数为 ，(02x，()0,x)0k(1)kg当 时， ，方程 的根的个数也为 ，11,f 1(kfxk所以，方程 （ ）的根的个数为()0kfx(,1(0)2g()kk同理可证：方程 （ ） 、方程 （ ） 、方程1kf0,1xkfx,1()kfx（ ）的根的个数都相等，且为 ， 8 分0,)x2()kg由（） ， （）可知，命题成立，又因为 ， 所以 10 分()10nnff(0)1nn
