1、1第三讲 空间向量与立体几何1(2018高考全国卷)如图，四边形 ABCD 为正方形， E， F 分别为 AD， BC 的中点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PE BF.(1)证明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值解析：(1)证明：由已知可得 BF PF， BF EF，所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.(2)如图，作 PH EF，垂足为 H.由(1)得， PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴HF 正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标
2、系 Hxyz.BF 由(1)可得， DE PE.又 DP2， DE1，所以 PE .3又 PF1， EF2，所以 PE PF.所以 PH ， EH .32 32则 H(0,0,0)， P ， D ，(0， 0，32) ( 1， 32， 0) ， .DP (1， 32， 32) HP (0， 0， 32)又 为平面 ABFD 的法向量，HP 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 sin .|HP DP HP |DP |343 34所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 .342(2018长春模拟)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA平面 ABCD， E为 P
3、D 的中点2(1)证明： PB平面 ACE；(2)设 PA1， ABC60，三棱锥 EACD 的体积为 ，求二面角 DAEC 的余弦值38解析：(1)证明：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 OE(图略)在 PBD 中， PE DE， BO DO，所以 PB OE.又 OE平面 ACE， PB平面 ACE，所以 PB平面 ACE.(2)由题易知 VPABCD2 VPACD4 VEACD ，设菱形 ABCD 的边长为 a，32则 VPABCD SABCDPA (2 a2)1 ，则 a .13 13 34 32 3取 BC 的中点为 M，连接 AM，则 AM AD.以点 A 为坐标原点，分别以
4、， ， 的方向为 x 轴， y AM AD AP 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， E(0， ， )， C( ， ，0)， (0， ， )，32 12 32 32 AE 32 12( ， ，0)，AC 32 32设 n1( x， y， z)为平面 AEC 的法向量，则Error!即Error!取 x1，则n1(1， ，3)为平面 AEC 的一个法向量3又易知平面 AED 的一个法向量为 n2(1,0,0)，所以 cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 11 3 9 1313由图易知二面角 DAEC 为锐二面角，所以二面角 DAEC 的余弦值为
5、.13133(2018高考全国卷)如图，在三棱锥 PABC 中，AB BC2 ， PA PB PC AC4， O 为 AC 的中点23(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 MPAC 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值解析：(1)证明：因为 PA PC AC4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP2 .3如图，连接 OB.因为 AB BC AC，22所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB AC， OB AC2.12由 OP2 OB2 PB2知 PO OB.由 OP OB， OP AC， OB AC O，得 PO平面 ABC.(2
6、)如图，以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立空OB 间直角坐标系 Oxyz.由已知得 O(0,0,0)， B(2,0,0)， A(0，2,0)， C(0,2,0)，P(0,0,2 )， (0,2,2 )3 AP 3取平面 PAC 的一个法向量 (2,0,0)OB 设 M(a,2 a,0)(0 a2)，则 ( a,4 a,0)AM 设平面 PAM 的法向量为 n( x， y， z)由 n0， n0 得AP AM Error!可取 y a，得平面 PAM 的一个法向量为 n( (a4)， a， a)，3 3 3所以 cos ， n .OB 23 a 423 a 4 2 3a2 a2由
7、已知可得|cos ， n|cos 30 ，OB 32所以 ，23|a 4|23 a 4 2 3a2 a2 32解得 a4(舍去)或 a .43所以 n .(833， 433， 43)4又 (0,2，2 )，所以 cos ， n .PC 3 PC 34所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 .344(2018青岛模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中， PA平面ABCD， AC AD， AB BC， BCA45， AP AD AC2， E 为 PA 的中点(1)设平面 PAB平面 PCD l，求证： CD l；(2)求二面角 BCED 的余弦值解析：(1)证明：在四边形 ABCD 中， AC
8、 AD， AD AC2， ACD45， BCA45 ， BCD BCA ACD 90，即 DC BC.又 AB BC， AB CD. AB平面 PAB， CD平面 PAB， CD平面 PAB. CD平面 PCD，平面 PAB平面 PCD l， CD l.(2) PA平面 ABCD， AC AD，以 A 为原点，以 AD 所在的直线为 x 轴， AC 所在的直线为 y 轴，AP 所在的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)， E(0,0,1)， D(2,0,0)， C(0,2,0)， B(1,1,0)，设平面 DCE 的法向量为 n1( x1， y1， z1)， (0，2,1)， (2,0,1)，CE DE 由Error! 得Error!，令 x11，则 y11， z12， n1(1,1,2)是平面 DCE 的一个法向量设平面 BCE 的法向量为 n2( x2， y2， z2)，(1,1,0)， (0，2,1)，BC CE 由Error! 得Error!，令 x21，则 y21， z22， n2(1，1，2)是平面 BCE的一个法向量则 cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 466 231又二面角 BCED 为钝角，二面角 BCED 的余弦值为 .23
