1、5.3 立体几何大题,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,-7-,1.证明线线平行和线线垂直的常用方法 (1)证明线线平行常用的方法:利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;利用平行四边形进行平行转换;利用三角形的中位线定理证线线平行;利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;勾股定理;线面垂直的性质:即要证两直线垂直,只需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可,即l,ala. 2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为
2、证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.,-8-,3.求几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解. (2)对于不规则几何体,可采用割补法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.,5.3.1 空间中的平行与几何体的体积,-10-,考向一,考
3、向二,平行关系的证明及求体积 例1(2018湖南衡阳一模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,PA=AB,E,F,G分别是PA,PB,BC的中点.(1)证明:平面EFG平面PCD; (2)若平面EFG截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为 ,求四棱锥P-ABCD的体积.,-11-,考向一,考向二,(1)证明 因为E,F分别为PA,PB的中点,所以EFAB. 又ABCD,所以EFCD. F,G分别为PB,BC的中点, FGPC. PCCD=C,EFFG=F, 平面EFG平面PCD. (2)解 设H为AD的中点,连接GH,EH, 则GHEF,则平面EFG截四
4、棱锥P-ABCD的截面为梯形EFGH, PA面ABCD,又DC平面ABCD, PADC,且DCAD, DC平面PAD.,-12-,考向一,考向二,又EH平面PAD,CDEH. GHCD,GHEH, 梯形EFGH为直角梯形. 不妨设PA=AB=a,-13-,考向一,考向二,解题心得(1)证明面面平行首先考虑面面平行的判定定理,即证两条相交的直线与一个平面平行,或证一个平面的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线平行. (2)求几何体的体积首先考虑几何体的底面面积和几何体的高,如果都易求,直接代入体积公式即可.,-14-,考向一,考向二,-15-,考向一,考向二,(1)证明 在平面ABCD内,因为
5、BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD. (2)解 取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD. 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PM AD,PM底面ABCD. 因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x, 则CM=x,CD= x,PM= x,PC=PD=2x.取CD 的中点N,连接PN,则PNCD,-16-,考向一,考向二,例2(2018山东潍坊三模,文18)如图所示,五面体ABCDEF,四边形ACFD是等腰梯形,ADF
6、C,DAC= ,BC面ACFD,CA=CB=CF=1,AD=2CF,点G为AC的中点.(1)在AD上是否存在一点H,使GH平面BCD?若存在,指出点H的位置并给出证明;若不存在,说明理由; (2)求三棱锥G-ECD的体积.,-17-,考向一,考向二,解 (1)存在点H,H为AD中点.证明如下:连接GH,在ACD中,由三角形中位线定理可知GHCD.又GH平面BCD,CD平面BCD, GH平面BCD.,-18-,考向一,考向二,(2)由题意知ADCF,AD平面ADEB,CF平面ADEB, CF平面ADEB. 又CF平面CFEB,平面CFEB平面ADEB=BE,CFBE, VG-ECD=VE-GCD
7、=VB-GCD.,-19-,考向一,考向二,解题心得(1)证明平行关系,常常利用转化法.若证明线面平行或面面平行可以转化为证明线线平行;若证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行.若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构造中位线进行证明. (2)求几何体的体积也常用转化法,转化有两个方面,一是几何体高的转化,另一方面是几何体底面的转化,如本例中求几何体的体积VG-ECD=VE-GCD=VB-GCD,转化的目的是为了几何体的高和底面积易求.,-20-,考向一,考向二,对点训练2如图,正方形ABCD的边长等于2,平面ABCD平面ABEF,AFBE,BE=2AF=2,EF= .(1)求证
