1、1第5课时 直线、平面垂直的判定及性质1(2018广东清远一中月考)已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：lm；lm；lm ；lm ，其中正确命题的序号是 ( )A BC D答案 D解析 中l与m可能相交、平行或异面；中结论正确；中两平面，可能平行，也可能相交；中结论正确2设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分不必要条件是( )Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案 C解析 对于C，在平面内存在cb，因为a，所以ac，故ab；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出ab.3(2018江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中
2、，已知ABAC，BDAC，那么D在平面ABC内的射影H必在( )A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部答案 A解析 由ABAC，BDAC，又ABBDB，则AC平面ABD，而AC平面ABC，则平面ABC平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.4设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，( )A不存在 B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对答案 D解析 过直线a的平面有无数个，当平面与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面与垂直，当平面与b相交时，过交点作平面的垂线，此垂线与b确定的平面与垂直故选D.5(20
3、18保定模拟)如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )ABC平面PDF2BDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC答案 D解析 因BCDF，DF平面PDF，BC 平面PDF，所以BC平面PDF，A成立；易证BC平面PAE，BCDF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立6.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是( )APABC BBC平面PACCACPB DPCBC答案 C解析 AB为直径，C为圆上异于A，B
4、的一点，所以ACBC.因为PA平面ABC，所以PABC.因为PAACA，所以BC平面PAC，从而PCBC.故选C.7如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE答案 C解析 因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.8(2017沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P
5、ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC.则下列结论不正确的是( )ACD平面PAF BDF平面PAFCCF平面PAB DCF平面PAD答案 D解析 A中，CDAF，AF面PAF，CD 面PAF，CD平面PAF成立；B中，ABCDEF为正六边形，DFAF.又PA面ABCDEF，DF平面PAF成立；C中，CFAB，AB平面PAB，CF平面PAB，CF平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.9(2018重庆秀山高级中学期中)如图，点E为矩形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将ADE沿AE翻折成SAE，使得平面SAE平面ABCE，则下列说法中正确的有( )存在点E使得直线SA平面SBC；平
6、面SBC内存在直线与SA平行；平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；3存在点E使得SEBA.A1个 B2个C3个 D4个答案 A解析 若直线SA平面SBC，则SASC，又SASE，SESCS，SA平面SEC，又平面SEC平面SBCSC，点S，E，B，C共面，与已知矛盾，故错误；平面SBC直线SAS，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故错误；在平面ABCD内作CFAE，交AB于点F，由线面平行的判定定理，可得CF平面SAE，故正确；若SEBA，过点S作SFAE于点F，平面SAE平面ABCE，平面SAE平面ABCEAE，SF平面ABCE，SFAB，又SFSES，AB平面SEC，ABAE，与B
7、AE是锐角矛盾，故错误10(2016课标全国)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案 解析 对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为，ABCD所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立命题正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则ln，由m知ml，从而mn，结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确11.(20
8、17泉州模拟)点P在正方体ABCDA 1B1C1D1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：三棱锥AD 1PC的体积不变；A 1P平面ACD 1；DBBC 1；平面PDB 1平面ACD 1.4其中正确的命题序号是_答案 解析 对于，VAD 1PCVPAD 1C点P到面AD 1C的距离，即为线BC 1与面AD 1C的距离，为定值故正确，对于，因为面A 1C1B面AD 1C，所以线A 1P面AD 1C，故正确，对于，DB与BC 1就成60角，故错对于，由于B 1D面ACD 1，所以面B 1DP面ACD 1，故正确12(2018山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2
