1、1专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型 模型一 “独立”型1如图 2 ZT1，一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向匀速航行.20 分钟后，救援船在海岛 C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( ) 图 2 ZT1A10 海里/时 B30 海里/时3C20 海里/时 D30 海里/时3 322017台州如图 2 ZT2 是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0
2、.8 米，已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度AOB 为 40时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据： sin400.64， cos400.77， tan400.84)图 2 ZT22 模型二 “背靠背”型3如图 2 ZT3，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处的仰角为30，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60，热气球 A 处与楼的水平距离为 120 m，则这栋楼的高度为( ) 图 2 ZT3A160 m B120 m3 3C300 m D160 m24如图 2 ZT4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点 A，某人在岸边的点 B 处测得点 A 在
3、点 B 的北偏东 30的方向上，然后沿岸边直行 4 千米到达点 C 处，再次测得点 A 在点 C 的北偏西 45的方向上(其中点 A，B，C 在同一平面上)求这个标志性建筑物底部上的点 A 到岸边 BC 的最短距离图 2 ZT4 模型三 “母抱子”型5如图 2 ZT5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度他们在点 C处仰望建筑物顶端 A 处，测得仰角为 48，再往建筑物的方向前进 6 米到达点 D 处，测得建筑物顶端 A 的仰角为 64，求建筑物的高度(测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1米，参考数据： sin48 ， tan48 ， sin64 ， tan642)710 1
4、110 910图 2 ZT5362017内江如图 2 ZT6，某人为了测量小山顶上的塔 ED 的高，他在山下的点 A处测得塔尖点 D 的仰角为 45，再沿 AC 方向前进 60 m 到达山脚点 B，测得塔尖点 D 的仰角为 60，塔底点 E 的仰角为 30，求塔 ED 的高度(结果保留根号)图 2 ZT6 模型四 “拥抱”型7如图 2 ZT7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为 O)的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角ABO60；当梯子底端向右滑动 1 m(即 BD1 m)到达 CD 位置时，它与地面所成的角CDO5118，求梯子的长(参考数据： sin51180.780， cos51
5、180.625， tan51181.248)图 2 ZT74 模型五 梯形类8如图 2 ZT8，梯形 ABCD 是拦水坝的横断面示意图，图中 i1 是指坡面的铅3直高度 DE 与水平宽度 CE 的比，B60，AB6，AD4，求拦水坝的横断面 ABCD 的面积(结果精确到 0.1.参考数据： 1.732， 1.414)3 2图 2 ZT8 模型六 “斜截”型9 “蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点 B 处先乘坐缆车到达与 BC 平行的观景平台 DE 处观景，然后再沿着坡角为 29的斜坡由点 E 步行到达“蘑菇石”点 A 处， “蘑菇石”点 A 到水平面 BC 的垂直距离为
6、1790 m如图2 ZT9，DEBC，BD1700 m，DBC80，求斜坡 AE 的长度(结果精确到 0.1 m，参考数据： sin800.9848， sin290.4848)图 2 ZT95详解详析1解析 D 由“ B 在海岛 A 的南偏东 20方向”和“海岛 C 在海岛 A 的南偏西10方向”得 BAC30，同理得 ABC60， ACB90. AB20 海里， BC10 海里， AC10 海里，再由“救援船由海岛 A 开往海岛 C 用时 20 分钟”可求得3救援船航行的速度为 30 海里 /时故选 D.32解：车门不会碰到墙理由如下：如图，过点 A 作 AC OB，垂足为 C.在 Rt A
7、CO 中， AOC40， AO1.2 米， AC AOsin AOC1.20.640.768(米)汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，0.80.768，车门不会碰到墙3解析 A 过点 A 作 AD BC 于点 D，则 BAD30， CAD60， AD120 m.在 Rt ABD 中， BD ADtan30120 40 (m)33 3在 Rt ACD 中， CD ADtan60120 120 (m)，3 3 BC BD CD40 120 160 (m)3 3 34解：过点 A 作 AD BC 于点 D，则 AD 的长度就是点 A 到岸边 BC 的最短距离在 Rt ACD 中
8、， ACD45，设 AD x 千米，则 CD AD x 千米在 Rt ABD 中， ABD60，因为 tan ABD ，即 tan60 ，ADBD xBD所以 BD x 千米xtan60 33又因为 BC4 千米，所以 BD CD4 千米，即 x x4，336解得 x62 ，3所以这个标志性建筑物底部上的点 A 到岸边 BC 的最短距离为(62 )千米35解：根据题意，得 ADB64， ACB48.在 Rt ADB 中，tan64 ，则 BD AB，ABBD ABtan6412在 Rt ACB 中，tan48 ，则 CB AB，ABCB ABtan481011 CD CB BD，即 6 AB
9、AB，1011 12解得 AB 14.7(米)，1329建筑物的高度约为 14.7 米6解析 先求出 DBE30， BDE30，得出 BE DE，设 EC x，则BE2 x， DE2 x， DC3 x， BC x，再根据 DAC45，可得 AC DC，列出方程求出 x3的值，即可求出塔 DE 的高度解：由题意知， DBC60， EBC30， DBE DBC EBC603030.又 BCD90， BDC90 DBC906030， DBE BDE， BE DE.设 EC x m，则 DE BE2 EC2 x m， DC EC DE3 x m，BC x m.BE2 EC2 3由题意可知， DAC45
10、， DCA90， AB60 m， ACD 为等腰直角三角形， AC DC， x603 x.3解得 x3010 .3答：塔 ED 的高度为(3010 )m.37解：设梯子的长为 x m.在 Rt ABO 中，cos ABO ，OBAB OB ABcos ABO xcos60 x m.12在 Rt CDO 中，cos CDO ，ODCD OD CDcos CDO xcos51180.625 x m. BD OD OB，0.625 x x1，12解得 x8.答：梯子的长约为 8 m.8解：过点 A 作 AF BC，垂足为 F.在 Rt ABF 中， B60， AB6， AF ABsinB6sin60
11、3 ，3BF ABcosB6cos603. AD BC， AF BC， DE BC，7四边形 AFED 是矩形， DE AF3 ， FE AD4.3在 Rt CDE 中， i ，DECE 13 CE DE 3 9，3 3 3 BC BF FE CE34916， S 梯形 ABCD (AD BC)DE12 (416)3 12 352.0.答：拦水坝的横断面 ABCD 的面积约为 52.0.9解：过点 D 作 DF BC 于点 F，延长 DE 交 AC 于点 M，由题意，得 EM AC，四边形 DMCF 为矩形， DF MC.在 Rt DFB 中，sin80 ，则 DF BDsin801700sin80(m)，DFBD AM AC MC AC DF(17901700sin80)m.在 Rt AME 中，sin29 ，AMAE则 AE 238.9(m)AMsin291790 1700sin80sin29答：斜坡 AE 的长度约为 238.9 m.
