1、1专题能力训练 14 空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.如图,在下列四个正方体中, A,B 为正方体的两个顶点, M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )2.如图,在正方形 ABCD 中, E,F 分别是 BC,CD 的中点,沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体,使 B,C,D三点重合,重合后的点记为 P,点 P 在 AEF 内的射影为 O.则下列说法正确的是( )A.O 是 AEF 的垂心 B.O 是 AEF 的内心C.O 是 AEF 的外心 D.O 是 AEF 的重心3.已知 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,
2、给出下列命题: 若 ,m ,则m ; 若 m ,n ,且 m n,则 ; 若 m ,m ,则 ; 若 m ,n ,且m n,则 .其中正确命题的序号是( )A. B. C. D.4.平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A, 平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )A. B. C. D.32 22 335.已知正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运动,并且总保持 PE AC,则动点 P 的轨迹的周长为 . 6.下列命题正确的是 .(填上你认为正确的所有命题的序号)
3、空间中三个平面 , , ,若 , ,则 ; 若 a,b,c 为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与 a,b,c 都相交; 若球 O 与棱长为 a 的正四面体各面都相切,则该球的表面积为 a2;6 在三棱锥 P-ABC 中,若 PA BC,PB AC,则 PC AB.7.2如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA底面 ABCD,AD BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD,N 为 PC 的中点 .(1)证明 MN平面 PAB;(2)求四面体 N-BCM 的体积 .8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PC平面 ABCD,AB DC,DC AC.(1
4、)求证: DC平面 PAC;(2)求证:平面 PAB平面 PAC;(3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA平面 CEF?说明理由 .9.(2018 天津,文 17)如图,在四面体 ABCD 中, ABC 是等边三角形,平面 ABC平面 ABD,点 M 为棱 AB 的中点, AB=2,AD=2, BAD=90.3(1)求证: AD BC;(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值;(3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 .10.(2018 北京,文 18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAD平面ABCD,PA
5、PD,PA=PD,E,F 分别为 AD,PB 的中点 .(1)求证: PE BC;(2)求证:平面 PAB平面 PCD;(3)求证: EF平面 PCD.3二、思维提升训练11.如图 ,在直角梯形 ABCD 中, AD BC, BAD= ,AB=BC=AD=a,E 是 AD 的中点, O 是 AC 与 BE 的交点 .将2 ABE 沿 BE 折起到图 中 A1BE 的位置,得到四棱锥 A1-BCDE.图 图 (1)证明: CD平面 A1OC;(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时,四棱锥 A1-BCDE 的体积为 36 ,求 a 的值 .212.如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是 的中
6、点,点 V 是圆 O 所在平面外一点, D 是 AC 的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证: OD平面 VBC;(2)求证: AC平面 VOD;(3)求棱锥 C-ABV 的体积 .13.已知在正三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=2,AA1= ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1上 .3(1)当 AEEA 1=1 2 时,求证: DE BC1.(2)是否存在点 E,使三棱锥 C1-BDE 的体积恰为三棱柱 ABC-A1B1C1体积的?若存在,求 AE 的长,若不存在,请说明理由 .14.4如图,在三棱锥 P-ABC 中, PA底面 ABC,AB BC,DE
