1、1专题 4.3 万有引力与航天1对于万有引力定律的数学表达式 F G ，下列说法正确的是 ( )m1m2r2A公式中 G 为引力常量，是人为规定的B r 趋近零时，万有引力趋于无穷大C m1、 m2受到的万有引力总是大小相等D m1、 m2受到的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力答案：C2今有一个相对地面静止，悬浮在赤道上空的气球。对于一个站在宇宙背景惯性系的观察者，仅考虑地球相对其的自转运动，则以下对气球受力的描述正确的是 ( )A该气球受地球引力、空气浮力和空气阻力B该气球受力平衡C地球引力大于空气浮力D地球引力小于空气浮力答案：C解析：气球环绕地球做圆周运动，速度与大气相同，没
2、有空气阻力，重力比浮力大的部分提供向心加速度，选 C。3已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为 v1、向心加速度大小为 a1，近地卫星线速度大小为 v2、向心加速度大小为 a2，地球同步卫星线速度大小为 v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的 6 倍。则以下结论正确的是 ( )A B v2v3 61 v2v3 17C D a1a3 17 a1a3 491答案：C解析：地球赤道上的物体与地球同步卫星是相对静止的，有相同的角速度和周期，比较速度用 v r ，比较加速度用 a 2r，同步卫星距地心距离约为地球半径的 7 倍，则 C 正确；近地卫星
3、与地球同步卫星都是卫星，都绕地球做圆周运动，向心力由万有引力提供，即2G ma，所以比较加速度用 a ，则加速度之比为 a2 a3491 ；比较速度用 v ，则Mmr2 GMr2 GMr速度比 v2： v3 ：1。 上得到地球和月球的半径之比为 41、地球表面和月球表面的重力7加速度之比为 61，则可判断地球和月球的密度之比为( )A23 B32 C41 D61答案 B解析 在地球表面，重力等于万有引力，故 mg G ，解得 M ，故密度MmR2 gR2G ，同理，月球的密度 0 ，故地球和月球的密度之比MVgR2G43 R3 3g4 GR 3g04 GR0 6 ，B 正确。 0 gR0g0R
4、 14 3215 (多选)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是 G1；在南极附近测得该物体的重力为 G2。已知地球自转的周期为 T，引力常量为 G，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( )A地球的密度为3 G1GT2 G2 G1B地球的密度为3 G2GT2 G2 G1C当地球的自转周期为 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力G2 G1G2D当地球的自转周期为 T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力G2 G1G1答案 BC16 (多选)若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 L。已
5、知月球半径为 R，万有引力常量为 G。则下列说法正确的是( )A月球表面的重力加速度 g 月 2hv20L2B月球的平均密度 3hv202 GL2RC月球的第一宇宙速度 vv0L 2h3D月球的质量 M 月 hR2v20GL2答案 AB解析 平抛运动的时间 t ，再根据 h g 月 t2，得 g 月 ，故 A 正确；在月球Lv0 12 2ht2 2hv20L2表面 G mg 月 ，得 M 月 ，月球的体积 V 月 ，月球的平均密度 M月 mR2 g月 R2G 2hR2v20GL2 4 R33 ，故 B 正确、D 错误；月球的第一宇宙速度 v1 ，故M月V月 3hv202 GL2R g月 R 2
6、hv20RL2 v0L 2hRC 错误。 22暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命。为了探测暗物质，我国已成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星。已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间 t(t 小于其运动周期)，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为 (弧度)，引力常量为 G，则下列说法中正确的是( )A “悟空”的线速度大于第一宇宙速度B “悟空”的环绕周期为2 tC “悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度D “悟空”的质量为s3Gt2答案 B23 (多选)已知地球自转周期为 T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面
7、的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( )A. B. C. D.T04 3T04 3T07 T07答案 CD解析 设地球的质量为 M，卫星的质量为 m，运动周期为 T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有 m r，解得 T2 。同步卫星的周期与地球自转周期相同，GMmr2 4 2T2 r3GM4即为 T0。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是 ，解得 T T0。设卫星每隔 t 时间在同一地点的正上方出TT0 r3 4r 3 18 18现，则 t t2
