1、5.3.2 空间中的垂直与空间角,-2-,考向一,考向二,考向三,证明垂直关系求线面角 例1(2018浙江卷,19)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.,-3-,考向一,考向二,考向三,-4-,考向一,考向二,考向三,-5-,考向一,考向二,考向三,-6-,考向一,考向二,考向三,解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐
2、角,取其余角就是斜线和平面所成的角.,-7-,考向一,考向二,考向三,对点训练 1(2018全国卷2,理20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.,-8-,考向一,考向二,考向三,-9-,考向一,考向二,考向三,-10-,考向一,考向二,考向三,-11-,考向一,考向二,考向三,证明垂直关系求二面角 例2如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90. (1)证明:平面PAB平面PAD; (2)若PA=PD=A
3、B=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.,-12-,考向一,考向二,考向三,-13-,考向一,考向二,考向三,-14-,考向一,考向二,考向三,解题心得用向量求二面角,由于在求平面法向量的坐标时,坐标的取值不同,导致平面法向量的方向相反,所以两个法向量的夹角与二面角相等或互补,所以根据图形判断所求二面角是锐角还是钝角,进而确定二面角余弦值的正负.,-15-,考向一,考向二,考向三,对点训练 2(2018全国卷3,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求
4、面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.,-16-,考向一,考向二,考向三,解: (1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM. 因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM. 又BCCM=C, 所以DM平面BMC. 而DM平面AMD, 故平面AMD平面BMC.,-17-,考向一,考向二,考向三,-18-,考向一,考向二,考向三,折叠问题中的空间角 例3(2018全国卷1,理18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面P
5、EF平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,-19-,考向一,考向二,考向三,-20-,考向一,考向二,考向三,-21-,考向一,考向二,考向三,解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在一个平面上的线线和线面的关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值.,-22-,考向一,考向二,考向三,对点训练 3(2018湖南郴州二模,理19)如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=2,现将ACD沿AC折起,使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上.(1)证明:APPB; (2)求锐二面角B-PC-E的余弦值.,-23-,考向一,考向二,考向三,(1)证明 由题知PE平面ABC,又BC平面ABC,PEBC. ABBC且ABPE=E, BC平面PAB. AP平面PAB,BCAP. APCP且BCCP=C, AP平面PBC. PB平面PBC,APPB.,-24-,考向一,考向二,考向三,-25-,考向一,考向二,考向三,