7、垂直平分线段 PC,且分别交 AC,PC 于 D,E 两点,PB=BC,PA=AB.(1)求证: PC平面 BDE;(2)若点 Q 是线段 PA 上任一点,判断 BD,DQ 的位置关系,并证明你的结论;(3)若 AB=2,求三棱锥 B-CED 的体积 .5专题能力训练 14 空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.A 解析 易知选项 B 中, AB MQ,且 MQ平面 MNQ,AB平面 MNQ,则 AB平面 MNQ;选项 C 中,AB MQ,且 MQ平面 MNQ,AB平面 MNQ,则 AB平面 MNQ;选项 D 中, AB NQ,且 NQ平面 MNQ,AB平面 MNQ,则 AB平面 MNQ,故排
8、除选项 B,C,D.故选 A.2.A 解析 如图,易知 PA,PE,PF 两两垂直, PA 平面 PEF,从而 PA EF,而 PO平面 AEF,则 PO EF,EF 平面 PAO,EF AO.同理可知 AE FO,AF EO,O 为 AEF 的垂心 .3.B 解析 当 ,m 时,有 m ,m ,m 等多种可能情况,所以 不正确;当m ,n ,且 m n 时,由面面垂直的判定定理知 ,所以 正确;因为 m ,m ,所以 , 正确;若 m ,n ,且 m n,则 或 , 相交, 不正确 .故选 B.4.A 解析 (方法一) 平面 CB1D1,平面 ABCD平面 A1B1C1D1, 平面 ABCD
9、=m,平面 CB1D1平面 A1B1C1D1=B1D1,m B1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1, 平面 ABB1A1=n,平面 CB1D1平面 DCC1D1=CD1,n CD1.B 1D1,CD1所成的角等于 m,n 所成的角,即 B1D1C 等于 m,n 所成的角 . B1D1C 为正三角形, B1D1C=60,m ,n 所成的角的正弦值为 .32(方法二)由题意画出图形如图,将正方体 ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面 AEF平面 CB1D1,所以平面 AEF 即为平面 ,m 即为 AE,n即为 AF,所以 AE 与 AF
10、所成的角即为 m 与 n 所成的角 .因为 AEF 是正三角形,所以 EAF=60,故 m,n 所成角的正弦值为 .325. 解析 如图,取 CD 的中点 F,SC 的中点 G,连接 EF,EG,FG.2+6设 EF 交 AC 于点 H,连接 GH,易知 AC EF.又 GH SO,GH 平面 ABCD,AC GH.6又 GH EF=H,AC 平面 EFG.故点 P 的轨迹是 EFG,其周长为 .2+66. 解析 中也可以 与 相交; 作平面与 a,b,c 都相交; 中可得球的半径为 r= a;612中由 PA BC,PB AC 得点 P 在底面 ABC 的射影为 ABC 的垂心,故 PC A
11、B.7.(1)证明 由已知得 AM=AD=2.取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TN BC,TN= BC=2.12又 AD BC,故 TN AM,四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MN AT.因为 AT平面 PAB,MN平面 PAB,所以 MN平面 PAB.(2)解 因为 PA平面 ABCD,N 为 PC 的中点,所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.12取 BC 的中点 E,连接 AE.由 AB=AC=3 得 AE BC,AE= .2-2=5由 AM BC 得 M 到 BC 的距离为 ,5故 S BCM= 4 =2 .所以四面体 N-BCM 的体积
12、VN-BCM= S BCM .12 5 5 13 2=4538.(1) 证明 因为 PC平面 ABCD,所以 PC DC.又因为 DC AC,所以 DC平面 PAC.(2)证明 因为 AB DC,DC AC,所以 AB AC.因为 PC平面 ABCD,所以 PC AB.所以 AB平面 PAC.所以平面 PAB平面 PAC.(3)解 棱 PB 上存在点 F,使得 PA平面 CEF.证明如下:取 PB 中点 F,连接 EF,CE,CF.又因为 E 为 AB 的中点,所以 EF PA.又因为 PA平面 CEF,所以 PA平面 CEF.9.(1)证明 由平面 ABC平面 ABD,平面 ABC平面 AB
13、D=AB,AD AB,可得 AD平面 ABC,故 AD BC.7(2)解 取棱 AC 的中点 N,连接 MN,ND.又因为 M 为棱 AB 的中点,故 MN BC.所以 DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角 .在 Rt DAM 中, AM=1,故 DM= .因为 AD 平面 ABC,故 AD AC.在 Rt DAN 中,2+2=13AN=1,故 DN= .2+2=13在等腰三角形 DMN 中, MN=1,可得 cos DMN= .12=1326所以,异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 .1326(3)解 连接 CM.因为 ABC 为等边三角形, M 为边 AB 的中点
