1、13.2.3 复数的除法1掌握复数的除法法则，并能运用复数的除法法则进行计算.复数的除法(1)已知 z a bi(a， bR)，如果存在一个复数 z，使 zz1，则 z叫做 z的_，记作 1.(2)我们规定两个复数除法的运算法则如下：(a bi)(c di) iab = 1(i)cd = 2i(i)cdab =2i = 22i 其中 a， b， c， dR.上述复数除法的运算法则不必死记.在实际运算时，我们把商 iabcd看作分数，分子、分母同乘以分母的_，把分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果.【做一做】复数 2i1mz (mR)在复平面内对应的点不可能位于( ).A第一象限 B第二象限
2、C第三象限 D第四象限复数的模有哪些性质？剖析：(1) z(2)|z1z2| z1|z2|(3) = (0)|(4)|zn| z|n题型一 复数的除法【例题 1】计算下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .2i1 i 2 i7 4i 1(9 2i)2 2 3i3 2i分析：直接利用复数除法的运算法则，分子、分母同时乘分母的共轭复数来计算反思：在复数的除法中，除直接利用分子、分母同时乘分母的共轭复数外，形如或 的复数，还可以直接化简，即a bib ai a bib ai2 i， i.a bib ai ai2 bib ai a bib ai ai2 bib ai题型二 复数运算的综合
3、应用【例题 2】设 z 是虚数， z 是实数，且1 2.1z(1)求| z|的值及 z 的实部的取值范围；(2)设 u ，求证： u 为纯虚数；1 z1 z(3)求 u2的最小值分析：(1)按常规解法，设 z a bi(a， bR)，化简 z ，找出实部、虚部列出1z等量关系式求解；(2)证明 u 为纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零或证明 u 0，且uu0；(3)要求 u2的最小值，由(1)，(2)，知 与 u2均为实数，所以可先建立 u2的函数关系，再设法求出最小值反思：该题涉及到复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解注意：解决
4、后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论题型三 易错辨析易错点：在求解过程中因忽视有关条件而导致错误【例题 3】已知 是纯虚数，求 z 在复平面内对应的点的轨迹zz 1错解：设 z x yi(x， yR)，则 i.zz 1 x yi(x 1) yi (x yi)(x 1) yi(x 1)2 y2 x2 y2 x(x 1)2 y2 y(x 1)2 y2 是纯虚数，zz 1 x2 y2 x0，即 2 y2 ，14 z 在复平面上对应点的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆121 复数 的虚部是( )1 2 i 11 2iA i B15 15C i D15 152 复数 3等于( )A8 B8C8i D
5、8i3 已知复数 z1 m2i， z234i，若 为实数，则实数 m 的值为( )z1z2A B83 32C D83 3234 设 i 为虚数单位，则复数 _.(1 i)21 i5 设复数 z12i， z213i，则复数 的虚部等于_iz1 z25答案：基础知识梳理(1)倒数 (2)共轭复数 c di【做一做】A z (m2i)(12i) (m4)2( m1)i，在复平面上对m 2i1 2i 15 15应的点若在第一象限内，则Error!无解，即该点不可能在第一象限典型例题领悟【例题 1】解：(1) i(1i)1i.2i1 i 2i 1 i 1 i 1 i(2) i.2 i7 4i 2 i 7
6、 4i 7 4i 7 4i 27 i4i i7 24i72 42 14 4 i65 1865 165(3) i.1 9 2i 2 9 2i 2 9 2i 9 2i 2 81 4 36i 92 22 2 777 225 367 225(4)方法一： i.2 3i3 2i 2 3i 3 2i9 4 6 4i 9i 6i213 13i13方法二： i.2 3i3 2i 2i2 3i3 2i i 3 2i3 2i【例题 2】(1)解： z 是虚数，可设 z x yi， x， y R，且 y0. z x yi x yi x i.1z 1x yi x yix2 y2 xx2 y2 (y yx2 y2) 是
7、实数，且 y0， y 0，yx2 y2 x2 y21，即| z|1.此时 2 x.1 2，12 x2，从而有 x1.12即 z 的实部的取值范围是 .(12， 1)(2)证明：u i.1 z1 z 1 x yi1 x yi 1 x yi 1 x yi 1 x 2 y2 1 x2 y2 2yi 1 x 2 y2 y1 x x ( ，1)， y0，12 0.y1 x u 为纯虚数(3)解： u22 x 22 x 22 x 2 x 2 x1(y1 xi) ( y1 x) 1 x2 1 x 2 1 x1 x2( x1) 3.21 x 21 x4 x1，1 x0.12于是 u22( x1) 32 31.
8、21 x 2 x 1 21 x当且仅当 2(x1) ，即 x0 时等号成立21 x u2的最小值为 1，此时 zi.【例题 3】错因分析：由 为纯虚数，得 x2 y2 x0，且 y0，错解中忽略了zz 1y0.正解：设 z x yi(x， y R)，则 .zz 1 x yi x 1 yi x yi x 1 yi x 1 2 y2 x2 y2 x yi x 1 2 y2 是纯虚数，zz 1Error!即 2 y2 (y0)(x12) 14 z 在复平面内对应的点的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，并去掉点(0,0)和(12， 0) 12点(1,0)随堂练习巩固1B 1 2 i 11 2i 2 i4 1 1 2i1 4 1 i5 i.故选 B.15 152D 3(ii) 3(2i) 38i.故选 D.(i1i)3D R，z1z2 m 2i 3 4i 3 4i 3 4i 3m 8 6 4m i2564 m0， m .3241i 1i. 1 i 21 i 2i 1 i25i i i ii.iz1 z25 i2 i 1 3i5 i 2 i5 15 35 15 25 15 35
