1、13.1.1 方程的根与函数的零点【选题明细表】 知识点、方法 题号求函数的零点及零点区间 1,2,3,4,6判断函数零点个数 5,7,10函数零点的应用 8,9,11,12,131.函数 y=4x-2的零点是( D )(A)2 (B)(-2,0) (C)（ ,0） (D)解析:令 y=4x-2=0,得 x= .所以函数 y=4x-2的零点为 .故选 D.2.下列图象表示的函数中没有零点的是( A )解析:因为 B,C,D项函数的图象均与 x轴有交点,所以函数均有零点,A 项的图象与 x轴没有交点,故函数没有零点,故选 A.3.(2017长春外国语学校高一期末)函数 f(x)=ln x+x2+
2、a-1有唯一的零点在区间(1,e)内,则实数 a的取值范围是( A )(A)(-e2,0) (B)(-e2,1)(C)(1,e) (D)(1,e2)解析:因为 f(x)在其定义域内是增函数,且 f(x)有唯一的零点在(1,e)内,所以解得-e 20,所以 f( )f( )0),在一个坐标系中画出两个函数的图象.由图得,两个函数图象有两个交点,故方程有两个根,即对应函数有两个零点.6.函数 f(x)=ax2+2ax+c(a0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是( B )(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2解析:由根与系数的关系得方程 f(x)=0的两根 x1,x2满足 x1+x2=- =
3、-2,所以方程的另一个根为 1.故选 B.7.方程|x 2-2x|=a2+1(a0)的解的个数是 . 解析:因为 a0,所以 a2+11.而 y=|x2-2x|的图象如图所示,所以 y=|x2-2x|的图象与 y=a2+1的图象总有两个交点.即方程|x 2-2x|=a2+1(a0)有两个解.答案:28.关于 x的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于 4,一个小于 4,求 m的取值范围.解:令 f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依题意得 或即 或 解得- 0,所以 a0.10.(2018河北省唐山市一中调研)已知函数 f(x)是奇函数,且满足 f(2-x)
4、=f(x)(xR),当 00.若存在实数 b,使得关于 x的方程 f(x)=b有三个不同的根,则 m的取值范围是 . 解析:作出 f(x)的大致图象(图略).当 xm时,x 2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,所以要使方程 f(x)=b有三个不同的根,则 4m-m20.又 m0,解得 m3.答案:(3,+)12.(2018北京市丰台区综合练习)已知函数 f(x)=(1)若 a=0,x0,4,求 f(x)的值域;(2)若 f(x)恰有三个零点,求实数 a的取值范围.4解:(1)若 a=0,则 f(x)=当 x0,1时,f(x)=-x 2是减函数.所以-1f(x)0;当 x(1,4时,f(
5、x)= -1是增函数.所以 0f(x)1.于是当 x0,4时,f(x)的值域为-1,1.(2)由(x-2a)(a-x)=0 解得 x=a或 x=2a.由 +a-1=0解得 x=(1-a)2.因为 f(x)恰有三个零点,所以 解得 a0.所以实数 a的取值范围是(-,0).13.(2017朔州高一三模)已知函数 f(x)=|x(x+3)|,若 y=f(x)-x+b有四个零点,则实数 b的取值范围是 . 解析:令 f(x)-x+b=0,所以 b=x-|x(x+3)|,作出 y=x-|x(x+3)|的图象,要使函数 y=f(x)-x+b有四个零点,则 y=x-|x(x+3)|与 y=b的图象有四个不同的交点,所以-4b-3.答案:(-4,-3)
