1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 20 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求 的最大项2 设 ，求 y3 设 xx(t)由 sint 一 0 确定，求 4 设 x3 一 3xyy 33 确定 y 为 x 的函数，求函数 yy(x)的极值点5 x(y)是 yf(x)的反函数，f(x) 可导，且 f(x) ，f(0)3，求 “(3)6 设 f(x)连续， ，且 ，求 (x)，并讨论 (x)在 x0处的连续性7 设函数 f(x)在 x1 的某邻域内有定义，且满足f(x)2e x(x 一 1)2，研究函数f(x)在 x1 处的可导性8 设 f(x)在 x0 的邻域内二阶连
2、续可导， ，求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的曲率9 设 且 f“(0)存在，求 a，b，c10 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0) 0， 1，f(1)0证明： (1)存在 ，使得 f() ； (2) 对任意的 k(一，)，存在 (0，) ，使得 f()一 kf()一 111 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 ，又 f(2) ，证明：存在 (0，2)，使得 f()f“()012 设 f(x)在0，1上可导， f(0)0，f(x) f(x)证明：f(x)0，x0 ，113 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a) f(b) 1证明
3、：存在 ， (a，b)，使得 2e2 (e a e b )f()f() 14 设 f(x)二阶可导，f(0)f(1)0 且 一 1证明：存在 (0，1)，使得f“()815 一质点从时间 t0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于416 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)1(x 0，1)，又 f(0)f(1)，证明： 17 设 f(x)在( 一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)f(0) xf(x)x； (
4、2)18 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)f(b)0证明：存在 (a，b)，使得19 f(x)在 1，1上三阶连续可导，且 f(一 1)0， f(1)1，f(0)0证明：存在(一 1，1)，使得 f()320 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得20 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点21 写出 f(x)在 xc 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；22 证明： 22 设 f(x)在 一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在23 写出 f(x)的带拉格
5、朗日余项的马克劳林公式；24 证明：存在 1， 2一 a，a，使得25 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且f (4)(x)M(M0) 证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中 x为 x关于 x0 的对称点26 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)f(b)0，f(a)f_(b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得27 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)f(b)0，且 f (a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()028 设 f(x)二阶可导，f(0)0，且 f
6、“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有f(ab) f(a)f(b)29 设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01，证明：fx1(1 一 )x2f(x1) (1 一 )f(x2)30 设 f(x)二阶可导， 且 f“(x)0证明：当 x0 时，f(x)x31 设 f(x)在0，)内可导且 f(0)1，f(x) f(x)(x0)证明：f(x) e x (x0)32 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 xia，b(i1，2，n)及ki0(i1，2，n)且满足 k1k 2k n1证明： f(k 1x1k 2x2k nxn)k1f(x1)k
7、2f(x2)k nf(xn)33 证明：当 x0 时，(x 2 一 1)Inx(x 一 1)234 当 x0 时，证明：35 设 0a b，证明：36 求由方程 x2y 3 一 xy0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值37 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)f(0)f(1)f(1) 0证明：方程 f“(x)一f(x)0 在(0，1)内有根38 设 f(x)3x 2Ax 3 (x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时，f(x)2039 设 f(x)在0，)内二阶可导，f(0) 一 2，f(0)1，f“(x)0证明：f(x)0 在 (0， )内有且仅有一个根考研数
8、学一（高等数学）模拟试卷 20 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 令 f(x) (x1)， 由 f(x) 得 f(x) ，令 f(x)0得 xe 当 x(0，e)时，f(x)0；当 x(e，)时，f(x)0，则 xe 为 f(x)的最大点， 于是 的最大项为 ， 因为 ，所以最大项为【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 当x1 时， ；当 x1 时，y1；当 x一 1时，y一 1；由 得 y 在 x一 1 处不连续，故 y(一 1)不存在；由得 ，由得 ，因为 y (1)y (1)，所以 y 在x1 处不可导，故【知识模块】 高等数学部分3 【
9、正确答案】 将 t0 代入 sint 一 0 得 再由 0 得x1， 两边对 t 求导得 ，从而e 1， 两边再对 t 求导得【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 x 3 一 3xyy 33 两边对 x 求导得 3x2 一 3y 一 0，解得 ，令 得 yx 2，代入 x33xyy 33 得 x一 1或 x ， 因为 ，所以 x一 1 为极小点，极限值为 y1；因为 ，所以 x 为极大点，极大值为【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 把 x1 代入不等式中，得 f(1)2e当 x1 时，不等式两
10、边同除以x 一 1，得【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 因为 f(x)在 x0 处连续，所以 c0，即由 f(x)在 x0 处可导，得 b1，即于是【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 (1)令 (x)f(x) 一 x，(x)在0，1上连续， 0，(1)一 10，由零点定理，存在 ，使得 ()0，即 f()(2)设 F(x)e kx (x)，显然 F(x)在0， 上连续，在(0 ，) 内可导，且 F(0)F()0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 F()0，整理得 f()一 kf()一 1【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案
11、】 由积分中值定理得 f(2) f(c),其中 c ， 由罗尔定理，存在 x0(c，2) (1，2)，使得 f(x0)0 令 (x)e xf(x)，则 (1)(x 0)0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0)(0， 2)，使得 ()0， 而 (x)e xf(x)f“(x)且 ex0，所以 f()f“()0【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x00，1，使得f(x 0)M 当 x0 0 时，则 M0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x00 时，Mf(
12、x 0) f(x0)一 f(0)f()x 0f() f() ， 其中(0， x0)，故 M0，于是 f(x)0，x0，1【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 令 (x)e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得再由 f(a)f(b)1，得 e f()f() ，从而 (e a e b )e f()f()，令 (x)e 2x ，由微分中值定理，存在(a， b)，使得 2e2 即 2e2 (e ae b)ef()f()，或 2e2 (e ae b)f()f()【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0
