1、1考点 38 直接证明与间接证明1用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( )A 自然数 都是奇数 B 自然数 都是偶数C 自然数 至少有两个偶数或都是奇数 D 自然数 至少有两个偶数【答案】C【解析】命题的否定是命题本题反面的所有情况，所以“自然数 中恰有一个偶数”的否定是“自然数 至少有两个偶数或都是奇数” ，选 C.2用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 有有理根，那么 ， ， 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A 假设 ， ， 都是偶数B 假设 ， ， 都不是偶数C 假设 ， ， 至多有一个是偶数D
2、假设 ， ， 至多有两个是偶数【答案】B3用反证法证明命题“等腰三角形的底角必是锐角”,下列假设正确的是（ ）A 等腰三角形的顶角不是锐角 B 等腰三角形的底角为直角C 等腰三角形的底角为钝角 D 等腰三角形的底角为直角或钝角【答案】D【解析】分析：反证法的假设需要写出命题的反面，结合题意写出所给命题的反面即可.详解：反证法的假设需要写出命题的反面.“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角” ，即底角为直角或钝角.本题选择 D 选项.4用反证法证明命题“若 都是正数，则 三数中至少有一个不小于 2”，提出的假设是（ ）2A 不全是正数 B 至少有一个小于 2C 都是负数 D 都小于 2【答案】D
3、5用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 ”时，假设正确的是（ ）A 假设三内角都不大于 B 假设三内角都大于C 假设三内角至多有一个大于 D 假设三内角至多有两个大于【答案】B【解析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定， “至少有一个”的否定：“一个也没有” ；即“三内角都大于 60 度”.故选 B.6已知 ， 是实数，若 ，则 且 ，用反证法证明时，可假设 且 ；设 为实数， ，求证 与 中至少有一个不小于 ，用反证法证明时，可假设，且 .则A 的假设正确，的假设错误 B 的假设错误，的假设正确C 与的假设都错误 D 与的假设都正确【答案】B7用反证法证明“三角形中至少
4、有两个锐角” ，下列假设正确的是（ ）A 三角形中至多有两个锐角 B 三角形中至多只有一个锐角C 三角形中三个角都是锐角 D 三角形中没有一个角是锐角【答案】B3【解析】用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”.故选：B.8用反证法证明命题“已知 为整数，若 不是偶数，则 都不是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）A 假设 都是偶数 B 假设 中至多有一个偶数C 假设 都不是奇数 D 假设 中至少有一个偶数【答案】D【解析】由于“都不是”的否定是“不都是” ，即“至少有一个” ，所以应该假设 中至少有一个偶数，故选 D.9已知实数 满足 ， ，用反证法
5、证明：中至少有一个小于 0下列假设正确的是 （ ）A 假设 至多有一个小于 0B 假设 中至多有两个大于 0C 假设 都大于 0D 假设 都是非负数【答案】D【解析】由于命题“若 a， b， c， d 中至少有一个小于 0”的反面是“ a， b， c， d 都是非负数” ，故用反证法证明时假设应为“ a， b， c， d 都是非负数” 故选 D10对于命题： ，若用反证法证明该命题，下列假设正确的是（ ） A 假设 ， 都不为 0 B 假设 ， 至少有一个不为 0C 假设 ， 都为 0 D 假设 ， 中至多有一个为 0【答案】A11用反证法证明“已知 ，求证： .”时，应假设( )A B C
6、且 D 或 4【答案】D【解析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而 的否定为“ 不都为零” ，故选 D.12用反证法证明命题“已知 为非零实数，且 ， ，求证 中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ）A 中至少有两个为负数 B 中至多有一个为负数C 中至多有两个为正数 D 中至多有两个为负数【答案】A【解析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“ 中至少有二个为正数”的否定为：“ 中至少有二个为负数” 故选 A13设函数 ， .()讨论函数 的单调性；()当 时，函数 恰有两个零点 ，证明：【答案】(1) 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当
