1、18.3 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 考情考向分析1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义2.掌握可以作为推理依据的公理和定理.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.1四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类
2、Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围： .(0， 23直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补概念方法微思考1分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？2提示 不一定因为异面直线不同在任何一个平面内分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交2空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定
3、相等吗？提示 不一定如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a.( )(2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合( )(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面( )(5)没有公共点的两条直线是异面直线( )(6)若 a， b 是两条直线， ， 是两个平面，且 a ， b ，则 a， b 是异面直线( )题组二 教材改编2P52B 组 T1(2)如图所示，
4、在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为( )A30 B45C60 D90答案 C解析 连接 B1D1， D1C，则 B1D1 EF，故 D1B1C 即为所求的角又 B1D1 B1C D1C， B1D1C 为等边三角形， D1B1C60.3P45 例 2如图，在三棱锥 ABCD 中， E， F， G， H 分别是棱 AB， BC， CD， DA 的中点，3则(1)当 AC， BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为菱形；(2)当 AC， BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为正方形答案 (1) AC BD (
5、2) AC BD 且 AC BD解析 (1)四边形 EFGH 为菱形， EF EH， AC BD.(2)四边形 EFGH 为正方形， EF EH 且 EF EH， EF AC， EH BD，且 EF AC， EH BD，12 12 AC BD 且 AC BD.题组三 易错自纠4 是一个平面， m， n 是两条直线， A 是一个点，若 m ， n ，且 A m， A ，则m， n 的位置关系不可能是( )A垂直 B相交C异面 D平行答案 D解析 依题意， m A， n ， m 与 n 可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行5.如图， l， A， B ， C ，且 Cl，直线 AB l M
6、，过 A， B， C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过( )A点 AB点 BC点 C 但不过点 MD点 C 和点 M答案 D解析 AB ， M AB， M .4又 l， M l， M .根据公理 3 可知， M 在 与 的交线上同理可知，点 C 也在 与 的交线上6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB， CD， EF， GH 在原正方体中互为异面的对数为_答案 3解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB， CD， EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD， EF 与 GH， AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交， CD 与
7、GH 相交， CD 与EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对题型一 平面基本性质的应用例 1 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点求证：(1)E， C， D1， F 四点共面；(2)CE， D1F， DA 三线共点证明 (1)如图，连接 EF， CD1， A1B. E， F 分别是 AB， AA1的中点， EF BA1.又 A1B D1C， EF CD1， E， C， D1， F 四点共面5(2) EF CD1， EFCD1， CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，如图所示则由 P CE， CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同
8、理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1 DA， P直线 DA， CE， D1F， DA 三线共点思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；证两平面重合(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点跟踪训练 1 如图，在空间四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD 的中点， G， H 分别在 BC， CD上，且 BG GC DH HC12.(1)求证： E
9、， F， G， H 四点共面；(2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证： P， A， C 三点共线证明 (1) E， F 分别为 AB， AD 的中点， EF BD.在 BCD 中， ，BGGC DHHC 12 GH BD， EF GH. E， F， G， H 四点共面(2) EG FH P， P EG， EG平面 ABC， P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点又平面 ABC平面 ADC AC， P AC， P， A， C 三点共线题型二 判断空间两直线的位置关系6例 2(1)若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内， l2在平面 内，
