1、1专题五 解直角三角形的实际应用类型一 母子型(2015河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是48.若坡角FAE30，求大树的高度(结果保留整数参考数据：sin 480.74，cos 480.67，tan 481.11， 1.73)3例 1 题图【分析】 根据所求构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数的性质求解问题即可【自主解答】如解图，延长 BD 交 AE 于点 G，过点 D 作 DHAE 于点 H.例 1 题解图由题意，得
2、DAEBGH30，DA6，GDDA6，GHAHDAcos 303 ，GA6 .3 3设 BCx 米，在 RtGBC 中，GC x.BCtan BGC 3在 RtABC 中，AC .BCtan BAC xtan 48GCACGA， x 6 ，3xtan 48 3解得 x13.即大树的高度约为 13 米1(2018泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数L(HH 1)，其中 L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H 1为北侧楼房底层窗台至地面高度如图，山坡 EF 朝北，EF 长为 15 m，坡度为 i10.75，山坡顶部平地 EM 上有一高为 22.5 m
3、的楼房AB，底部 A 到 E 点的距离为 4 m.2(1)求山坡 EF 的水平宽度 FH；(2)欲在 AB 楼正北侧山脚的平地 FN 上建一楼房 CD，已知该楼底层窗台 P 处至地面 C 处的高度为 0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于 1.25，底部 C 距 F 处至少多远？图图32.(2018商丘模拟)如图，兰兰站在河岸上的 G 点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船 C 的俯角是FDC30，若兰兰的眼睛与地面的距离是 1.5 米，BG1 米，BG 平行于 AC所在的直线，迎水坡的坡度 i43，坡高 BE8 米，求小船 C 到岸边的距离 CA 的长？(参考数据：
4、1.7，结果保留一位小数)33如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌 CD、小明在山坡的坡脚 A处测得宣传牌底部 D 的仰角为 60，沿山坡向上走到 B 处测得宣传牌顶部 C 的仰角为 45.已知山坡 AB的坡度 i1 ，AB10 米，AE15 米，求这块宣传牌 CD 的高度(测角器的高度忽略不计，结果精3确到 0.1 米参考数据： 1.414， 1.732)2 344(2018新乡一模)如图，为探测某座山的高度 AB，某飞机在空中 C 处测得山顶 A 处的俯角为 31，此时飞机的飞行高度为 CH4 千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行 2 千米到达 D 处，
5、测得山顶 A 处的俯角为 50.求此山的高度 AB.(参考数据：tan 300.6，tan 501.2)5(2018烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直的公路 l，其间设有区间测速，所有车辆限速 40千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动：在 l 上确定 A，B 两点，并在 AB 路段进行区间测速在l 外取一点 P，作 PCl，垂足为点 C.测得 PC30 米，APC71，BPC35.上午 9 时测得一汽车从点 A 到点 B 用时 6 秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速(参考数据：sin 3
6、50.57，cos 350.82，tan 350.70，sin 710.95，cos 710.33，tan 712.90)6(2018河南说明与检测)如图，在电线杆 CD 上的 C 处引拉线 CE，CF 固定电线杆，拉线 CE 和地面所成的角CED60，在离电线杆 6 米的 B 处安置高为 1.5 米的测角仪 AB，在 A 处测得电线杆上 C 处的仰角为 30，求拉线 CE 的长(参考数据： 1.41， 1.73.结果保留一位小数)2 357(2018河南说明与检测)某数学兴趣小组在学习锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点 A 处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶 C
7、的仰角为 66、塔底 B 的仰角为 60，已知铁塔的高度 BC 为 20 m(如图)，你能根据以上数据求出小山的高 BD 吗？8(2018河南说明与检测)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 AB 的长度相同，均为 300 cm，AB 的倾斜角为 30，BECA50 cm，支撑角钢6CD、EF 与底座地基台面接触点分别为 D、F，CD 垂直于地面，FEAB 于点 E.两个底座地基高度相同(即点 D、F 到地面的垂直距离相同)，均为 30 cm，点 A 到地面的垂
