1、3.2.2 函数模型的应用实例,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2件.于是商场经理决定每件衬衫降价15元. 想一想 如何判定经理的决定是否正确? (引入变量,建立数学模型,利用数据来判定),知识探究,1.函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题. (2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.,ax+b(a,b为常数且a0),2.常
2、见的函数模型,ax2+bx+c(a,b,c为常数且a0),kax+b(k,a,b为常数且a0,a1,k0),kxn+b(k,b,n为常数,且k0),3.建立函数模型解决问题的基本过程,自我检测,1.(指数型函数模型)某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) (A)14 400亩 (B)172 800亩 (C)17 280亩 (D)20 736亩 2.(二次函数模型)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车运营的利润y与运营年数x(xN)为二次函数关系(如图),则客车有运营利润的时间不超过( ) (A)4年 (B)5年 (C)6
3、年 (D)7年,C,D,D,3.(一次函数模型)据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是( ) (A)y=0.1x+800(0x4 000) (B)y=0.1x+1 200(0x4 000) (C)y=-0.1x+800(0x4 000) (D)y=-0.1x+1 200(0x4 000) 4.(对数型函数模型)某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y= alog2(x+1),若这种动物第一年有100只,则到第15年会有 只
4、.,答案:400,题型一,利用已知函数模型解决问题,课堂探究素养提升,【例1】 一个自来水厂,蓄水池中有水450吨,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水总量为160 吨,现在开始向水池中注水并同时向居民小区供水. (1)问多少小时后,蓄水池中水量最少?,(2)若蓄水池中水量少于150吨时,就会出现供水紧张现象,问每天有几小时供水紧张?,方法技巧 由于分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变化量的范围,特别是端点值.,【备用例1】 某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于
5、成本单价500元/件,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件),可近似看作一次函数y=kx+b的关系(图象如图所示). (1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式;,(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 求S关于x的函数解析式; 求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.,解:(2)由(1)S=xy-500y=(-x+1 000)(x-500) =-x2+1 500x-500 000(500x800). 由可知,S=-(x-750)2+62 500,其图象开口向下,对称轴为x=750,所以当x=750时,Smax=62
6、 500.即该公司可获得的最大毛利润为62 500元,此时相应的销售单价为750元/件.,【备用例2】 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?,(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?,题型二,指数型函数模型,【例2】 已知某城市2017年底的人口总数为200万,假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素). (1)若经过x年该城
7、市人口总数为y万,试写出y关于x的函数关系式; (2)如果该城市人口总数达到210万,那么至少需要经过多少年(精确到1年)?,解:(1)y=200(1+1%)x. (2)令y=210,即200(1+1%)x=210, 解得x=log1.011.055. 答:至少需要经过5年该城市人口总数达到210万.,方法技巧 此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数型函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数型模型y= a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式来表示.,题型三,对数型函数模型,【例3】 国际视力表值(又叫小数视力值,用V表示,范围是0.1,
8、1.5)和我国现行视力表值(又叫对数视力值,由缪天容创立,用L表示,范围是4.0,5.2)的换算关系式为L=5.0+lg V. (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整:,(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的2倍,求乙的对数视力值. (所求值均精确到小数点后面一位数字,参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1),解:(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值, 则有4.5=5.0+lg V甲, 所以V甲=10-0.5,则V乙=210-0.5. 所以乙的对数视力值L乙=5.0+lg (210-0.5)=5.0+lg 2-0.5=5.0+
9、0.301 0-0.54.8.,方法技巧 (1)形如y=mlogax+n(a0,a1,m0),其特点为当a1,m0时,y随自变量x的增大而增大,且函数值增大的速度越来越慢. (2)对于对数型函数模型问题,关键在于熟练掌握对数函数的性质,在认真审题的基础上,分析清楚底数a与1的大小关系,要关注自变量的取值范围. 借助于数学模型解决数学问题的同时,实际问题也得以顺利解决,这就是函数模型的作用.,【备用例3】 20世纪70年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A
10、-lg A0.其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅. (1)假设在一次地震中,一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002,计算这次地震的震级; (2)5级地震给人的震感已比较明显,我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?,题型四,易错辨析忽略限制条件致误,【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(ba),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x. 问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.,纠错:没有考虑二次函数的定义域就直接利用二次函数的性质求解,从而导致出错.,【备用例4】 如图,OAB是边长为2的正三角形,记OAB位于直线x=t(t0)左侧的图形的面积为f(t),则函数f(t)的解析式为 .,(1)将利润表示为月产量的函数f(x);,(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润),谢谢观赏！,
