1、1专题能力训练 14 空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.如图, O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 的中心,则下列直线中与 B1O 垂直的是( )A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C12.如图,在正方形 ABCD 中, E,F 分别是 BC,CD 的中点,沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体,使 B,C,D三点重合,重合后的点记为 P,点 P 在 AEF 内的射影为 O.则下列说法正确的是( )A.O 是 AEF 的垂心 B.O 是 AEF 的内心C.O 是 AEF 的外心 D.O 是 AEF 的重心3. , 是两个平面, m,n 是两条直线,有下
2、列四个命题: 如果 m n,m ,n ,那么 . 如果 m ,n ,那么 m n. 如果 ,m ,那么 m . 如果 m n, ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 .其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 4.已知正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点,动点 P 在表面上运动,并且总保持 PE AC,则动点 P 的轨迹的周长为 . 5.下列命题中正确的是 .(填上你认为正确的所有命题的序号) 空间中三个平面 , , ,若 , ,则 ; 若 a,b,c 为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与 a,b,c 都相交; 若球 O 与棱长为 a
3、 的正四面体各面都相切,则该球的表面积为 a2;6 在三棱锥 P-ABC 中,若 PA BC,PB AC,则 PC AB.6.在正三棱柱 A1B1C1-ABC 中,点 D 是 BC 的中点, BC= BB1.设 B1D BC1=F.2求证:(1) A1C平面 AB1D;(2)BC1平面 AB1D.27.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是 ABC=60的菱形, M 为 PC 的中点 .(1)求证: PC AD;(2)证明在 PB 上存在一点 Q,使得 A,Q,M,D 四点共面;(3)求点 D 到平面 PAM 的距离 .8.(
4、2018 全国 ,理 18)如图,四边形 ABCD 为正方形, E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把 DFC 折起,使点 C 到达点 P的位置,且 PF BF.(1)证明:平面 PEF平面 ABFD;(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 .3二、思维提升训练9.(2018 浙江,8)已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等, E 是线段 AB 上的点(不含端点) .设 SE 与 BC 所成的角为 1,SE 与平面 ABCD 所成的角为 2,二面角 S-AB-C 的平面角为 3,则( )A. 1 2 3 B. 3 2 1C. 1 3 2 D. 2 3
5、110.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AD BC,AD AB,AB= ,AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD12的中点, F 是平面 B1C1E 与直线 AA1的交点 .(1)证明: EF A1D1;BA 1平面 B1C1EF;(2)求 BC1与平面 B1C1EF 所成角的正弦值 .11.如图,在长方形 ABCD 中, AB=2,BC=1,E 为 CD 的中点, F 为 AE 的中点 .现在沿 AE 将 ADE 向上折起,在折起的图形中解答下列问题:(1)在线段 AB 上是否存在一点 K,使 BC平面 DFK?若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由
6、;(2)若平面 ADE平面 ABCE,求证:平面 BDE平面 ADE.12.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=2,AA1= ,点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1上 .3(1)当 AEEA 1=1 2 时,求证: DE BC1;(2)是否存在点 E,使三棱锥 C1-BDE 的体积恰为三棱柱 ABC-A1B1C1体积的?若存在,求 AE 的长,若不存在,请说明理由 .13.如图,在四边形 ABCD 中(如图 ),E 是 BC 的中点, DB=2,DC=1,BC= ,AB=AD= .将 ABD(如图 )5 2沿直线 BD 折起,使二面角 A-BD-C 为 60(如图 ).4
