1、1知识点 21 二次函数在实际生活中应用一、选择题1. （2018北京，7，2）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系y ax2 bx c（ a0） 下图记录了某运动员起跳后的 x 和 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 （ ）A10m B15m C20m D22.5m 【答案】B【解析】解法一：设抛物线的解析式为 y ax2 bx c，由题意得54027.9166cab，解得0.19584abc，从而对称轴为直线 x
2、2ba 0.58(9)15，故选 B解法二：将图上三个点(0，54)，(20，57.9)，(40，46.2)用光滑的曲线顺次连接起来，会发现对称轴位于直线 x20 的左侧，非常靠近直线 x20，因此从选项中可知对称轴为直线 x15，故选 B【知识点】二次函数图像的性质；二次函数的简单应用；二次函数解析式的求法；数形结合思想二、填空题1. （2018 四川绵阳，16，3 分） 右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 m.2【答案】4 2-4【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过
3、画图可得知O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2） ，通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（-2，0） ，到抛物线解析式得出： a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2，当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y=-2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=-2 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y=-2 代入抛物线解析式得出： -2=-0.5x2+2，解得： x=2 ，故水面此时的宽度为 4 ，比原先增加了
4、4 -4.故答案为 4 2-4.【知识点】二次函数的应用三、解答题1. （2018 山东滨州，23，12 分） 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物3线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系y 5x20 x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行的时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第 23 题图【思路分析】本题主要考查了二次函数的函数值及最值在实际问题中的应用，解答关键是将实际问题中
5、的相关条件转化为二次函数中的相应数值再根据二次函数的性质求解（1）小球飞行高度为 15m，即 y 5x20 x 中 y 的值为 15，解方程求出 x 的值，即为飞行时间；（2）小球飞出时和落地时的高度为 0，据此可以得出 0 5x20 x，求出 x 的值，再求差即可；（3）求小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？即求 x 为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？【解题过程】 （1）当 y15 时有 5x20 x 15，化简得 x4 x30 因式分解得（ x1） （ x3）0，故x1 或 3，即飞行时间是 1 秒或者 3 秒（2）飞出和落地的瞬间，高度都为 0，故 y0所以有 0 5x20 x
6、，解得 x0 或 4，所以从飞出到落地所用时间是 404 秒（3）当 x 2ba (5)A2 时，小球的飞行高度最大，最大高度为 20 米.【知识点】二次函数图像与 x 轴交点及最值2. （2018 浙江衢州，第 23 题，10 分）某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。4（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋
7、湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水热水柱的最大高度。【思路分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括建立直角坐标系待定系数法求解析式，正确把握抛物线图像和性质是解题的关键。（1）利用待定系数法，已知顶点、与 x 轴交点为（8,0） 。根据抛物线的对称性也得另一交点（-2，0） ，从而列方程组解得即可。（2）根据上题中解得的解析式，令 y 的值为 1.8，求得 x 的值，再根据
8、对称性确定范围。 （3）因形状不变，故抛物线的 a 值不变，又因装饰物高度不变，故与 y 轴的交点也不变，且与 x 轴的交点为（16,0） ，利用待定系数法可求得。【解题过程】 （1）抛物线的顶点为（3，5） ，设 y=a (x-3)2+5， 将（8，0）代入的 a=，y=15(x-3)2+5，或者 y=2165x（00,BC189x36(2)由上问可知 y=-2x2+36x（9x36）当 y=160 时-2x2+36x=160解得 x1=10,x2=89x36x=10即 AB=10m.（3）解：设甲为 a,乙为 b,则丙为 400-a-b(a、b 为整数)由题意可得：14a+16b+28(4
9、00-a-b)=8600.即 7a+6b=1300由（1）得，a 的最大值为 184此时丙最多 214 株用地面积（184+2.4）0.4+21=161.2y=x(36-2x), 当 x=9 时,y 最大值为 162 这批植物可以全部栽种到这块空地上【知识点】方程、不等式、8. （2018 湖北荆门，22，10 分）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养 10天的总成本为 160，放养 3天的总成本为 1780元.设这批小龙虾放养 t天后的质量为 kga，销售单价为 y元/ kg，根据往年的行
10、情预测， a与 t的函数关系为 0285att， y与 t的函数关系如图所示.（1）设每天的养殖成本为 m元，收购成本为 n元，求 m与 n的值；25（2）求 y与 t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养 t天后一次性出售所得利润为 W元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成本）【思路分析】 （1）根据放养 10天的总成本为 160，放养 3天的总成本为 1780元可得78306nm，解出 m 和 n 的值即可；（2）当 0 t20 时，设 1btky，将（0，16）和（20，28）代入即可得出
11、解析式，当 20 t50 时，设 2bky，将（ 20，28）和（ 50，22）代入即可得出解析式；（3）根据题意可得当 0 t20 时，W=5400 t，当 20 t50 时，W=-20( t-25)2+108500，进而得出 W 的最大值.【解题过程】解：（1）依题意，得 178036nm，解得 160nm.（2）当 0 t20 时，设 1btky，由图象得： 2801bk，解得 1653bk， 1653ty.26当 20 t50 时，设 2btky，由图象得： 25082bk，解得 3251b-k， 3251t-y综上， )502(3516tty.（ 3） W=ya-mt-n当 0 t2