13、)f(1)0， 一 1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0 ，1取到最小值且最小值在 (0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)一 1，再由费马定理知 f(c)0 ，根据泰勒公式 f(0)f(c) f(c)(0 c) (0 一 c)2， 1(0，c) f(1)f(c)f(c)(1 一 c) (1 一 c)2， 2(c，1)整理得【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 设运动规律为 SS(t)，显然 S(0)0，S(0)0，S(1) 1；S(1)0由泰勒公式两式相减，得 S“(2)一 S“(1)一8S“( 1)S“( 2)8当S“( 1)S“( 2)时，S“( 1)4；
14、当S“( 1)S“( 2)时，S“( 2)4【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)f(x) 一 f(x)x f“(1)x2， 1(0，x)，f(1)f(x)f(x)(1 一 x) f“(2)(1 一 x)2， 2(x，1)，两式相减，得 f(x)两边取绝对值，再由f“(x)1，得【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 (1)对任意 x(一 1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)f(0)xf(x)x，其中 0(x)1因为 f“(x)C(1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在( 一1，1)内保号，不妨设 f“(x)0，则 f(x)在(一 1，1)内单调增
15、加，又由于 x0，所以(x)是唯一的 (2) 由泰勒公式，得 f(x)f(0) f(0)x*361，其中 介于 0 与 x之间，而 f(x)f(0)xf(x)x，所以有 令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f(1)f( 2)6因为 f(x)在一 1，1上三阶连续可导，所以 f(x)在1， 2上连续，由连续函数最值定理，f(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值M，故 2mf(1)f( 2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在1， 2 (一 1，1
16、)，使得 f()3【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 f(x)f(c)f(c)(xc) (xc)2，其中 介于 c 与 x 之间【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 分别令 x0，x1，得 f(0)f(c)一 f(c)c c2， 1(0，c)，f(1)f(c) f(c)(1 c) (1c) 2， 2(c，1)，两式相减，得 f(c)f(1)一 f(0)，利用已知条件，得f(c)2a c2(1 一 c)2，因为c2(1 一 c)21，所以f(c)2a 【知识模块
17、】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 由 存在，得 f(0)0，f(0)0，f“(0)0，则 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式为 其中 介于 0 与 x 之间【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 上式两边积分得 因为 f(4)(x)在一a，a 上为连续函数，所以 f(4)(x)在a ，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有mx4f(4)()x4Mx4，两边在 一 a，a 上积分得 从而于是根据介值定理，存在 1一 a，a ，使得 f(4)(1)，或 a5f(4)(1) 再由积分中值定理，存在 2一 a，a ，使得 a5f(4)(1) 120af( 2)，
18、即 a4f(4)(1)120f( 2)【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 设 f (a)0，f (b)0，由 f (a)0，存在 x1(a，b) ，使得f(x1)f(a)0；由 f (b) 0，存在 x2(a，b) ，使得 f(x2)f(b)0，因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)0令 h(x) ，显然 h(x)在a， b上连续，由 h(a)h(c) h(b)0，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)h( 2)0，而 ，所以令 (x)f(x)g(x)一 f(x)g(x)，( 1)(
19、2)0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()0，而 (x)f“(x)g(x)f(x)g“(x)，所以 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，ab)，使得 两式相减得 f(ab)一 f(a)一 f(b)f( 2)一 f(1)a因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)，故 f(ab)一f(a)一 f(b)f( 2)一 f(1)a0，即 f(ab)f(a)f(b)【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 令 x0x 1(1
20、一 )x2，则 x0a，b，由泰勒公式得 f(x)f(x 0)f(x 0)(xx0) (xx0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0) f(x0)(xx0)，于是两式相加，得 fx1(1 一)x2f(x1)(1 一 )f(x2)【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 由 ，得 f(0)0，f(0)1，又由 f“(x)0 且 x0，所以 f(x)f(0) f(0)xx【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 令 (x)e x f(x)，则 (x)在0，)内可导， 又 (0)1，(x)e x (x)f(x)0(x 0) ，所以当 x0 时，(x)
21、(0)1，所以有 f(x)e x (x0)【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 令 x0k 1x1k 2x2k nxn，显然 x0a，b因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)f(x 0)(xx0)，分别取 xx i(i1，2， ，n)，得由 kiO(i 1，2，n)，上述各式分别乘以ki(i 1，2，n)，得 将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)，即 f(k 1x1k 2x2k nxn)k1f(x1)k 2f(x2)k nf(xn)【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 令 (x)(x 2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，(1
22、)0故 x1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)0，所以 x0 时，(x)0，即(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 根据隐函数求导数法，得【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 令 (x)e x f(x)f(x) 因为 (0)(1)0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c) 0， 而 (x)e x f“(x)一 f(x)且 ex 0，所以方程 f“(c)一f(c)0 在(0 ，1)内有根【知识模块】 高等数学部分38 【
23、正确答案】 f(x)20 等价于 A20x3 一 3x5， 令 (x)20x 3 一 3x5，由 (x)60x 2 一 15x40，得 x2， “(x)120x 一 60x3，因为 “(2)一 2400，所以x2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 高等数学部分39 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0) 1当x0 时，f(x)一 f(0)f()x，从而 f(x)f(0)x，因为 ，所以由 f(x)在0 ，) 上连续，且 f(0)一 20， ，则 f(x)0 在(0，)内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 高等数学部分