7、(1)求证: AE平面 BDC;(2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值;(3)求点 B 到平面 ACD 的距离 .5专题能力训练 14 空间中的平行与垂直一、能力突破训练1.D 解析 易知 A1C1平面 BB1D1D.B 1O平面 BB1D1D,A 1C1 B1O,故选 D.2.A 解析 如图,易知 PA,PE,PF 两两垂直,PA 平面 PEF,从而 PA EF,而 PO平面 AEF,则 PO EF,EF 平面 PAO,EF AO.同理可知 AE FO,AF EO,O 为 AEF 的垂心 .3. 解析 对于 ,若 m n,m ,n ,则 , 的位置关系无法确定,故错误;对于 ,因为
8、 n ,所以过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c,则 n c.因为 m ,所以 m c,所以m n,故 正确;对于 ,由两个平面平行的性质可知正确;对于 ,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的命题有 .4 解析 . 2+6如图,取 CD 的中点 F,SC 的中点 G,连接 EF,EG,FG.设 EF 交 AC 于点 H,连接 GH,易知 AC EF.又 GH SO,GH 平面 ABCD,AC GH.又 GH EF=H,AC 平面 EFG.故点 P 的轨迹是 EFG,其周长为 2+6.5. 解析 中也可以 与 相交; 作平面与 a,b,c 都相交; 中可得球的半径为 r= a;
9、612中由 PA BC,PB AC 得点 P 在底面 ABC 的射影为 ABC 的垂心,故 PC AB.6.证明 (1)连接 A1B,设 A1B 交 AB1于点 E,连接 DE. 点 D 是 BC 的中点,点 E 是 A1B 的中点,DE A1C.A 1C平面 AB1D,DE平面 AB1D,A 1C平面 AB1D.(2) ABC 是正三角形,点 D 是 BC 的中点,AD BC.6 平面 ABC平面 B1BCC1,平面 ABC平面 B1BCC1=BC,AD平面 ABC,AD 平面 B1BCC1.BC 1平面 B1BCC1,AD BC1. 点 D 是 BC 的中点, BC= BB1,2BD= B
10、B1.22, Rt B1BDRt BCC1,1=1=22 BDB1= BC1C. FBD+ BDF= C1BC+ BC1C=90.BC 1 B1D.B 1D AD=D,BC 1平面 AB1D.7.(1)证法一 取 AD 的中点 O,连接 OP,OC,AC,依题意可知 PAD, ACD 均为正三角形,所以 OC AD,OP AD.又 OC OP=O,OC平面 POC,OP平面 POC,所以 AD平面 POC.又 PC平面 POC,所以 PC AD.证法二 连接 AC,依题意可知 PAD, ACD 均为正三角形 .因为 M 为 PC 的中点,所以 AM PC,DM PC.又 AM DM=M,AM平
11、面 AMD,DM平面 AMD,所以 PC平面 AMD.因为 AD平面 AMD,所以 PC AD.(2)证明 当点 Q 为棱 PB 的中点时, A,Q,M,D 四点共面,证明如下:取棱 PB 的中点 Q,连接 QM,QA.因为 M 为 PC 的中点,所以 QM BC.在菱形 ABCD 中, AD BC,所以 QM AD,所以 A,Q,M,D 四点共面 .(3)解 点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离 .由(1)可知 PO AD,又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD=AD,PO平面 PAD,所以 PO平面 ABCD,即 PO 为三棱锥 P-ACD 的高
12、 .在 Rt POC 中, PO=OC= ,PC= ,3 6在 PAC 中, PA=AC=2,PC= ,边 PC 上的高 AM= ,62-2=102所以 PAC 的面积 S PAC= PCAM=12 126102=152.设点 D 到平面 PAC 的距离为 h,由 VD-PAC=VP-ACD,得 S PACh= S ACDPO.13 13因为 S ACD= 22= ,所以 h= ,解得 h= ,34 3 13152 1333 2155所以点 D 到平面 PAM 的距离为2155 .8.(1)证明 由已知可得, BF PF,BF EF,所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD,所以平面 P
13、EF平面 ABFD.7(2)解 作 PH EF,垂足为 H.由(1)得, PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点, 的方向为 y 轴正方向, | |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 H- xyz.由(1)可得, DE PE.又 DP=2,DE=1,所以 PE= 又 PF=1,EF=2,故 PE PF.3.可得 PH= ,EH=32 32.则 H(0,0,0),P ,D 为平面 ABFD 的法向量 .(0,0,32) (-1,-32,0),=(1,32,32),=(0,0,32)设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ,则 sin = |=343=34.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的
14、正弦值为34.二、思维提升训练9.D 解析 当点 E 不是线段 AB 的中点时,如图,点 G 是 AB 的中点, SH底面 ABCD,过点 H 作 HF AB,过点 E 作 EF BC,连接 SG,GH,EH,SF.可知 1= SEF, 2= SEH, 3= SGH.由题意可知 EF SF,故 tan 1= =tan 3.= 1 3.又 tan 3= =tan 2, 3 2. 1 3 2.当点 E 是线段 AB 的中点时,即点 E 与点 G 重合,此时 1= 3= 2.综上可知, 1 3 2.10.(1)证明 因为 C1B1 A1D1,C1B1平面 ADD1A1,所以 C1B1平面 ADD1A
