1、- 1 -第三章 统计案例综合检测一、选择题1.下列说法中错误的是( ).A.若变量 x与 y之间存在着线性相关关系,则我们根据试验数据得到的点( xi,yi)(i=1,2,n)将散布在某一条直线的附近B.若两个变量 x与 y之间不存在线性关系,则根据它们的一组数据( xi,yi)(i=1,2,n)不能写出一个线性方程C.设 x,y是具有相关关系的两个变量,且 y关于 x的线性回归方程为 = x+ , 叫作回归系 数D.为使求出的线性回归方程有意义,可用统计检验的方法来判断变量 y与 x之间是否存在线性相关关系【解析】任何一组( xi,yi)(i=1,2,n)都能写出一个线性方程,只是有的不存
2、在线性关系 .【答案】B2.在独立性检验中,假设 H0:变量 X与变量 Y没有关系,则在 H0成立的情况下, P(K26 .635)0 .010表示的意义是( ).A.变量 X与变量 Y有关系的概率为 1%B.变量 X与变量 Y没有关系的概率为 99.9%C.变量 X与变量 Y没有关系的概率为 99%D.变量 X与变量 Y有关系的概率为 99%【解析】由题意得变量 X与变量 Y没有关系的概率约为 1%,即可认为变量 X与变量 Y有关系的概率为 99%.【答案】D3.变量 y对 x的回归方程的意义是( ).A.表示 y与 x之间的函数关系B.表示 y与 x之间的线性关系C.反映 y与 x之间的真
3、实关系D.反映 y与 x之间的真实关系达到最大限度的吻合【解析】用回归方程预测变量 y对 x的不确定关系,反映的不是真实关系,而是真实关系达到最大限度的吻合 .【答案】D4.两个分类变量 X和 Y,值域分别为 x1,x2和 y1,y2,其样本频数分别是 a=10,b=21,c+d=35.若 X和 Y有关系的可信程度为 95%,则 c等于( ).A.4 B.5 C.6 D.7【解析】当 c=4时, K2的观测值 k= 4 .273.841.66(1031-214)231351452即有 95%的把握说明 X和 Y有关,故选 A.【答案】A5.为了研究某班学生的脚长 x(单位:厘米)和身高 y(单
4、位:厘米)的关系,从该班随机抽取 10名学生,根据测量数据的散点图可以看出 y与 x之间有线性相关关系 .设其回归直线方程为= x+ .已知 xi=225, yi=1600, =4.该班某学生的脚长为 24,据此估计其身高为( ). 10=1 10=1 - 2 -A.160 B.163 C.166 D.170【解析】 xi=225, = xi=22.5.10=1 -11010=1 yi=1600, = yi=160.10=1 -11010=1又 =4, = - =160-422.5=70. - 回归直线方程为 =4x+70.将 x=24代入上式得 =424+70=166.故选 C.【答案】C6
5、.在列联表中,两个比值( )相差越大,两个分类变量之间的关系越强 .A. 与 B. 与+ + + +C. 与 D. 与+ + + +【解析】 与 相差越大,说明 ad与 bc相差越大,两个分类变量之间的关系越强 .+ +【答案】A7.有人收集了春节期间平均气温 x()与某取暖商品销售额 y(万元)的有关数据如下表:平均气温/ -2 -3 -5 -6销售额 /万元 20 23 27 30根据以上数据,用线性回归的方法,求得销售额 y与平均气温 x之间线性回归方程 = x+ 的系 数 =-2.4.则预测平均气温为 -8 时该商品销售额为( ).A.34.6万元 B.35.6万元C.36.6万元 D
6、.37.6万元【解析】 = =-4, = =25,由题意知, =-2.4x+ 过样本点的中心( -4,25),得 =25- -164 -1004 9.6=15.4,所以 =-2.4x+15.4.当 x=-8时, =19.2+15.4=34.6,故选 A.【答案】A8.已知 x与 y之间的几组数据如下表:x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4- 3 -假设根据上表数据所得线性回归方程为 = x+ ,若某同学根据上表中的前两组数据 (1,0) 和(2,2)求得的直线方程为 y=bx+a,则以下结论正确的是( ).A. b, a B. b, a D. a.13 【答案】C9.某班主任对
7、全班 50名学生进行了认为作业量多少的调查,数据如下表:认为作业量多认为作业量不多 总计喜欢玩电脑游戏 18 9 27不喜欢玩电脑游戏 8 15 23总计 26 24 50则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是( ).A.99% B.95% C.90% D.无充分依据【解析】由表中数据,得 K2的观测值 k= 5 .0593.841,所以有 95%以50(1815-98)227232624上的把握认为两变量之间有关系 .【答案】B10.在线性回归方程 = + x中 , 为回归系数,下列关于 的说法中不正确的是 ( ). A. 为回归直线的斜率B. 0,表示随 x增加, y值增
8、加 ; 6.635,340(1628-14327)230535189151因此,有 99%的把握认为性别与获取学位类别有关 .【答案】A12.指数曲线 y=aebx进行线性变换后得到的回归方程为 u=1-0.6x,则函数 y=x2+bx+a的单调递增区间为( ).A.(0,+ ) B.(310,+)C. D.(1,+ )(12,+)【解析】将 y=aebx进行线性变换,得 u=c+bx,其中 c=ln a,则有 b=-0.6,a=e,所以函数y=x2-0.6x+e的单调递增区间为 .(310,+)【答案】B二、填空题13.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5次试