10、 l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( )A l 与 l1， l2都不相交B l 与 l1， l2都相交C l 至多与 l1， l2中的一条相交D l 至少与 l1， l2中的一条相交答案 D解析 由直线 l1和 l2是异面直线可知 l1与 l2不平行，故 l1， l2中至少有一条与 l 相交故选 D.(2)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E， F 分别在 A1D， AC 上，且A1E2 ED， CF2 FA，则 EF 与 BD1的位置关系是( )A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行答案 D解析 连接 D1E 并延长，与 AD 交于点 M，由 A1E2 ED，可
11、得 M 为 AD 的中点，连接 BF 并延长，交 AD 于点 N，因为 CF2 FA，可得 N 为 AD 的中点，所以 M， N 重合，所以EF 和 BD1共面，且 ， ，所以 ，所以 EF BD1.MEED1 12 MFBF 12 MEED1 MFBF思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决跟踪训练 2(1)已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交
12、”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件7C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交；若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A.(2)如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1是异面直线；直线 AM 与 DD1是异面直线其中正确的结论为_(填序号)答案 解析 因为点 A 在平面 CDD1C1外，点 M 在平面 CDD1C1内，直线 CC1在平
13、面 CDD1C1内， CC1不过点 M，所以 AM 与 CC1是异面直线，故错；取 DD1中点 E，连接 AE，则 BN AE，但 AE 与AM 相交，故错；因为 B1与 BN 都在平面 BCC1B1内， M 在平面 BCC1B1外， BN 不过点 B1，所以 BN 与 MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填.题型三 求两条异面直线所成的角例 3(1)(2018浙江金丽衢联考)正四面体 ABCD 中， E 为棱 AD 的中点，过点 A 作平面 BCE 的平行平面，该平面与平面 ABC、平面 ACD 的交线分别为 l1， l2，则 l1， l2所成角的正弦值为( )A. B. C. D.63
14、33 13 22答案 A解析 由题意得 BC l1， CE l2，则 BCE 即为 l1与 l2所成角设正四面体的棱长为 a，则易得 EB EC a，设 BC 的中点为 F，连接 EF，则易得 EF a，则 l1与 l2所成角的正弦32 22值为 sin BCE ，故选 A.EFEC22a32a 638(2)如图，把边长为 4 的正三角形 ABC 沿中线 AD 折起，使得二面角 CADE 的大小为 60，则异面直线 AC 与 DE 所成角的余弦值为( )A B. C D.14 14 13 13答案 B解析 如图，取 AB 的中点 F，连接 DF， EF，因为 D， F 分别是线段 BC， AB
15、 的中点，所以 DF AC，所以 EDF(或其补角)是异面直线 AC 与 DE 所成的角由正三角形的性质可得AD BC，所以 CDE 就是二面角 CADE 的平面角，所以 CDE60.又 CD DE，所以CDE 是正三角形作 EG CD，垂足为 G，作 FH BD，垂足为 H，连接 EH，易知EG DEsin602 ， DG DEcos6032 32 1， DH BD 21， HG DH DG2， FH AD AC 4 .由勾12 12 12 12 12 32 12 32 3股定理，得 EH ， EF .HG2 EG2 22 32 7 EH2 FH2 72 32 10在 EDF 中，由余弦定理
16、，得 cos EDF ，所以异面直线 AC 与 DE 所22 22 102222 14成角的余弦值为 ，故选 B.14思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角跟踪训练 3(2018全国)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，则异面直线3AD1与 DB1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.15 56 55 22答案 C9解析 方法一 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A B BA A1 B1
17、B1A1.连接 B1B，由长方体性质可知， B1B AD1，所以 DB1B为异面直线 AD1与 DB1所成的角或其补角连接 DB，由题意，得 DB ，12 1 12 5B B1 2， DB1 .12 32 12 12 32 5在 DB B1中，由余弦定理，得DB 2 B B DB 2 B B1DB1cos DB1B，21 21即 54522 cos DB1B，cos DB1B .555故选 C.方法二 如图，以点 D 为坐标原点，分别以 DA， DC， DD1所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz.由题意，得 A(1,0,0)， D(0,0,0)，D1(0,0， )， B
18、1(1,1， )，3 3 (1,0， )， (1,1， )，AD1 3 DB1 3 1101( )22，AD1 DB1 3| |2，| | ，AD1 DB1 5cos ， .AD1 DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 225 55故选 C.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是10图形，理解和解决数学问题例如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC AD 且 BC AD， BE FA 且12BE FA， G， H 分别为 FA， FD 的中点12(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D，
19、F， E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知 FG GA， FH HD，可得 GH AD 且 GH AD.12又 BC AD 且 BC AD，12 GH BC 且 GH BC，四边形 BCHG 为平行四边形(2)解 BE AF 且 BE AF， G 为 FA 的中点，12 BE FG 且 BE FG，四边形 BEFG 为平行四边形， EF BG.由(1)知 BG CH. EF CH， EF 与 CH 共面又 D FH， C， D， F， E 四点共面素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异1四条线段顺