15、1.因为平面 B1C1EF平面 ADD1A1=EF,所以 C1B1 EF.所以 A1D1 EF. 因为 BB1平面 A1B1C1D1,所以 BB1 B1C1.因为 B1C1 B1A1,所以 B1C1平面 ABB1A1,所以 B1C1 BA1.在矩形 ABB1A1中, F 是 AA1的中点,8即 tan A1B1F=tan AA1B= ,即 A1B1F= AA1B.故 BA1 B1F.22又 B1F B1C1=B1,所以 BA1平面 B1C1EF.(2)解 设 BA1与 B1F 的交点为 H,连接 C1H(如图) .由(1)知 BA1平面 B1C1EF,所以 BC1H 是 BC1与平面 B1C1
16、EF 所成的角 .在矩形 ABB1A1中, AB= ,AA1=2,得 BH=246.在 Rt BHC1中, BC1=2 ,BH= ,546得 sin BC1H=1=3015.所以 BC1与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是3015.11.(1)解 线段 AB 上存在一点 K,且当 AK=AB 时, BC平面 DFK.证明如下:设 H 为 AB 的中点,连接 EH,则 BC EH.又因为 AK= AB,F 为 AE 的中点 ,14所以 KF EH,所以 KF BC.因为 KF平面 DFK,BC平面 DFK,所以 BC平面 DFK.(2)证明 因为 F 为 AE 的中点, DA=DE=1,所以
17、DF AE.因为平面 ADE平面 ABCE,所以 DF平面 ABCE.因为 BE平面 ABCE,所以 DF BE.又因为在折起前的图形中 E 为 CD 的中点, AB=2,BC=1,所以在折起后的图形中 AE=BE= ,2从而 AE2+BE2=4=AB2,所以 AE BE.因为 AE DF=F,所以 BE平面 ADE.因为 BE平面 BDE,所以平面 BDE平面 ADE.12.(1)证明 因为三棱柱 ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以 ABC 是正三角形 .因为 D 是 AC 的中点,所以 BD AC.又平面 ABC平面 CAA1C1,所以 BD DE.因为 AEEA 1=1 2,AB=2,
18、AA1= ,3所以 AE= ,AD=1,33所以在 Rt ADE 中, ADE=30.在 Rt DCC1中, C1DC=60,9所以 EDC1=90,即 DE DC1.因为 C1D BD=D,所以 DE平面 BC1D,所以 DE BC1.(2)解 假设存在点 E 满足题意 .设 AE=h,则 A1E= -h,3所以 -S AED- =2 h-( -h)- h.1=四边形 11 111312 3 32=32+12因为 BD平面 ACC1A1,所以 h,又 V 棱柱 = 2 =3,1-=-1=13(32+12)3=12+36 12 33所以 h=1,解得 h= ,12+36 33故存在点 E,当
19、AE= ,即 E 与 A1重合时,三棱锥 C1-BDE 的体积恰为三棱柱 ABC-A1B1C1体积的313.13.(1)证明 如图,取 BD 的中点 M,连接 AM,ME.AB=AD= ,DB=2,2AM BD.DB= 2,DC=1,BC= 满足 DB2+DC2=BC2,5 BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形, BD DC,E 是 BC 的中点,ME 为 BCD 的中位线, ME CD,12ME BD,ME= ,12 AME 是二面角 A-BD-C 的平面角, AME=60.AM BD,ME BD,且 AM,ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线, BD 平面 AEM.AE 平面 A
20、EM,BD AE. ABD 为等腰直角三角形,AM= BD=1.在 AEM 中,12AE 2=AM2+ME2-2AMMEcos AME=1+ -21 cos 60= ,AE= ,14 12 34 32AE 2+ME2=1=AM2,AE ME.BD ME=M,BD平面 BDC,ME平面 BDC,AE 平面 BDC.(2)解 取 AD 的中点 N,连接 MN,则 MN 是 ABD 的中位线, MN AB.又 ME CD, 直线 AB 与 CD 所成角 等于 MN 与 ME 所成的角,即 EMN 或其补角 .10AE平面 BCD,DE平面 BCD,AE DE.N 为 Rt AED 斜边的中点,NE=
21、 AD= ,MN= AB= ,ME= ,12 22 12 22 12 cos =| cos EMN|=|2+2-22 |=24+14-2422212=24.来源 :.(3)解 记点 B 到平面 ACD 的距离为 d,则三棱锥 B-ACD 的体积 VB-ACD=dS ACD.又由(1)知 AE 是三棱锥 A-BCD 的高, BD CD,V B-ACD=VA-BCD= AES BCD=13 1332(1221)=36.E 为 BC 中点, AE BC,AC=AB= 2.又 DC=1,AD= , ACD 为等腰三角形,2S ACD= DC 1 ,12 2-(12)2=12 (2)2-(12)2=74 点 B 到平面 ACD 的距离 d=3- =33674 =2217 .