9、验 .根据收集到的数据(如下表),用最小二乘法求得回归方程为 =0.84x+52.8.零件数 x(个) 10 20 30 40 50加工时间y(min) 60 78 84 96现发现表中有一个数据模糊看不清,则该数据的值为 . 【解析】由表知 =30,设模糊不清的数据为 m,则 = (60+m+78+84+96)- -15= , =0.84 +52.8,318+5 - -即 =0.8430+52.8,318+5解得 m=72.【答案】72- 5 -14.在一次飞机航程中调查男女乘客的晕机情况,其 22列联表如下,则判断晕机与性别 .(填“有关”或“无关”) 晕机 不晕 机 总计男 10 70
10、80女 10 20 30总计 20 90 110【解析】 K2的观测值 k= 6 .3665.024,故有 97.5%的把握认110(1020-7010)280302090为“晕机与性别有关” .【答案】有关15.幂函数曲线 y=axb,做变换 u=ln y,v=ln x,c=ln a,得线性函数 . 【解析】将 u=ln y,v=ln x,c=ln a代入 y=axb,消去 x,y,得 u=c+bv.【答案】 u=c+bv16.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500名使用血清的人与另外 500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:这种血清不能起到预防感冒的作用
11、 .利用22列联表计算得 K2的观测值 k3 .918,经查对临界值表知 P(K23 .841)0 .05.对此,四名同学做出了以下的判断:p:有 95%以上的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用;q:若某人未使用该血清,则他在一年中有 95%的可能性得感冒;r:这种血清预防感冒的有效率为 95%;s:这种血清预防感冒的有效率为 5%.则下列结论中,正确结论的序号是 .(把你认为正确的命题序号都填上) p 且 q;p 且 q; (p且 q)且( r或 s); (p或 r)且( q或 s).【解析】因为 k3 .918,P(K23 .841)0 .05,所以只有第一位同学的判断正确,即有 95%
12、以上的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用,由真值表知 为真命题 .【答案】 三、解答题17.为了调查胃病是否与生活规律有关,在某地对 540名 40岁以上的人进行调查,结果是患胃病者生活不规律的共有 60人,患胃病者生活规律的共有 20人,未患胃病者生活不规律的共有260人,未患胃病者生活规律的共有 200人 .(1)根据题意建立一个 22的列联表;(2)能否在犯错误的概率不会超过 0.01的前提下认为 40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关?【解析】(1)由已知可得 22的列联表:患胃病 未患胃病 总计生活规律 20 200 220生活不规律 60 260 320总计 80 460 540
13、(2)根据列联表中的数据,得到的 K2的观测值 k= 9 .638,540(20260-20060)222032080460- 6 -因为 9.6386.635,所以在犯错误的概率不会超过 0.01的前提下可以认为 40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关 .18.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价 x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y (件) 90 84 83 80 75 68(1)求回归直线方程 = x+ ,其中 =-20, = - ; -(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成
14、本是 4元 /件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润 =销售收入 -成本)【解析】(1)因为 = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5,-16= (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.-16所以 = -b =80+208.5=250,从而回归直线方程为 =-20x+250. - - (2)设工厂获得的利润为 L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20 + ,(-334)214454当且仅当 x=8.25时, L取到最大值,故当产品的单价定为 8.25元时,工厂可获得最大利润 .19.企业为了研究
