1、1.5.1 二项式定理,第1章 1.5 二项式定理,学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 二项式定理,思考1,我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式.,答案,答案 (ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.,思考2,上述两个等式的右侧有何特点？,答案,答案 (ab)3的展开式有4项，每项的次数是3； (ab)4的展开式有5项，每一项的次数为
2、4.,思考3,能用类比方法写出(ab)n(nN*)的展开式吗？,答案,二项式定理及其概念 (1)二项式定理 (ab)n (nN*)叫做二项式定理， 叫做(ab)n的二项展开式，它一共有 项. (2)二项展开式的通项叫做二项展开式的第r1项(也称通项)，用Tr1表示，即Tr1 . (3)二项式系数叫做第r1项的二项式系数.,梳理,右边的多项式,n1,题型探究,解答,类型一 二项式定理的正用、逆用,解答,引申探究 将本例(1)改为求(2x )5的展开式.,解答,(1)(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等于n.字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直
3、到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.,反思与感悟,跟踪训练1 化简(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.,解答,命题角度1 二项式系数与项的系数,类型二 二项展开式的通项,解答,(1)求展开式第4项的二项式系数；,(2)求展开式第4项的系数；,解答,(3)求第4项.,(1)二项式系数都是组合数 (r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.,反思与感悟
4、,跟踪训练2 已知 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162. (1)求n的值；,解答,所以n281，n9.,(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.,解答,命题角度2 展开式中的特定项,解答,3,解 通项公式为,第6项为常数项，当r5时，,(2)求含x2的项的系数；,解答,(3)求展开式中所有的有理项.,解答,令t2,0，2，即r2,5,8. 第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2.,(1)求二项展开式的特定项的常见题型 求第r项，Tr anr1br1；求含xr的项(或xpyq的项)；求常数项；求有理项. (2)求二项展开式的特定
5、项的常用方法 对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项). 对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.,反思与感悟,跟踪训练3 (1)若 的展开式中x3的系数是84，则a_.,答案,解析,1,当92r3时，解得r3，代入得x3的系数，根据题意得 (a)384， 解得a1.,解析 由题意得n6，,(2)已知n为等差数列4，2,0，的第六项，则(x )n的二项展开式的常数项是_.
6、,答案,解析,160,当堂训练,1.(x2)8的展开式中x6的系数是_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 由T21 x8222112x6， (x2)8的展开式中x6的系数是112.,112,2.二项式(x )12的展开式中的常数项是第_项.,答案,2,3,4,5,1,解析,9,常数项为第9项.,3.已知 的展开式中含 的项的系数为30，则a_.,答案,2,3,4,5,1,解析,6,4.化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 原式(x1)15x5.,x5,解答,2,3,4,5,1,规律与方法,1.求二项展开式的特定项应注意的问题 通项公式的主要作用是求展开式中的特殊项，常见的题型有：求第r项；求含xr(或xpyq)的项；求常数项；求有理项.其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误. 2.二项式系数与项的系数的区别 二项式系数Cn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负.,r,本课结束,