8、直距离为 50 cm，求支撑角钢 CD 和 EF 的长度各是多少厘米(结果保留根号)9(2018遵义)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 BC 与地面保持垂直，吊臂 AB 与水平线的夹角为 64，吊臂底部 A 距地面 1.5 m(计算结果精确到 0.1 m，参考数据 sin 640.90，cos 640.44，tan 642.05)(1)当吊臂底部 A 与货物的水平距离 AC 为 5 m 时，吊臂 AB 的长为_m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)7类型二 背靠背型(2018河南)“高低杠”是女子体
9、操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90 cm.低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155 cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234 cm，已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角CAE 为 82.4，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角DBF 为 80.3.求高、低杠间的水平距离 CH 的长(结果精确到 1 cm，参考数据 sin 82.40.991，cos
10、 82.40.132，tan 82.47.500，sin 80.30.983，cos 80.30.168，tan 80.35.850)例 2 题图8【分析】 利用锐角三角函数，在 RtACE 和 RtDBF 中，分别求出 AE、BF 的长计算出 EF.通过矩形CEFH 的性质得到 CH 的长【自主解答】解：在 RtACE 中，AE 20.7，CEtan 82.4 155tan 82.4在 RtBDF 中，BF 40，DFtan 80.3 234tan 80.3在矩形 CEFH 中，CHEF，CHEFAEABBF20.79040151(cm)答：高低杠间的水平距离 CH 的长为 151 cm.1
11、(2018驻马店一模)小明利用寒假进行综合实践活动，他想利用测角仪和卷尺测量自家所住楼(甲楼)与对面邮政大楼(乙楼)的高度，现小明用卷尺测得甲楼宽 AE 是 8 m，用测角仪在甲楼顶 E 处与 A 处测得乙楼顶部 D 的仰角分别为 37和 42，同时在 A 处测得乙楼底部 B 处的俯角为 32，请根据小明测得数据帮他计算甲、乙两个楼的高度(精确到 0.01 m)(cos 320.85，tan 320.62，cos 420.74，tan 420.90，cos 370.80，tan 370.75)92(2018甘肃省卷)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了
12、时空距离，改变了人们的出行方式如图，A，B 两地被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的直达高铁，可以缩短从 A 地到 B 地的路程已知：CAB30，CBA45，AC640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少公里？(参考数据： 1.7， 1.4)3 23(2018常州)京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D，先用卷尺量得 AB160 m，CD40 m，再用测角仪测得CAB30，DBA60，求该段运河的河宽(即 CH 的长)10
13、4(2018眉山)知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用 C 表示)开展社会实践活动，车到达 A 地后，发现 C 地恰好在 A 地的正北方向，且距离 A 地 13 千米，导航显示车辆应沿北偏东 60方向行驶至 B 地，再沿北偏西 37方向行驶一段距离才能到达 C 地，求 B、C 两地的距离(参考数据：sin 53 ，cos 53 ，tan 53 )45 35 435.(2018河南说明与检测)如图，B 地在 A 地的北偏东 56方向上，C 地在 B 地的北偏西 19方向上，原来从 A 地到 C 地的路线为 ABC，现在沿 A 地北偏东
14、 26方向新修了一条直达 C 地的公路，路程比原来少了 20 千米求从 A 地直达 C 地的路程(结果保留整数参考数据： 1.41， 1.73)2 3116(2018河南说明与检测)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度，从旗杆正前方 2 米处3的点 C 出发，沿斜面坡度 i1 的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D，在点 D 处安置测角仪，测得旗杆顶部3A 的仰角为 37，量得仪器的高 DE 为 1.5 米，已知 A，B，C，D，E 在同一平面内，ABBC，ABDE，求旗杆 AB 的高度(参考数据：sin 37 ，cos 37 ，tan 37 .计算结果保留根号)35 45 347(