12、0 时，W=10000( 1653t)-600t-160000=5400t54000，当 t=20 时，W 最大 =540020=10800当 20 t50 时，W=（ 3251t-） （100 t+8000）-600 t-160000=-20t2+1000t+96000=-20(t-25)2+108500-200，抛物线开口向下，当 t=25 时，W 最大 =108500，108500108000，当 t=25 时，W 取最大值，该最大值为 108500 元.【知识点】待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值9.（2018 河南，21，10 分）某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日
13、销售量 y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价, 日销售量, 日销售利润的几组对应值如下表：销售单价 x（元） 85 95 105 115日销售量 y（个） 175 125 75 m日销售利润 w（元） 875 1875 1875 875（注：日销售利润 = 日销售量 （销售单价 - 成本单价） ）（1）求 y 关于 x 的函数解析式(不要求写出 x 的取值范围)及 m 的值；27（2）根据以上信息,填空：该产品的成本单价是 元当日销售单价 x= 元时,日销售利润 w最大,最大值是 元；（3）公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本. 预计在今后的销售中,日销售量与销售单价
14、仍存在（1）中的关系.若想实现销售单价为 90 元时,日销售利润不低于 3750 元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?【思路分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，建立二次函数模型解决最值问题，列不等式组解决实际问题等知识。（1）根据表格中的信息利用待定系数法，直接计算可得；（2）根据给出的公式“日销售利润 = 日销售量 （销售单价 - 成本单价） ”带入一组数据求出成本单价，进而列出二次函数的解析式；（3）根据日销售利润不低于 3750 元，列出不等式，经过计算，可求出当日销售利润不低于 3750 元的销售目标时,该产品的成本单价的范围。【解题过程】 （1）设 y 关于
15、x 的函数解析式为 ykxb,由题意得 857,92.kb 解得 5,60.kb y 关于 x 的函数解析式为 5.yx 3 分当 15时, 1602.m 4 分（2） 80;2. 7 分（3）设该产品的成本单价为 a 元，由题意得 (5906)()3750.解得 a 答：该产品的成本单价应不超过 65 元10 分【知识点】待定系数法求一次函数解析式、二次函数的最值、不等式的应用2810. （2018 湖北省襄阳市，23，10 分） 襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售.在销售的 30 天中，第一天卖出 20 千克
16、，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出 4 千克.第 x 天的售价为 y 元/千克，y 关于 x 的函数解析式为 ，为 正 整 数， ，为 正 整 数， )302(176xnmxy 且第 12 天的售价为 32 元/千克，第 26 天的售价为 25 元/千克.已知种植销售蓝莓的成本是 18 元/千克，每天的利润是 W 元(利润=销售收入一成本)(1)m= ； n= ；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大?最大利润是多少?(3)在销售蓝莓的 30 天中，当天利润不低于 870 元的共有多少天?【思路分析】一次函数、二次函数的实际应用题，重点考查学生建模能力，把实际问题转化为函
17、数问题。同时考查了利用函数求最值，利用函数图象解不等式等知识点，对于学生建模能力有较高要求，同时需要学生的计算非常准确.（1）将 x=12，y=32 和 x=26，y=25 分别代入 y=mx-76m 即可求出 m，n 的值；（2）由（1）可知 ),302(518x为 正 整 数为 正 整 数 xy，再根据“利润=销售收入一成本”列出利润 W 与 x 的函数关系式，分别利用二次函数和一次函数的性质计算最大值，比较两种情况下的最大值即为得出答案；（3）根据二次函数、一次函数图象的增减性确定利润不低于 870 元时 x 的取值范围，找出取值范围内的正整数解的个数即为答案.【解题过程】解：（1） m
18、= 21， n=25.理由如下：把 x=12， y=32 代入 y=mx-76m 得，12 m-76m=32解得， m= 2.把 x=26， y=25 代入 y=n 得， n=25.故答案为 21 25；（2）第 x 天的销售量为 20+4(x-1)=4x+16.当 1 x20 时， W=(4x+16)( 21-x+38-18)=-2x2+72x+32029=-2(x-18)2+968.当 x=18 时， W 最大值 =968.当 20 x30 时， W=(4x+16)(25-18)=28x+112. k=280， W 随 x 的增大而增大，当 x=30 时， W 最大值 =952.96895
19、2，当 x=18 时， W 最大值 =968 元.即第 18 天当天的利润最大，最大利润为 968 元.（3）当 1 x20 时，令-2 x2+72x+320=870，解得， x1=25， x2=11.抛物线 W=-2x2+72x+320 的开口向下，11 x25 时， W870.11 x20. x 为正整数，有 9 天利润不低于 870 元.当 20 x30 时，令 28x+112870，解得， x 1427. x30.x 为整数，有 3 天利润不低于 870 元.综上所述，当天利润不低于 870 元的共有 12 天.【知识点】一次函数的应用、二次函数的应用3011. （2018 四川凉山州
20、，27，14 分）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 80m，宽60m 的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 36m，不大于 44m，预计活动区造价 60 元m 2，绿化区造价 50 元m 2，设绿化区域较长直角边为 xm.（1）用含 x 的代数式表示出口的宽度；（2）求工程总造价 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围；（3）如果业主委员会投资 28.4 万元，能否完成全部工程？若能，请写出 x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由.（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化 11m2，结果提前 4 天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2.(第 27 题图)【思路分析】 （1）出口的宽度用含 x 的代数式表示为（ x280）m；（2）由出口的宽度得， 1,428036解 得又由题可得，小直角三角形的另一条直角边为( x-10)m xx201-24s化）（区 4802-48s608化 xx）（区活 动 区 22- )(60255 xy ）（活 动 区区；