9、CD2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积取最大值时，其外接球的体积为_答案 43解析 当平面DAC平面ABC时，三棱锥DABC的体积取最大值此时易知BC平面DAC，BCAD，又ADDC，AD平面BCD，ADBD，取AB的中点O，易得OAOBOCOD1，故O为所求外接球的球心，故半径r1，体积V r 3 .43 4313(2018辽宁大连双基测试)如图所示，ACB90，DA平面ABC，AEDB交DB于E，AFDC交DC于F，且ADAB2，则三棱锥DAEF体积的最大值为_答案 26解析 因为DA平面ABC，所以DABC，又BCAC，DAACA，所以BC平面ADC
10、，所以BCAF，又AFCD，BCCDC，所以AF平面DCB，所以AFEF，AFDB，又DBAE，AEAFA，所以DB平面AEF，所以DE为三棱锥DAEF的高因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE ，设AFa，FEb，则AEF的面积S a212b ，所以三棱锥DAEF的体积V (当且仅当ab1时等号成立)12 a2 b22 12 22 12 13 12 2 2614(2018湖北宜昌模拟)在正三棱柱ABCA 1B1C1中，BC BB1，E，F，M分别为A 1C1，AB 1，BC的中点2(1)求证：EF平面BB 1C1C；(2)求证：EF平面AB 1M.答案 (1)略 (2)略5证明
11、(1)连接A 1B，BC 1.因为E，F分别为A 1C1，AB 1的中点，所以F为A 1B的中点所以EFBC 1.因为BC 1平面BB 1C1C，EF平面BB 1C1C，所以EF平面BB 1C1C.(2)在矩形BCC 1B1，BC BB1，2所以tanCBC 1 ，tanB 1MB .22 2所以tanCBC 1tanB 1MB1.所以CBC 1B 1MB .所以BC 1B 1M. 2因为EFBC 1，所以EFB 1M.在正三棱柱ABCA 1B1C1中，底面ABC平面BB 1C1C.因为M为BC的中点，ABAC，所以AMBC.因为平面ABC平面BB 1C1CBC，所以AM平面BB 1C1C.因
12、为BC 1平面BB 1C1C，所以AMBC 1因为EFBC 1，所以EFAM.又因为AMB 1MM，AM平面AB 1M，B 1M平面AB 1M，所以EF平面AB 1M.15(2018广东惠州模拟)如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，ECPD，且PDAD2EC2，N为线段PB的中点(1)证明：NEPD；(2)求三棱锥EPBC的体积答案 (1)略 (2)23解析 (1)证明：连接AC，与BD交于点F，连接NF，则F为BD的中点NFPD，且NF PD.12又ECPD且EC PD，12NFEC且NFEC.四边形NFCE为平行四边形，NEFC，即NEAC.又PD平面ABCD，A
13、C平面ABCD，ACPD.NEAC，NEPD.(2)解：PD平面ABCD，PD平面PDCE，平面PDCE平面ABCD.6BCCD，平面PDCE平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面PDCE.三棱锥EPBC的体积V EPBC V BPEC SPEC BC ( 12)2 .13 13 12 2316(2018安徽马鞍山一模)如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，BCAD，AD2AB4，BC3，E为AD的中点，EFBC，垂足为F.沿EF将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图所示的六面体ABCDEF.若折起后AB的中点M到点D的距离为3.(1)求证：平面ABFE平面CDEF；(2)
14、求六面体ABCDEF的体积答案 (1)略 (2)83解析 (1)如图，取EF的中点N，连接MN，DN，MD.根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形，MNEF.由题意，得DN ，MD3，DE2 EN2 5MN 2DN 22 2( )29MD 2，5MNDN，EFDNN，MN平面CDEF.又MN平面ABFE，平面ABFE平面CDEF.(2)连接CE，则V 六面体ABCDEF V 四棱锥CABFE V 三棱锥ACDE .由(1)的结论及CFEF，AEEF得，CF平面ABFE，AE平面CDEF，V 四棱锥CABFE S正方形ABFE CF ，13 43V三棱锥ACDE SCDE AE ，13
15、43V 六面体ABCDEF .43 43 8317(2018潍坊质检)直四棱柱ABCDA 1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.7(1)求证：AC平面BB 1C1C；(2)在A 1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB 1和平面ACB 1都平行？证明你的结论答案 (1)略(2)P为A 1B1的中点时，DP与平面BCB 1和平面ACB 1都平行解析 (1)直四棱柱ABCDA 1B1C1D1中，BB 1平面ABCD，BB 1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC ，CAB45.2BC .BC 2AC 2AB 2，BCAC.2又BB 1BCB
16、，BB 1平面BB 1C1C，BC平面BB 1C1C，AC平面BB 1C1C.(2)存在点P，P为A 1B1的中点由P为A 1B1的中点，有PB 1AB，且PB 1 AB.12又DCAB，DC AB，12DCPB 1，且DCPB 1.DCB 1P为平行四边形，从而CB 1DP.又CB 1平面ACB 1，DP平面ACB 1，DP平面ACB 1.同理，DP平面BCB 1.1(2017温州模拟)正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于( )AAC BBDCAD DAA答案 B解析 连接BD，BDAC，BDCC，且ACCCC，BD平面CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，B