15、员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了 189名员工进行调查,其中积极支持企业改革的调查者中,工作积极的有 54人,工作一般的有 32人,而不太赞成企业改革的调查者中,工作积极的有 40人,工作一般的有 63人 .(1)根据以上的数据建立一个 22列联表 .(2)对于人力资源部的研究项目,根据以上数据是否可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关系?【解析】(1)积极支持企业改革不太赞成企业改革总计工作积极 54 40 94工作一般 32 63 95总计 86 103 189(2)由公式得 K2的观测值 k= 10 .759,189(5463-4032)294958
16、6103因为 10.7596.635,所以有 99%以上的把握说抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性是有关的,也可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的 .20.在某医学实验中,某实验小组为了分析某药物用药量与血液中某种抗体指标的关系,选取六只实验动物进行血检,得到如下资料:动物编号 1 2 3 4 5 6用药量 x 1 3 4 5 6 8- 7 -抗体指标y 3.43.73.84.04.24.3记 s为抗体指标标准差,若抗体指标落在( -s, +s)内,则称该动物为有效动物,否则称为- -无效动物 .研究方案规定先从六只动物中选取两只,用剩下的四只动物的数据求线性回归
17、方程,再对被选取的两只动物的数据进行检验 .(1)求选取的两只动物都是有效动物的概率 .(2)若选取的是编号为 1和 6的两只动物,且利用剩余四只动物的数据求出 y关于 x的线性回归方程为 =0.17x+ ,试求出 的值 . (3)若根据回归方程估计出的 1号和 6号动物抗体指标数据与检验结果误差的绝对值都不超过抗体指标标准差,则认为得到的线性回归方程是可靠的 .试判断(2)中所得线性回归方程是否可靠 .【解析】(1)由题意计算可得 =3.9,-s= 0 .31.故 1、6 号为无效动物,2、3、4、5 号为有效16(0.52+0.22+0.12+0.12+0.32+0.42)动物 .记“从六
18、只动物中选取两只都是有效动物”为事件 A,则 P(A)= = .242625(2)对于 2、3、4、5 号动物, =4.5, =3.925,代入 =0.17x+ 得 =3.16.- - (3)由 =0.17x+3.16得 =3.33, =4.52.误差的绝对值分别为 |e1|=0.07,|e6|=0.22,均比 1 6标准差 s0 .31小,故(2)中回归方程可靠 .21.为了比较注射 A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选 200只家兔做试验,将这 200只家兔随机地分成两组,每组 100只,其中一组注射药物 A,另一组注射药物 B.表 1和表 2分别是注射药物 A和药物 B后的试验结果
19、.(疱疹面积单位:mm 2)注射药物 A后皮肤疱疹面积的频数分布表如下:疱疹面积60,65)65,70)70,75)75,80)频数 30 40 20 10注射药物 B后皮肤疱疹面积的频数分布表如下:疱疹面积60,65)65,70)70,75)75,80)80,85)频数 10 25 20 30 15完成下面 22列联表,并回答能否有 99%的把握认为注射药物 A后的疱疹面积与注射药物 B后的疱疹面积有差异 .疱疹面积小于 70 mm2疱疹面积不小于 70 mm2 总计- 8 -注射药物 A a= b=注射药物 B c= d=总计 n=【解析】疱疹面积小于 70 mm2疱疹面积不小于 70 m
20、m2 总计注射药物 A a=70 b=30 100注射药物 B c=35 d=65 100总计 105 95 n=200计算得 K2的观测值 k= 24 .561.200(7065-3035)210010010595因为 24.5616.635,所以有 99%以上的把握认为注射药物 A后的疱疹面积与注射药物 B后的疱疹面积有差异 .22.某同学 6次考试的数学( x)、语文( y)成绩在班中的排名如下表数学成绩( x) 7 6 5 3 2 1语文成绩( y) 13 11 9 6 4 2对上述数据分别用 y=bx+a与 y=cx2+d来拟合 y与 x之间的关系,并用残差分析两者的拟合效果 .【解
21、析】首先 y=bx+a用来拟合 y与 x之间的关系,因为 =4, =7.5, (xi- )(yi- )=50, (xi- )2=28,所以 = = 1 .786,而- - 6=1 - - 6=1 - 6=1(-)(-)6=1(-)2 5028= - =7.5-1.7864=0.356,此时可得 =1.786x+0.356,此时的残差平方和 (yi- )2=0.214. - 6=1 再用 y=cx2+d来拟合 y与 x之间的关系,令 t=x2,则排名表为t 49 36 25 9 4 1y 13 11 9 6 4 2因为 =20.667, =7.5, (ti- )(yi- )=400, (ti- )2=1857.333,- - 6=1 - - 6=1 -所以 = = =0.215,6=1(-)(-)6=1(-)2 4001857.333= - =7.5-0.21520.667=3.056,此时可得 =0.215x2+3.056,此时的残差平方和 - - (yi- )2=3.355.6=1 由于 3.3550.214,可知用 y=bx+a来拟合 y与 x之间的关系效果更好 .