14、,故 CM AB,CM= .又因为平面 ABC平3面 ABD,而 CM平面 ABC,故 CM平面 ABD.所以, CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角 .在 Rt CAD 中, CD= =4.2+2在 Rt CMD 中,sin CDM= .=34所以,直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 .3410.证明 (1) PA=PD ,且 E 为 AD 的中点,PE AD. 底面 ABCD 为矩形, BC AD,PE BC.(2) 底面 ABCD 为矩形, AB AD. 平面 PAD平面 ABCD,AB 平面 PAD.AB PD.又 PA PD,PA AB=A,PD 平面 PAB.P
15、D 平面 PCD, 平面 PAB平面 PCD.(3)如图,取 PC 的中点 G,连接 FG,GD.F ,G 分别为 PB 和 PC 的中点,FG BC,且 FG= BC.12 四边形 ABCD 为矩形,且 E 为 AD 的中点,ED BC,ED= BC,12ED FG,且 ED=FG, 四边形 EFGD 为平行四边形,EF GD.又 EF平面 PCD,GD平面 PCD,EF 平面 PCD.二、思维提升训练11.(1)证明 在题图 中,因为 AB=BC=AD=a,E 是 AD 的中点, BAD= ,所以 BE AC.2即在题图 中, BE A1O,BE OC,从而 BE平面 A1OC,又 CD
16、BE,所以 CD平面 A1OC.8(2)解 由已知,平面 A1BE平面 BCDE,且平面 A1BE平面 BCDE=BE,又由(1), A1O BE,所以 A1O平面 BCDE,即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高 .由题图 知, A1O= AB= a,平行四边形 BCDE 的面积 S=BCAB=a2.22 22从而四棱锥 A1-BCDE 的体积为 V= SA1O= a2 a= a3,由 a3=36 ,得 a=6.13 13 22 26 26 212.(1)证明 O ,D 分别是 AB 和 AC 的中点, OD BC.又 OD平面 VBC,BC平面 VBC,OD 平面 VBC.(2)证明
17、VA=VB ,O 为 AB 中点, VO AB.在 VOA 和 VOC 中, OA=OC,VO=VO,VA=VC, VOA VOC, VOA= VOC=90,VO OC.AB OC=O,AB平面 ABC,OC平面 ABC,VO 平面 ABC.又 AC平面 ABC,AC VO.VA=VC ,D 是 AC 的中点, AC VD.VO 平面 VOD,VD平面 VOD,VO VD=V,AC 平面 VOD.(3)解 由(2)知 VO 是棱锥 V-ABC 的高,且 VO= .2-2=3 点 C 是 的中点,CO AB,且 CO=1,AB=2, ABC 的面积 S ABC= ABCO= 21=1,12 12
18、 棱锥 V-ABC 的体积为 VV-ABC= S ABCVO= 1 ,故棱锥 C-ABV 的体积为 .13 13 3=33 3313.(1)证明 因为三棱柱 ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以 ABC 是正三角形 .因为 D 是 AC 的中点,所以 BD AC.又平面 ABC平面 CAA1C1,所以 BD DE.因为 AEEA 1=1 2,AB=2,AA1= ,3所以 AE= ,AD=1,33所以在 Rt ADE 中, ADE=30.在 Rt DCC1中, C1DC=60,所以 EDC1=90,即 DE DC1.因为 C1D BD=D,所以 DE平面 BC1D,所以 DE BC1.(2)解
19、假设存在点 E 满足题意 .设 AE=h,则 A1E= -h,3所以 -S AED- =2 h-( -h)- h.1=四边形 11 111312 3 32=32+12因为 BD平面 ACC1A1,所以 h,又 V 棱柱 = 2 =3,1-=-1=13(32+12)3=12+36 12 339所以 h=1,解得 h= ,12+36 33故存在点 E,当 AE= ,即 E 与 A1重合时,三棱锥 C1-BDE 的体积恰为三棱柱 ABC-A1B1C1体积的 .31314.(1)证明 DE 垂直平分线段 PC,PB=BC,DE PC,BE PC.又 BE DE=E,PC 平面 BDE.(2)解 BD DQ.证明如下:由(1)得, PC BD.PA 底面 ABC,PA BD.又 PC PA=P,BD 平面 PAC,当点 Q 是线段 PA 上任一点时都有 DQ平面 PAC,BD DQ.(3)解 PA=AB= 2,PB=BC= 2 .2AB BC,AC= 2 ,PC= 4,CE=2,且 BD= .3=22223 =263 CDE CPA, ,=DE= .=2223=233由(2)可知: BD DE,V B-CED=VC-BDE= S BDECE13= 2= .13(12263233) 429