20、次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为( )A4B3C2D1答案 A11解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2(2018湖州模拟) a， b， c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A若直线 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 异面B若直线 a， b 相交， b， c 相交，则 a， c 相交C若 a b，则 a， b 与 c 所成的角相等D若 a b， b c，则 a c答案 C解析 若直线 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 相交、平行或异面；若 a， b 相交， b， c 相交，则 a， c 相交、平行或异面；
21、若 a b， b c，则 a， c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确故选 C.3如图所示，平面 平面 l， A ， B ， AB l D， C ， Cl，则平面 ABC与平面 的交线是( )A直线 AC B直线 ABC直线 CD D直线 BC答案 C解析 由题意知， D l， l ，所以 D ，又因为 D AB，所以 D平面 ABC，所以点 D 在平面 ABC 与平面 的交线上又因为 C平面 ABC， C ，所以点 C 在平面 与平面 ABC 的交线上，所以平面 ABC平面 CD.4.如图所示， ABCD A1B1C1D1是长方体， O 是 B1D1的中点，直线 A1C
22、交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确是( )A A， M， O 三点共线B A， M， O， A1不共面C A， M， C， O 不共面D B， B1， O， M 共面12答案 A解析 连接 A1C1， AC，则 A1C1 AC， A1， C1， A， C 四点共面， A1C平面 ACC1A1， M A1C， M平面 ACC1A1，又 M平面 AB1D1， M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，同理 A， O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 A， M， O 三点共线5(2018绍兴质检)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1 AB， E， F 分别
23、为 BC， BB12的中点， M， N 分别为 AA1， A1C1的中点，则直线 MN 与 EF 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.35 12 32 45答案 B解析 方法一 如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1， CB1， C1B，易得 MN AC1， EF CB1 C1B，那么 AC1B的补角即直线 MN 与 EF 所成的角设 AA1 AB a，则 AC1 C1B a，2 2 3连接 AB，则 AB 3 a，a2 22a2由余弦定理得cos AC1B ，3a2 3a2 3a223a3a 12故直线 MN 与 EF 所成角的余弦值为 .12方法二 如图，连接
24、 AC1， C1B， CB1，13设 C1B 与 CB1交于点 O，取 AB 的中点 D，连接 CD， OD，则 MN AC1 OD， EF CB1，那么 DOC 即直线 MN 与 EF 所成的角，设 AA1 AB a，2 2则 AC1 CB1 a，3于是 OD OC ，又 CD ，于是 OCD 为正三角形，故直线 MN 与 EF 所成角的余弦值3a2 3a2为 .126.(2018衢州质检)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为线段 A1C1的中点，则异面直线DE 与 B1C 所成角的大小为( )A. B. C. D. 3 4 6 12答案 C解析 连接 AC， BD， B1
25、E，设 BD 与 AC 交于点 O，连接 B1O，则四边形 DOB1E 为平行四边形，所以 DE OB1，所以异面直线 DE 与 B1C 所成角为 OB1C，设正方体棱长为 1，则B1C ， OC ， B1O ，222 1 (22)2所以 cos OB1C .2 1 12 1221 (22)22 32又因为异面直线所成角的范围是 ，(0， 2所以 OB1C . 67给出下列命题，其中正确的命题为_(填序号)如果线段 AB 在平面 内，那么直线 AB 在平面 内；14两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点 A， B， C；若三条直线 a， b， c 互相平行且分别交直线 l 于 A， B
26、， C 三点，则这四条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面；两组对边相等的四边形是平行四边形答案 8在三棱锥 S ABC 中， G1， G2分别是 SAB 和 SAC 的重心，则直线 G1G2与 BC 的位置关系是_答案 平行解析 如图所示，连接 SG1并延长交 AB 于 M，连接 SG2并延长交 AC 于 N，连接 MN.由题意知 SM 为 SAB 的中线，且 SG1 SM， SN 为 SAC 的中线，且 SG2 SN，23 23在 SMN 中， ， G1G2 MN，SG1SM SG2SN易知 MN 是 ABC 的中位线， MN BC， G1G2 BC.9.如图，已知圆柱的轴截面
27、ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为_答案 2解析 取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D， AD，因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，15所以 AD BC，所以直线 AC1与 AD 所成的角即为异面直线 AC1与 BC 所成的角，因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D 垂直于圆柱下底面，所以 C1D AD.因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D AD，2所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 ，2所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切
