1、14.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】 知识点、方法 题号直线与圆位置关系的判定 3,4相交问题 1,5,6,11相切问题 2,7,8,9直线与圆位置关系的应用 9,10,12,131.(2018云南昆明模拟)已知直线 l:y= x+m 与圆 C:x2+(y-3)2=6 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 ,则实数 m 的值等于( C )(A)-7 或-1 (B)1 或 7(C)-1 或 7 (D)-7 或 1解析:圆心(0,3)到直线 l 的距离 d= = ,故 +2=6,解得:m=-1 或 m=7,故选 C.2.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和
2、 x 轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y- )2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x- )2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得 d= =1,由 a0,所以 a=2.3.(2018江西新余高一期末)曲线 y=1+ 与直线 kx-y-2k+4=0 有两个交点时,实数 k取值范围是( A )(A)( , ) (B)( , )(C)( , ) (D)(0, )解析:曲线 y=1+ ,因为 x-2,2,y=1+ 1,所以 x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径 r=2 的圆的上半部分.直线 y=k
3、(x-2)+4 表示过定点 P(2,4)的直线,当直线与圆2相切时,由圆心到直线 kx-y+4-2k=0 的距离 d= =2,解得 k= .当直线经过点 B(-2,1)时,直线 PB 的斜率为 k= .所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有 r,所以点 M(-2,4)在圆 C 外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点 M(-2,4)的圆 C 的切线方程为 y-4=k(x+2),即 kx-y+2k+4=0.由圆心 C(1,0)到切线的距离等于半径 3,得 =3.解得 k=- ,代入切线方程得 7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心 C(1,0)到直线 x=-2 的
4、距离等于半 径 3,所以 x=-2 也是圆 C 的切线方程.综上(1)(2),所求圆 C 的切线方程为 x+2=0 或 7x+24y-82=0.9.若直线 ax+by-3=0 和圆 x2+y2+4x-1=0 相切于点 P(-1,2),则 ab 的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2) 2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为 ,所以 =,整理得 a2-12a+5b2-9=0 且直线过 P(-1,2),代入得 2b-a-3=0,两式联立,得 a=1,b=2,所以 ab=2,故选 C.10.(2018宁夏中卫市二模)已知从圆 C:(x+1)2+
5、(y-2)2=2 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点 P 的坐标为 . 解析:如图所示,圆心 C(-1,2),半径 r= .因为|PM|=|PO|,所以|PO| 2+r2=|PC|2(C 为圆心,r 为圆的半径),所以 + +2=(x1+1)2+(y1-2)2,即 2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线 PO 垂直于直线 2x-4y+3=0 时,即直线 PO 的方程为 2x+y=0 时,|PM|最小,此时 P 点即为两直线的交点,得 P 点坐标(- , ).4答案:(- , )1
6、1.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) 2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且ABC 为等边三角形,则实数 a= . 解析:依题意,圆 C 的半径是 2,圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离等于 2= ,于是有 = ,即 a2-8a+1=0,解得 a=4 .答案:412.(2018河南平顶山高一期末)设有一条光线从 P(-2,4 )射出,并且经 x 轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为 l1,l2);(2)设动直线 l:x=my-2 ,当点 M(0,-6)到 l 的距离最大时,求 l,l1,l2所围成的三角形的
7、内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为 kPQ=- ,所以 l1:y=- (x-2),因为 l1,l2关于 x 轴对称,所以 l2:y= (x-2).(2)因为 l 恒过点 N(-2 ,0),当 MNl 时,M 到 l 的距离最大,因为 kMN=- ,所以 m= ,所以 l 的方程为 x= y-2 ,设所求方程为(x-2) 2+(y-t)2=r2,所以 r= = ,得 t=2,所以所求方程为(x-2) 2+(y-2)2=1.13.(2018兰州二十七中高二上期末)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y-29=0 相
8、切.(1)求圆的方程;(2)设直线 ax-y+5=0 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为 M(m,0)(mZ),由于圆与直线 4x+3y-29=0 相切且半径为 5,所以 =5,即|4m-29|=25.因为 m 为整数,故 m=1.故所求的圆的方程是(x-1) 2+y2=25.(2)直线 ax-y+5=0,即 y=ax+5,5代入圆的方程消去 y 整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线 ax-y+5=0 交圆于 A,B 两点,故 =4(5a-1) 2-4(a2+1)0,即 12a2-5a0,解得 a .所以实数 a 的取值范围是(-,0)( ,+).(3)设符合条件的实数 a 存在,由(2)得 a0,则直线 l 的斜率为- ,l 的方程为y=- (x+2)+4,即 x+ay+2-4a=0.由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上,所以 1+0+2-4a=0,解得 a= .由于 ( ,+),故存在实数 a= ,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.