15、2018河南说明与检测)中国南海是中国固有领海，我方渔政船经常在此海域执勤巡察，一天我方渔政船停在小岛 A 北偏西 37方向的 B 处，观察 A 岛周边海域，据测算，渔政船距 A 岛的距离 AB 长为 10海里，此时位于 A 岛正西方向 C 处的我方渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东 50的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号，渔政船接警后，立即沿 BC 航线以每小时 30 海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的 C 处？(参考数据：sin 370.60，cos 370.80，sin 500.77，cos 500.64，sin 530.80，cos 530.60
16、，sin 400.64，cos 400.77)128(2018河南说明与检测)如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB2 km.有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方向，从 B 测得小船在北偏东 45的方向(1)求点 P 到海岸线 l 的距离；(2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西 15的方向求点 C 与点 B 之间的距离(上述两小题的结果都保留根号)139(2018衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 C 出发，沿北偏东 30的方向行走 2 000 米到达石鼓书院
17、 A 处，参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 45方向的雁峰公园 B处，如图所示(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在 15 分钟内能否到达宾馆？14参考答案类型一针对训练1解：(1)i EF10.75 ，43 EHFH设 EH4x，则 FH3x，EF 5x15，（ 3x） 2 （ 4x） 2x3，FH3x9，即山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9 m.第 1 题解图(2)如解图，延长 BA、FH 交于点 G，则AGEH4312，GHAE4，BGBAAG22.5
18、1234.5.设 CFy，则CGCFFHGHy94y13，由题知 CG(BGCP)1.25， 1.25，解得 y29，y 1334.5 0.9底部 C 距 F 处至少 29 m 远2解：如解图，延长 DG 交 CA 于点 H，得 RtABE 和矩形 BEHG.i ，BEAE 43第 2 题解图BE8，AE6，DG1.5，BG1，DHDGGH1.589.5，AHAEEH617.在 RtCDH 中，CFDC30，DH9.5，CH 9.5 .DHtan 30 3又CHCAAH，即 9.5 CA7，3CA9.2(米)答：CA 的长约是 9.2 米153解：如解图，过点 B 作 BFAE，交 EA 的延
19、长线于点 F，作 BGDE 于点 G.RtABF 中，itanBAF ，13 33第 3 题解图BAF30，BF AB5，AF5 .12 3BGAFAE5 15.3RtBGC 中，CBG45，CGBG5 15.3RtADE 中，DAE60，AE15，DEAEtan 60 AE15 .3 3CDCGGEDE5 15515 2010 2.7 m.3 3 3答：宣传牌 CD 高约 2.7 米4解：如解图，延长 BA 交 CD 的延长线于点 E，则 BECE，CHBE4 千米，设 AEx 千米，第 4 题解图RtADE 中，ADE50，DE x.AEtan 50 x1.2 56CE x2.56RtAC
20、E 中，ACE31，AECEtan 31，即 x0.6( x2)，56解得 x2.4，ABBEAE42.41.6(千米)答：山的高度 AB 约为 1.6 千米165解：在 RtAPC 中，ACPCtanAPC30tan 71302.9087 米，在 RtBPC 中，BCPCtanBPC30tan 35300.7021 米，则 ABACBC872166 米，该汽车的平均速度为 11 m/s，40 km/h11.1 m/s，666该车没有超速6解：如解图，过点 A 作 AHCD，垂足为点 H，由题意知，四边形 ABDH 为矩形，CAH30，第 6 题解图ABDH1.5，BDAH6.在 RtACH
21、中，CHAHtanCAH，CH6tan 302 (米)3DH1.5，CD(2 1.5)(米)3在 RtCDE 中，CED60，CE 4 5.7(米)，CDsin 60 3答：拉线 CE 的长约为 5.7 米7解：能求出小山的高，设小山的高 BD 为 x m.在 RtABD 中，AD .xtan 60同理，在 RtACD 中，AD .CDtan 66 x 20tan 66即 .xtan 60 x 20tan 66解得：x67.4.答：小山的高 BD 约为 67.4 m.8解：如解图，过点 A 作 AGCD，垂足为点 G，则CAG30，在 RtACG 中，17第 8 题解图CGCAsin 3050