28、值为 .210.如图是正四面体的平面展开图， G， H， M， N 分别为 DE， BE， EF， EC 的中点，在这个正四面体中， GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案 解析 还原成正四面体 A DEF，其中 H 与 N 重合， A， B， C 三点重合易知 GH 与 EF 异面， BD 与 MN 异面连接 GM， GMH 为等边三角形， GH 与 MN 成 60角，易证 DE AF，又 MN AF， MN DE.因此正确命题的序号是.11.如图所示， A 是 BCD 所在平面外的一点，
29、 E， F 分别是 BC， AD 的中点16(1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线；(2)若 AC BD， AC BD，求 EF 与 BD 所成的角(1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面，即 AD 与 BC共面，所以 A， B， C， D 在同一平面内，这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾故直线EF 与 BD 是异面直线(2)解 取 CD 的中点 G，连接 EG， FG，则 AC FG， EG BD，所以相交直线 EF 与 EG 所成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角又因为 AC BD，则 FG EG.在 R
30、t EGF 中，由 EG FG AC，求得 FEG45，12即异面直线 EF 与 BD 所成的角为 45.12.如图，在三棱锥 P ABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC ， AB2， AC2 ， PA2.求： 2 3(1)三棱锥 P ABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解 (1) S ABC 22 2 ，三棱锥 P ABC 的体积为 V S ABCPA 2 2 .12 3 3 13 13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角在 ADE
31、中，DE2， AE ， AD2，2cos ADE .AD2 DE2 AE22ADDE 22 22 2222 3417故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .3413若空间中四条两两不同的直线 l1， l2， l3， l4，满足 l1 l2， l2 l3， l3 l4，则下列结论一定正确的是( )A l1 l4B l1 l4C l1与 l4既不垂直也不平行D l1与 l4的位置关系不确定答案 D解析 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，记 l1 DD1， l2 DC， l3 DA.若 l4 AA1，满足l1 l2， l2 l3， l3 l4，此时 l1 l4，可以排除选项 A 和
32、 C.若取 C1D 为 l4，则 l1与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1与 l4异面；若取 C1D1为 l4，则 l1与l4相交且垂直因此 l1与 l4的位置关系不能确定14平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面 ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 33 13答案 A解析 如图所示，设平面 CB1D1平面 ABCD m1， 平面 CB1D1，则 m1 m，又平面 ABCD平面 A1B1C1D1，平面 CB1D1平面 A1B1C1D1 B1D1， B1D1 m1， B1D
33、1 m，同理可得 CD1 n.故 m， n 所成角的大小与 B1D1， CD1所成角的大小相等，即 CD1B1的大小又 B1C B1D1 CD1(均为面对角线)，18 CD1B1 ，得 sin CD1B1 ，故选 A. 3 3215(2018浙江省杭州市七校联考)如图，在 Rt ABC 中， BAC60，点 F 在斜边 AB 上，且 AB4 AF，点 M 在线段 BC 上运动， D， E 是平面 ABC 同一侧的两点， AD平面 ABC， BE平面 ABC， AD3， AC BE4.当点 M 运动到线段 BC 的中点时，异面直线 CF 与 EM 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.21
34、14 714 77 217答案 A解析 取 BF 的中点 N，连接 MN， EN，因为 M， N 分别为 BC， BF 的中点，所以 MN CF，且 MN CF，所以 EMN 为异面直线 CF 与12EM 所成的角.因为 AC4， BAC60， ACB90，所以 BC4 ， BM2 ，3 3所以 EM 2 .BM2 BE2 232 42 7因为 AC4， BAC60， ACB90，所以 AB8，所以 AF AB2， BF AB6，14 34所以 BN3，所以 EN 5.BE2 BN2 42 32在 ACF 中，由余弦定理得 CF2 ，所以 MN .3 3在 EMN 中，由余弦定理可得cos E
35、MNME2 MN2 EN22MEMN ，28 3 252273 2114所以异面直线 CF 与 EM 所成角的余弦值为 .故选 A.211416(2018浙江省金华名校统考)如图，在三棱锥 ABCD 中，平面 ABC平面 BCD， BAC19与 BCD 均为等腰直角三角形，且 BAC BCD90， BC2. P 是线段 AB 上的动点(不包括端点)，若线段 CD 上存在点 Q，使得异面直线 PQ 与 AC 成 30的角，则线段 PA 长度的取值范围是( )A. B.(0，22) (0， 63)C. D.(22， 2) (63， 2)答案 B解析 方法一 由已知得 CB CD，以 C 为坐标原点
36、， 的方向为 x 轴正方向， 的方向为CD CB y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz，根据题意，得 A(0,1,1)， B(0,2,0)，D(2,0,0)令 ( (0,1)，AP AB ( (0,1)，CQ CD 则 (0， ， )， (2 ，0,0)，AP CQ (2 ，1 ，1 )，QP CA AP CQ cos ， QP CA QP CA |QP |CA | ，24 2 1 2 1 22 32整理得 3 26 21，显然 3 21，而 (0,1)， ，(0，33)| |(0， ， )| ，故选 B.AP 2 (0， 63)20方法二 如图，将题图中的三棱锥补全为一个长方体，在平面 ABC 内，过点 P 作 AB 的垂线交 CE 于点 R.因为 AC AB， PR AB，所以 AC PR，因而 RPQ 即为异面直线 PQ 与 AC 所成的角，所以 RPQ30.设 AP x，则CR x，在 Rt PQR 中，求得 PR ，所以 RQ .223在 Rt CRQ 中， CQ (0,2)，故 0x2 ，23 x2 23解得 x ，故选 B.(0，63)
