1、高考理数,第四章 基本初等函数（三角函数） 4.4 恒等变换,考点一 两角和与差的三角函数公式 1.cos(-)=cos cos +sin sin (C-); cos(+)= cos cos -sin sin (C+); sin(-)=sin cos -cos sin (S-); sin(+)= sin cos +cos sin (S+); tan(-)= (T-); tan(+)= (T+). 前面4个公式对任意的、都成立,而后面两个公式成立的条件是k + ,k+ ,kZ,且+k+ (T+需满足),-k+ (T-需满足),k Z.当tan 、tan 或tan()的值不存在时,不能使用公式T处
2、理有关,知识清单,问题,应改用诱导公式或其他方法来解. 2.辅助角公式 asin +bcos = sin(+).其中cos = ,sin = ,tan =,的终边所在象限由a、b的值来确定. 3.两角和与差的正切公式的变形 tan +tan =tan(+)(1-tan tan ); tan -tan =tan(-)(1+tan tan ).,考点二 二倍角公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2=2sin cos ;cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;tan 2= . 2.公式的常见变形 (1)sin2= ,cos2= . (2)1+sin 2=(sin
3、+cos )2,1-sin 2=(sin -cos )2,1+cos 2=2cos2,1- cos 2=2sin2. 3.半角公式 sin = ;cos = ;tan = ;tan = =,1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进 行合理拆分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常 见的有“切化弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向,常 见的有“遇到分式要通分”等. 2.求值题常见类型 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看
4、较难,但仔 细观察会发现非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得,三角函数的化简与求值问题,方法技巧,到的关系,结合公式转化为特殊角的三角函数,然后求值. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数 值,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,先求角的某一三角函 数值,再结合角的范围求角. 例1 (1)(2017安徽二模,8)sin 40(tan 10- )= ( B ) A.- B.-1 C. D.- (2)(2016江西南昌十所省重点中学二模,7)已知 = ,则tan =( D ) A. B. C.-
5、 D.-,解析 (1)sin 40(tan 10- )= = =- =- =-1.故选B. (2)因为 = = = =, 所以tan =2,于是tan = =- .,利用asin x+bcos x= sin(x+) 可把形如y=asin x+ bcos x+k的函数解析式化为只含有一种三角函数的一次式,从而可求该 函数的单调区间、周期、值域和最值、对称轴以及对称中心等.具体应 用时,要牢记特殊角30,45,60的三角函数值,且能合理选用公式. 例2 (2017江西七校第二次联考,18)已知函数f(x)=4cos xsin (0)的最小正周期是. (1)求函数f(x)在区间x(0,)上的单调递增
6、区间; (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,利用辅助角公式解决问题的方式,解析 (1)f(x)=4cos xsin =4cos x =2 sin xcos x-2cos2x+1-1 = sin 2x-cos 2x-1 =2sin -1, 且f(x)的最小正周期是 =,所以=1, 从而f(x)=2sin -1. 令- +2k2x- +2k(kZ),解得- +kx +k(kZ), 所以函数f(x)在x(0,)上的单调递增区间为 和 . (2)当x 时,2x , 所以2x- , 2sin , 所以当2x- = ,即x= 时, f(x)取得最小值 -1; 当2x- = ,即x= 时, f(x)取得最大值1, 所以f(x)在 上的最大值和最小值分别为1、 -1.,
