1、13.正方形的性质与判定第一课时知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.如图,直线 a经过正方形 ABCD的顶点 A,分别过顶点 B,D作 DE a于点 E,BF a于点 F.若DE=4,BF=3,则 CD的长为( )A.4 B.5C.6 D.72.2如图,四边形 OABC是正方形,边长为 6,点 A,C分别在 x轴、 y轴的正半轴上,点 D在 OA上,且点 D的坐标为(2,0), P是 OB上一动点,则 PA+PD的最小值为( )A.2 B. C.4 D.63.把边长为 3的正方形 ABCD绕点 A顺时针旋转 45得到正方形 ABCD,边 BC与 DC交于点 O
2、,则四边形 ABOD的周长是( )A.6 B.6 C.3 D.3+34.如图,点 B的坐标为(4,4),作 BA x轴, BC y轴,垂足分别为 A,C,点 D为线段 OA的中点,点 P从点A出发,在线段 AB,BC上沿 A B C运动,当 OP=CD时,点 P的坐标为 . 5.3如图,在正方形 ABCD中, G是 BC边上任意一点,连接 AG,DE AG于点 E,BF DE交 AG于点 F,探究线段 AF,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由 .6.如图,在正方形 ABCD中, E,F是对角线 BD上两点,且 EAF=45,将 ADF绕点 A顺时针旋转 90后,得到 ABQ,连接 EQ,
3、求证:(1)EA是 QED的平分线;(2)EF2=BE2+DF2.47.如图,四边形 ABCD是边长为 a的正方形, G,E分别是边 AB,BC的中点, AEF=90,且 EF交正方形外角的平分线 CF于点 F.(1)求证: BAE= FEC;(2)求证: AGE ECF;(3)求 AEF的面积 .5创新应用8.(1)如图 ,以 ABC的边 AB,AC为边分别向外作正方形 ABDE和正方形 ACFG,连接 EG,试判断ABC与 AEG面积之间的关系,并说明理由 .(2)园林小路,曲径通幽,如图 ,小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成 .已知小路中间的所有正方形的面积之和是 a m2
4、,内圈的所有三角形的面积之和是 b m2,求这条小路的占地面积 .答案：能力提升1.B 2.A 3.A 4.(2,4)或(4,2)5.解 线段 AF,BF,EF之间的数量关系是 AF=BF+EF.理由如下: 四边形 ABCD为正方形, AB=AD , BAD= BAF+ DAE=90.DE AG, DEA=90. DAE+ ADE=90. BAF= ADE.又 DEF=90,BF DE, BFA=90. DAE ABF.AE=BF.AF=AE+EF=BF+EF.6.证明 (1)由题意可知 ADF ABQ, DAF= BAQ,AF=AQ.6 BAD= BAE+ EAF+ DAF=90, EAF=
5、45, DAF+ BAE=45. BAQ+ BAE=45,即 EAQ=45.在 AEQ与 AEF中, EAQ EAF. AEQ= AEF,即 EA是 QED的平分线 .(2)由(1)可知 EQ=EF. ADF ABQ,DF=BQ , ADF= ABQ.在正方形 ABCD中, ADB= ABD=45, ABQ+ ABD=90,即 DBQ=90.在 Rt BEQ中, EQ2=BE2+BQ2,EF 2=BE2+DF2.7.(1)证明 AEF=90, FEC+ AEB=90.在 Rt ABE中, AEB+ BAE=90, BAE= FEC.(2)证明 G ,E分别是正方形 ABCD的边 AB,BC的中
6、点,AG=GB=BE=EC ,且 AGE=180-45=135.又 CF 是 DCH的平分线, ECF=90+45=135.在 AGE和 ECF中, GAE= FEC,AG=EC, AGE= ECF, AGE ECF.(3)解 由 AGE ECF,得 AE=EF.又 AEF=90, AEF是等腰直角三角形 .7由 AB=a,BE=a,知 AE=a,S AEF=a2.创新应用8.解 (1) ABC与 AEG面积相等 .理由如下:过点 C作 CM AB于点 M,过点 G作 GN EA,交 EA的延长线于点 N(图略),则 AMC= ANG=90. 四边形 ABDE和四边形 ACFG都是正方形, BAE= CAG=90,AB=AE,AC=AG. BAC+ EAG=180.又 EAG+ GAN=180, BAC= GAN. ACM AGN.CM=GN.又 S ABC=ABCM,S AEG=AEGN,S ABC=S AEG.(2)由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和,所以这条小路的占地面积为( a+2b)m2.