8、n，解得 t (n1,2,3，)，当 n1 时 t ， n3 时 t ，2T 2T0 nT07 T07 3T07故 A、B 错误，C、D 正确。24空间站是一种在近地轨道长时间运行，可供多名航天员巡防、长期工作和生活的载人航天器。如图所示，某空间站在轨道半径为 R 的近地圆轨道上围绕地球运动，一宇宙飞船与空间站对接检修后再与空间站分离。分离时宇宙飞船依靠自身动力装置在很短的距离内加速，进入椭圆轨道运行，已知椭圆轨道的远地点到地球球心的距离为 3.5R，地球质量为 M，引力常量为 G，则分离后飞船在椭圆轨道上至少运动多长时间才有机会和空间站进行第二次对接( )A8 B16 R3GM R3GMC2
9、7 D54 R3GM R3GM答案 D25如图建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑” 。设某人造地球卫星在赤道上空飞行，卫星的轨道平面与地球赤道重合，飞行高度低于地球同步卫星。已知卫星轨道半径为 r，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为 0，地球半径为 R，地球表面重力加速度为g，某时刻卫星通过这一赤道纪念碑的正上方，该卫星过多长时间再次经过这个位置( )5A. B.2gR2r32 0 gR2r3C. D.2 0 gR2r32gR2r3 0答案 D26宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为 m，
10、半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量为 G。关于宇宙四星系统，下列说法中错误的是( )A四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B四颗星的轨道半径均为a2C四颗星表面的重力加速度均为GmR2D四颗星的周期均为 2 a2a 4 2 Gm答案 B解析 分析可得：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力的合力作用下(合力方向指向对角线的交点)，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故 A 正确、B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 G m g，解得 g22 mmR26，故 C 正确；由万有引力的合力提供向心力得 m ，解
11、得GmR2 Gm2 2a 2 2Gm2a2 4 2T2 2a2T2 a ，故 D 正确。 2a 4 2 Gm27一宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为 m 的小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕 O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小 F 随时间 t 的变化规律如图乙所示。 F1、 F2已知，引力常量为 G，忽略各种阻力。求(1)星球表面的重力加速度；(2)星球的密度。答案：(1) (2)F1 F26m F1 F28 GRm(2)在星球表面处有 mg ，则 M 。密度 ，而 V ，所以密度GMmR2 gR2G
12、 MV 4 R33 。将(1)中 g 代入得 .3g4G R F1 F28 GRm28万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 F0。(1)若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值 的表达式，并就F1F0h1.0% R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；(2)若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F2，求比值
13、 的表达式。F2F0答案：(1) 0.98 (2) 1F1F0 R2 R h 2 F2F0 4 2R3T2GM729我国火星探测器计划于 2020 年前后由长征五号运载火箭在海南发射场发射入轨，直接送入地火转移轨道。假设探测器到了火星附近，贴近火星表面做匀速圆周运动，现测出探测器运动的周期为 T 以及运行速率为 v，不计周围其他天体的影响，万有引力常量为 G。(1)求火星的质量；(2)设某星球的质量为 M，一个质量为 m 的物体在离该星球球心 r 处具有的引力势能公式为Ep (取物体离该星球无穷远处势能为零)。若一颗质量为 m的卫星绕火星做半径为 r1的GMmr匀速圆周运动，后来因为需要卫星的轨道半径变为 r2，且 r1 r212 ，求该卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比。答案：(1) (2)21v3T2 G解析：(1)由 T ，可得火星半径约 R ，2 Rv vT2由 mGMR2 v2R可得火星的质量 Mv3T2 G(2)由 mGMmr2 v2r可得动能为： EkGMm2r引力势能： EpGMmr故物体的机械能为： E Ek EpGMm2r可见： E1r故卫星变轨前后在轨道上正常运行时的机械能之比： E1E2 218
