1、第五章 平面向量,高考文数,5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理,考点一 向量的线性运算及几何意义1.向量的有关概念及表示法,知识清单,2.向量的线性运算,3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实 数,使得b=a成立.,考点二 平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于这 一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数1,2,使a= 1e1+2e2 . 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 温馨提示 (1)零向量和共线向量不能作基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一; (3)若1e1+2
2、e2=0,则1=2=0.考点三 平面向量的坐标运算1.加法、减法、数乘运算,2.向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向 量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a=b x1y2-x2y1=0 .,拓展延伸 1.若 + =2 ,则D为BC的中点,反之也成立. 2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). 3.若O为原点,A,B,C为平面内三点,则A,B,C三点在一条直线上的充要条 件是 = + ,且+=1,R.
3、,平面向量线性运算的解题策略 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的 加法、减法、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在 求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中,利用三角形中位线、 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知 向量有直接关系的向量进行求解. 例1 (2017广东东莞二模,4)如图所示,已知 =3 , =a, =b, =c, 则下列等式中成立的是 ( A ),方法技巧,A.c= b- a B.c=2b-a C.c=2a-b D.c= a- b,解析 因为 =3 , =a, =b,所以 = + = + = + ( - )=
4、 - = b- a,故选A.,向量共线定理的应用方法 1.aba=b(b0)是判断两个向量共线的重要依据.证明三点A、B、C共线,借助向量,只需证明由三点A、B、C所组成的向量中的两个共线. 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0. 3.用向量共线定理解向量的线性表示问题,通常是把共线的向量用选定 的两个基向量表示出来,再根据共线定理就可以得到一个向量的方程, 利用这个方程得到不含向量的方程(组),在方程(组)中消掉引入的参数, 就可以解决问题. 例2 (2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则= .,解题导引 由ab的充
5、要条件得的方程 解方程得的值,解析 a=(2,6),b=(-1,),ab, 2-6(-1)=0,=-3.,答案 -3,例3 如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点M、N,若 =m , =n ,则m+n的值为 .,解题导引 解法一:选择基底 , ,用基底表示 与 利用两向量共线 的充要条件 列出向量等式 得出关于m与n的关系式 解法二:利用向量的中点 表示式写出 由 =m , =n 得与 , 的关系 利用M,O,N三点共线,得出m与n的关系式,解析 解法一:连接AO,由于O为BC的中点, 故 = ( + ),= - = ( + )- = + , 同
6、理 = + . 由于向量 , 共线, 故存在实数,使得 = , 即 + = , 由于 , 不共线, 故得 - = 且 = ,消去,得(m-2)(n-2)=mn, 化简即得m+n=2. 解法二:连接AO,O是BC的中点, = ( + ). 又 =m , =n , = + . M、O、N三点共线, + =1.m+n=2.,答案 2,平面向量坐标运算的解题策略 1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求 解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.将向量用坐 标表示出来,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合起来. 2.解题过程中注意方程思想的应用. 例4 (2016
7、四川,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2 ,平面ABC内的 动点P,M满足| |=1, = ,则| |2的最大值是 ( B ) A. B. C. D.,解题导引 建系 求出点P的轨迹方程 写出| |2的表达式 利用函 数思想求最值,解析 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(2 ,0),B( ,3). 设P(x,y),| |=1,x2+y2=1, = ,M为PC的中点,M , | |2= +,= + -3y+9 = -3y+9= -3y, 又-1y1, 当y=-1时,| |2取得最大值,且最大值为 .,解题导引 建立平面直 角坐标系 分别求出a,b,c的坐标 将
8、坐标代入c=a+b中,利用方程思 想求出和 结论,例5 向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=a+b(,R),则 = .,解析 以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,设每个小 正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a= =(-1,1),b=(6,2),c= =(-1,-3).由c=a+b可得 解得 所以 =4.,答案 4,平面向量基本定理的应用策略 平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解 的理论依据,也是向量的坐标表示的基础. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用平 面向量的基本定理将
9、条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的 运算来求解.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方 便.另外,要熟练运用线段中点的向量表达式. 例6 (2018中原名校9月联考,15)如图,在ABC中,点M是BC的中点,N 在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则 = .,解题导引 求得,的值, 从而得 的值,解析 设 =a, =b, A、P、M共线, 存在唯一实数,使得 = . 又M为BC的中点, = (a+b). 又 = + = + = +( - ) = + =(1-)a+ b. 根据平面向量基本定理得解得= ,= . = , = .,| | |=41,即 =4.,答案 4,