17、DCE.2如图所示，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD ，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A2BCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是( )8AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为13答案 B解析 取BD的中点O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，AO平面BCD.CDBD，OC不垂直于BD，假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD.A错误；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD内的射影为AD，ABAD1，BD ，ABAD，ABAC，B正确；CAD为直
18、线CA与平面ABD所成的角，CAD245，C错误；V ABCD SABD CD ，D错误，故选B.13 163(2018四川成都检测)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC上(端点除外)一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABCF.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AKt，则t的取值范围是( )A( ，2) B( ，1)12 12C( ，2) D( ，1)32 32答案 B解析 当点F与点E无限接近时，不妨令二者重合，可得t1，当点C与点F无限接近时，不妨令二者重合，此时有CD2，CBAB，CBDK，CB平面ADB，即有CBBD，对于CD2，
19、BC1，在直角三角形CBD中，得BD ，3又AD1，AB2，由勾股定理可得BDA是直角，ADBD.由DKAB，可得ADBAKD，可得t ，12t的取值范围是( ，1)，故选B.124如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点9(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.答案 (1)略 (2)略证明 (1)连接AC，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点AN PC.12PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BCPB.从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BN PC.ANBN，ABN为等腰三角形12
20、又M为底边的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)PDA45，PAAD，APAD.ABCD为矩形，ADBC，PABC.又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，PMCM，又N为PC的中点，MNPC.由(1)知MNCD，PCCDC，MN平面PCD.5(2018四川成都一诊)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且 .将AED，CFD，BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，DGGH BRRH如图所示(1)求证：GR平面PEF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥PDEF的内切球的半径答案
21、 (1)略 (2)1210解析 (1)依题意，得在三棱锥PDEF中，PE，PF，PD两两垂直PD平面PEF. ，即 ，在PDH中，GRPD.DGGH BRRH DGGH PRRHGR平面PEF.(2)由题意知，PEPF2，PD4，EF2 ，DF2 .2 5S PEF 2，S DPF S DPE 4，SDEF 2 6.12 2 （ 2 5） 2 （ 2） 2设三棱锥PDEF的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V PDEF V DPEF 224 (SPEF 2S DPF S DEF )r，解得r .13 12 13 12三棱锥PDEF的内切球的半径为 .126(2018河南郑州一中月考)如图所示，在
22、直四棱柱ABCDA 1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点M是棱BB 1上一点(1)求证：B 1D1平面A 1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC 1平面CC 1D1D.答案 (1)略 (2)略 (3)略解析 (1)由ABCDA 1B1C1D1是直四棱柱，得BB 1DD 1，且BB 1DD 1，所以四边形BB 1D1D是平行四边形，所以B 1D1BD.又BD平面A 1BD，B 1D1平面A 1BD，所以B 1D1平面A 1BD.(2)因为BB 1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB 1AC.因为BDAC，且BDBB 1B，所以AC平面BB 1D1D.而MD平面BB 1D1D，所以MDAC.(2)当点M为棱BB 1的中点时，平面DMC 1平面CC 1D1D.证明如下：取DC的中点N，D 1C1的中点N 1，11连接NN 1交DC 1于点O，连接BN，OM，如图因为N是DC的中点，BDBC，所以BNDC.因为DC是平面ABCD与平面DCC 1D1的交线，而平面ABCD平面DCC 1D1，所以BN平面DCC 1D1.易得O是NN 1的中点，所以BMON且BMON，所以四边形BMON是平行四边形，所以BNOM，所以OM平面CC 1D1D.因为OM平面DMC 1，所以平面DMC 1平面CC 1D1D.
