1、1专题突破练 21 直线与圆及圆锥曲线1.(节选)已知圆 M:x2+y2=r2(r0)与直线 l1:x- y+4=0相切,设点 A为圆上一动点, AB x轴于 B,且动点 N满足 =2 ,设动点 N的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C的方程;(2)略 .2.(2018河北唐山一模,文 20)已知椭圆 : =1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 A,长轴长为 2 ,B为直线 l:x=-3上的动点, M(m,0)(mb0)过 E 1, ,且离心率为 e= .3(1)求椭圆 C的方程;(2)过右焦点 F的直线 l与椭圆交于 A,B两点, D点坐标为(4,3),求直线 DA,DB的斜率之和 .6.(20
2、18河南六市联考一,文 20)已知椭圆 =1(ab0)的左右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 M,若直线 MF1的斜率为 1,且与椭圆的另一个交点为 N, F2MN的周长为 4 .(1)求椭圆的标准方程;(2)过点 F1的直线 l(直线 l的斜率不为 1)与椭圆交于 P,Q两点,点 P在点 Q的上方,若,求直线 l的斜率 .参考答案专题突破练 21 直线与圆及圆锥曲线1.解 (1)设动点 N(x,y),A(x0,y0),因为 AB x轴于 B,所以 B(x0,0).设圆 M的方程为 M:x2+y2=r2,由题意得 r= =2,所以圆 M的方程为 M:x2+y2=4.由题意, =2 ,所以(0,
3、 -y0)=2(x0-x,-y),即将 A(x,2y)代入圆 M:x2+y2=4,得动点 N的轨迹方程为 +y2=1.(2)略 .42.解 (1)依题意得 A(0,b),F(-c,0),当 AB l时, B(-3,b),由 AF BF得 kAFkBF= =-1,又 b2+c2=6,解得 c=2,b= .所以,椭圆 的方程为 =1.(2)由(1)得 A(0, ),所以 =- ,又 AM BM,AC BM,所以 AC BM, AMC为直角三角形,所以 kBM=kAC=-kAM= ,所以直线 AC的方程为 y= x+ ,y= x+ =1联立得(2 +3m2)x2+12mx=0,所以 xC= ,|AM
4、|= ,|AC|= (m0, 8a-3=5,a=1.故圆 M的方程为( x-1)2+y2=1.(2)由题意设 AC的斜率为 k1,BC的斜率为 k2,则直线 AC的方程为 y=k1x+t,直线 BC的方程为 y=k2x+t+6.由方程组 得 C点的横坐标为 x0= .|AB|=t+ 6-t=6,S= 6= ,6由于圆 M与 AC相切,所以 1= ,k 1= ;同理, k2= ,k 1-k2= ,S= =6 1- ,- 5 t -2,- 2 t+31,- 8 t2+6t+1 -4,S max=6 1+ = ,Smin=6 1+ = , ABC的面积 S的最大值为 ,最小值为 .5.解 (1)由已
5、知得 =1, ,a2=b2+c2,解得 a=2,b= ,c=1,所以椭圆方程为 =1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得 F(1,0),设直线 l的方程为 y=k(x-1)与椭圆联立得消去 x得(3 +4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以 x1+x2= ,x1x2= ,所以 kDA+kDB=7=2k+=2k+=2k+=2k+=2.当直线 l斜率不存在时, A 1,- ,B 1, ,kDA+kDB=2.所以 DA,DB的斜率之和为 2.6.解 (1) F2MN的周长为 4 , 4a=4 ,即 a= ,由直线 MF1的斜率为 1,得 =1,a 2=b2+c2,b= 1,c=1, 椭圆的标准方程为 +y2=1.(2)由题意可得直线 MF1方程为 y=x+1,联立解得 N - ,- , , ,8即 |NF1|QF1|sin QF1N= |MF1|PF1|sin PF1M ,|QF 1|=2|PF1|,当直线 l的斜率为 0时,不符合题意,故设直线 l的方程为 x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由点 P在点 Q的上方,则 y2=-2y1,联立所以( m2+2)y2-2my-1=0,所以 y1+y2= ,y1y2= ,消去 y2得所以 .解得 m2= ,则 m= ,又由画图可知 m= 不符合题意,所以 m=- ,故直线 l的斜率为 =- .