8、:AC平面DEF; (2)求三棱锥C-DEF的体积.,-21-,考向一,考向二,(1)证明 连接BD,记ACBD=O,取DE的中点G,连接OG,FG. 点O,G分别是BD和ED的中点,四边形AOGF是平行四边形, AOFG,即ACFG. 又AC平面DEF,FG平面DEF, AC平面DEF.,-22-,考向一,考向二,(2)解 在四边形ABEF中,过F作FHAB交BE于点H. 由已知条件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF= ,EH=1,则FH2=EF2+EH2,即FEEB,从而FEAF. AC平面DEF, 点C与点A到平面DEF的距离相等, VC-DEF=VA-DEF. DAAB,且平面
9、ABCD平面ABEF, DA平面ABEF,-23-,考向一,考向二,求点到面的距离 例3(2018山西吕梁一模,文19)在如图所示的多面体ABCDE中,已知ABDE,ABAD,ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,BC= ,F是CD的中点.(1)求证:AF平面BCE; (2)求证:平面BCE平面CDE; (3)求D到平面BCE的距离.,-24-,考向一,考向二,(1)证明 取CE的中点M,连接BM,MF. F为CD的中点, MFAB,四边形ABMF为平行四边形, MBAF.BM平面BCE,AF平面BCE, AF平面BCE. (2)证明 因为ACD是正三角形,所以AC=AD=CD=2,在AB
10、C中,AB=1,AC=2,BC= , 所以AB2+AC2=BC2,故ABAC. DEAC,又DEAD,ACAD=A,DE平面ACD. DEAF,又AFCD,由(1)得BMAF,DEBM,BMCD,DECD=D,BM平面CDE,BM平面BCE,平面BCE平面CDE,-25-,考向一,考向二,(3)解 连接DM,由于DE=DC,DMCE. 由(2)知,平面BCE平面CDE, DM平面BCE,所以DM为D到平面BCE的距离,DM= , 所以D到平面BCE的距离为 .,-26-,考向一,考向二,解题心得求几何体的高或点到平面的距离,经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或要求的距离.其步骤为一作,二证
11、,三求.如何作出点到平面的距离是关键,一般的方法是利用辅助面法,所作的辅助面一是要经过该点,二是要与所求点到平面的距离的平面垂直,这样在辅助面内过该点作交线的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.,-27-,考向一,考向二,对点训练3如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB平面AEC;,-28-,考向一,考向二,(1)证明 设BD与AC的交点为O,连接EO. 因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.,-29-,考向一,考向二,例4(2018全国百强校
12、最后一卷,文18)在四棱锥P-ABCD中,ABCD,CD=2AB,AC与BD相交于点M,点N在线段AP上,AN=AP(0),且MN平面PCD.(1)求实数的值; (2)若AB=AD=DP=1,PA=PB= ,BAD=60,求点N到平面PCD的距离.,-30-,考向一,考向二,-31-,考向一,考向二,-32-,考向一,考向二,解法二:AB=AD,BAD=60,ABD为等边三角形, BD=AD=1, PD=1,PA=PB= ,PB2=PD2+BD2且PA2=PD2+AD2, 所以PDBD且PDDA. 因为DADB=D,所以PD平面ABCD.因为PD平面PCD, 平面PCD平面ABCD. 作MEC
13、D于E,因为平面PCD平面ABCD=CD,ME平面PCD. MN平面PCD,ME即为N到平面PCD的距离.,-33-,考向一,考向二,解题心得求点到平面距离时,常常把点到平面的距离转化为棱锥的高,利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置,其体积相等的方法求解;点到平面距离也可直接根据点到平面距离的定义求.,-34-,考向一,考向二,对点训练4如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是菱形,且ABC=60,M为PC的中点. (1)求证:PCAD; (2)求点D到平面PAM的距离.,-35-,考向一,考向二,(1)证明 取AD的中点O,连接OP,OC,AC,如图,依题意可知PAD,ACD均为正三角形,所以OCAD,OPAD.又OCOP=O,OC平面POC,OP平面POC,所以AD平面POC.又PC平面POC,所以PCAD.,-36-,考向一,考向二,(2)解 点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离.由(1)可知POAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的高.,
