1、第2章,推理与证明,1,知识网络 系统盘点，提炼主干,2,要点归纳 整合要点，诠释疑点,3,题型研修 突破重点，提升能力,章末复习提升,1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.,2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.,3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合
2、法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.,题型一 归纳推理和类比推理 归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用. 运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明,是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.,例1 观察下列各式
3、：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.,解析 记anbnf(n)， 则f(3)f(1)f(2)134； f(4)f(2)f(3)347； f(5)f(3)f(4)11. 通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)， 则f(6)f(4)f(5)18；,f(7)f(5)f(6)29； f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76； f(10)f(8)f(9)123. 所以a10b10123. 答案 123,跟踪演练1 给出下列三个类比结论： (ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn； loga(xy)log
4、axlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ； (ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2. 其中正确结论的个数是_.,解析 (ab)nanbn(n1，ab0)， 故错误. sin()sin sin 不恒成立. 如30，60，sin 901，sin 30sin 60 ， 故错误. 由向量的运算公式知正确. 答案 1,题型二 直接证明 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从
5、哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用.,a0，,而上述不等式显然成立， 故原不等式成立.,跟踪演练2 如图，在四面体BACD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点， 求证：(1)直线EF平面ACD； 证明 要证直线EF平面ACD， 只需证EFAD且EF平面ACD.,因为E，F分别是AB，BD的中点， 所以EF是ABD的中位线， 所以EFAD， 所以直线EF平面ACD.,(2)平面EFC平面BCD. 证明 要证平面EFC平面BCD， 只需证BD平面EFC， 只需证,因为 所以EFBD. 又因为CBCD，F为BD的中点，
6、 所以CFBD. 所以平面EFC平面BCD.,题型三 反证法 如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法.通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立.,反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立 体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、惟一性命题；至多、至少型问题；几何问题.,例3 已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且00. (1)证明： 是函数f(x)的一个零点； 证明 f(x)图象与x轴有两个不同的交点， f(x)0有两个不等实根
7、x1，x2， f(c)0， x1c是f(x)0的根，,由00，,跟踪演练3 若a，b，c均为实数，且ax22y ，by22z ，cz22x .求证：a，b，c中至少有一个大于0. 求证：a，b，c中至少有一个大于0. 证明 假设a，b，c都不大于0， 即a0，b0，c0， 则abc0，,而abcx22y y22z z22x (x1)2(y1)2(z1)23. 30， 且(x1)2(y1)2(z1)20， abc0，,这与abc0矛盾， 因此假设不成立， a，b，c中至少有一个大于0.,课堂小结 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理 (1)归纳推理的基本模式：a，b，cM且a，b，c具有某属性，结论：dM，d也具有某属性. (2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a，b，c；结论：B具有属性d.(a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同),2.使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：,