7、时， 在上单调递增，在 上单调递减.(2)证明见解析.5614若无穷数列 满足： 是正实数，当 时， ，则称 是“ -数列”.已知数列 是“ -数列”.（）若 ，写出 的所有可能值；（）证明： 是等差数列当且仅当 单调递减；（）若存在正整数 ，对任意正整数 ，都有 ，证明： 是数列 的最大项.【答案】 （1）-2，0，2，8.（2）见解析（3）见解析715已知集合 128=,.Xx是集合 201,3,2016,S 7的一个含有 8个元素的子集.（）当 0,5,7,6,7 时,设 ,18ijxXij（i）写出方程 2ijx的解 ,ijx；（ii）若方程 (0)ijk至少有三组不同的解,写出 k的
8、所有可能取值.8（）证明:对任意一个 X,存在正整数 ,k使得方程 (1,ijxki 8)j至少有三组不同的解.【答案】 （） （ i） 20752013,（ ） 4,6；（）证明见解析.假设不存在满足条件的 k,则这 13个数中至多两个 1、两个 2、两个 3、两个 4、两个 5、两个 6,从而127126679ab又9这与 矛盾,所以结论成立.16 （1） （用综合法证明）已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，且 A、B、C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，证明：ABC 为等边三角形。（2） （用分析法证明）设 a，b，c 为一个三角形的三边，s (abc)，且
9、s22ab，试证：s2a.【答案】(1)见解析;(2)见解析.（2）要证 s2a，由于 s22ab，所以只需证 s ，即证 bs. 因为 s (abc)，所以只需证 2babc，即证 bac. 由于 a，b，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立于是原命题成立10【点睛】所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明 A，则先证明 B；若要证明 B，则先证明C，”或“若要 A 成立，必先 B 成立
10、；若要 B 成立，必先 C 成立，” 。17已知 ABC 的三边长为 a， b， c，三边互不相等且满足 b2ac(1)比较 ba与 c的大小，并证明你的结论；(2)求证： B 不可能是钝角【答案】(1)见解析;(2)见解析.学们的解题能力大有裨益一、反证法的基本内容1步骤：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设） ；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬） ；由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论） 其中推出矛盾主要有下列情形：与已知条件矛盾；与公理、定理、定义及性质矛盾；与假设矛盾；11推出自相矛盾的结论2宜用反证法证明的题型：易导出与已知矛盾的命题；否定性命题；
11、惟一性命题；至少至多型命题；一些基本定理；必然性命题等18在各项均为正数的数列 中， 且 . （）当 时，求 的值；（）求证：当 时， .【答案】()见解析；（）见解析.只需证 ，只需证 .只需证 ， 只需证 ， 根据均值定理，12所以原命题成立. 19 （1）证明：当 时， ；（2）已知 ，且 ，求证： 与 中至少有一个小于 2【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.20 （）求证：（）已知 ，且 ，求证： 和 中至少有一个小于 2.【答案】 （）见解析；（）见解析.1321若 均为实数，且 ， ， ， ，求证： 中至少有一个大于 .【答案】证明见解析.【解析】证明：设 都不大于 ，即
12、14又, , ,与 矛盾.假设错误，原命题正确，即 中至少有一个大于 .22设实数 成等差数列 ，实数 成等比数列，非零实数 是 与 的等差中项.求证： .【答案】见解析点睛：所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明 A，则先证明 B；若要证明 B，则先证明 C，”或“若要 A 成立，必先 B 成立；若要 B 成立，必先 C 成立，” 。23 （1）在 中，内角 的对边分别为 ，且 证明：；15（2）已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为 ，斜边长为 ，则斜边上的高 .若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体 中，若三个侧面的面积分别为 ，底面面积为 ，则该四面体的高 与 之间的关系是什么？（用 表示 ）【答案】(1)证明见解析.(2) .面 ， 显然成立，故（2）解：记该四面体 的三条侧棱长分别为 ，不妨设 ，由 ，得 ，于是即 .1624求证：（1） ；（2） 【答案】(1)见解析.(2)见解析.只要证 ，只要证 ，显然成立，故 25比较大小： _ （用 连接）【答案】17
