1、第五章 平面向量,高考文数,5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用,知识清单,考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题1.两向量夹角的定义和范围,2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件,3.平面向量的数量积,4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae= |a|cos . (2)ab ab=0 . (3)当a与b同向时, ab=|a|b| ;当a与b反向时, ab=-|a|b| . 特别地,aa= |a|2 . (4)cos = . (5)|ab|a|b|.,5.坐标表示 (1)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2
2、+y2,|a|= . (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= ,这就是平面内 两点间的距离公式.,考点二 利用向量解决平行、垂直问题若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)ab x1x2+y1y2=0 . (2)ab x1y2-x2y1=0 . 拓展延伸 向量中常用的结论: 在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)在 = 的条件下,存在,使得I为ABC的内心; a +b +c =0P为ABC的内心. (2)| |=| |=| |P为ABC的外心.,(3) + + =0G为ABC的重心. (4) = = P为ABC的垂心.,求平面向量模长
3、的方法 1.把几何图形放到适当的坐标系中,写出有关向量的坐标,求向量的长 度.如向量a=(x,y),求向量a的模长只需利用公式|a|= 即可. 2.若不把向量放到坐标系中研究,则求此类问题的通法是利用向量的运 算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式,关键是会把向量a的模 进行如下转化:|a|= . 例1 (2017河北“五个一名校”联盟模拟,4)已知向量a,b满足:|a|=2,|b|= 4,= ,则|3a-2b|= ( B ) A.52 B.2 C. D.2,方法技巧,解题导引 由题意求得ab的值 利用|3a-2b|= 求得结果,解析 由题意,得ab=|a|b|cos=24cos =4,所以
4、|3a-2b|= = =2 .故选B.,例2 (2018河南安阳调研,15)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC= 90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则| +3 |的最小值为 .,解题导引 根据题意,建立适当的 平面直角坐标系 设出相应点的坐标, 求得 +3 的坐标 表示出| +3 | 利用函数思想得最小值,解析 建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),且0yb. 所以 +3 =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y), 所以| +3 |= (0yb), 所以当y= b时,| +3 |取最小值5.,答案 5,求平面向量
5、夹角的方法 1.定义法:利用向量数量积的定义知,cos = ,其中两个向量的夹角 0,求解时应求出三个量:ab,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系. 2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a,b的夹角,则cos = . 3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定 理和三角形的面积公式等内容进行求解. 例3 (2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与 b的夹角为 ( C ) A. B. C. D.,解题导引 由a(2a+b)得ab =-2|a|2 利用向量的夹角公式及 范围求出a与b的夹角,解析 因为a
6、(2a+b),所以a(2a+b)=0, 所以ab=-2|a|2,设a与b的夹角为,则cos = = =- ,又0, 所以= ,故选C.,例4 (2017江西七校联考,13)已知向量a=(1, ),b=(3,m),且b在a的方向 上的投影为-3,则向量a与b的夹角为 .,解题导引 由b在a的方向上的投影为-3结合已知条件求得m的值 由b的坐标 求得|b| 利用cos= 及向量 夹角的范围求得结果,解析 b在a的方向上的投影为-3, |b|cos=-3, 又|a|= =2,ab=|a|b|cos=-6, 又ab=13+ m,3+ m=-6,解得m=-3 , b=(3,-3 ),|b|= =6, c
7、os= = =- , 0,a与b的夹角为 .,答案 ,用向量法解决平面几何问题的方法 1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:建立平面几何与向量的联 系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的 问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; 把运算结果转化成几何关系. 2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐 标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂 的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用. 例5 (2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别 是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 的值为( B ),A.- B. C. D.,解题导引 解法一:用 和 表示向量 求 解法二:建立平面直角坐标系求出相关点的坐标求出 与 的坐 标求 ,解析 解法一:如图, =( + ) = = = = ,=- + =- 11cos 60+ 12= ,故选B. 解法二:建立平面直角坐标系,如图.则B ,C ,A ,所以 =(1,0). 易知DE= AC,则EF= AC= ,因为FEC=60, 所以点F的坐标为 , 所以 = , 所以 = (1,0)= . 故选B.,