22、 25.12由题意得 GD503020，则 CDCGGD252045.连接 FD 并延长与 BA 的延长线交于点 H.由题意得H30.在 RtCDH 中，CH 2CD90，CDsin 30EHECCHABBEACCH300505090290.在 RtEFH 中，EFEHtan 30290 .33 290 33支撑角钢 CD 的长度为 45 cm，EF 的长度为 cm.290 339解：(1)11.4 【解法提示】在 RtABC 中，BAC64，AC5 m，AB 50.4411.4 m；ACcos 64第 9 题解图(2)如解图，过点 D 作 DH地面于 H，交水平线于点 E，在 RtADE 中
23、，AD20 m，DAE64，EH1.5 m，DEsin 64AD200.918 m，即 DHDEEH181.519.5 m，答：如果该吊车吊臂的最大长度 AD 为 20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是 19.5 m.类型二针对训练181解：如解图，过点 A 作 ANBD 于点 N，第 1 题解图在 RtDNE，tan 37 0.75 ，DNEN 34设 DN3x，则 EN4x，在 RtDNA 中，有 DN3x，AN4x8，tan42 0.90，DNAN 3x4x 8解得：x12，DN31236，AN412840，在 RtBNA 中，由题意知NAB32，tan 32 ，BNANBNtan
24、32AN24.8，DBDNBN3624.860.8，ACBN24.8，答：甲楼的高为 60.8 m，乙楼的高为 24.8 m.2解：如解图，过点 C 作 CDAB 于点 D，在 RtADC 和 RtBCD 中，CAB30，CBA45，AC640，CD AC320，AD320 ，12 3BDCD320，BC320 ，2ACBC640320 1088，2ABADBD320 320864，31088864224(公里)，答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里第 2 题解图3解：如解图，过 D 作 DEAB 于点 E，可得四边形 CHED 为矩形，HECD40 m
25、，设 CHDEx m，在 RtBDE 中，DBA60，19BE x m，在 RtACH 中，BAC30，DEtan 60 33AH x m，CHtan 30 3由 AHHEEBAB160 m，得 x40 x160，333解得：x30 ，即 CH30 m，3 3答：该段运河的河宽为 30 m.3第 3 题解图4解：如解图，过点 B 作 BDAC 于点 D，则BAD60，DBC903753，第 4 题解图设 ADx，在 RtABD 中，BDADtanBAD x，3在 RtBCD 中，CDBDtanDBC x x，343 4 33由 ACADCD 可得 x x13，解得：x4 3，43 3 3则 B
26、C (4 3)205 ，BDcos DBC 3x35 5 33 3 3即 BC 两地的距离为(205 )千米35解：如解图，过点 B 作 BDAC，垂足为 D.设 BDx.第 5 题解图在 RtABD 中，BAD562630，20AB 2x，AD x.BDsin 30 BDtan 30 3在 RtBCD 中，C261945，BC x，CD x.BDsin 45 2 BDtan 45AC xx.3由题意得 ABBCAC20，2x x( xx)20，解得 x29.4.2 3AC2.7329.480.26280(千米)从 A 地直达 C 地的路程约为 80 千米6解：如解图，延长 ED 交 BC 延
27、长线于点 F，则CFD90，第 6 题解图tanDCFi ，DCF30，13 33CD4，DF CD2，CFCDcosDCF4 2 .12 32 3BFBCCF2 2 4 .3 3 3过点 E 作 EGAB 于 G，则 GEBF4 ，BGEFEDDF1.523.5，3又AEG37，AGGEtanAEG4 tan373 .3 3ABAGBG(3 3.5)米3答：旗杆 AB 的高度约为(3 3.5)米37解：如解图，过点 B 作 BDAC，垂足为 D，第 7 题解图根据题意，得ABDBAM37，CBDBCN50，在 RtABD 中，cosABD .BDAB21BDABcos 37100.88(海里
28、)在 RtCBD 中，cosCBD ，BDBCBC 12.5(海里)BDcos 50 80.6412.530 (小时)， 6025(分钟)512 512渔政船大约需 25 分钟能到达渔船所在的 C 处8解：(1)如解图，过点 P 作 PDAB 于点 D，设 PDx，由题意得知，PBD45，PAD30.在 RtBDP 中，BDPDx，在 RtPDA 中，AD PD x，PDtan 30 3 3AB2 km，x x2，3解得 x 1，3点 P 到海岸线 l 的距离为( 1) km.3(2)如解图，过点 B 作 BFCA 于点 F，在 RtABF 中，BFABsin302 1 km.12在ABC 中
29、，C180BACABC1803045451545，在 RtBFC 中，BC BF 1 km.2 2 2点 C 与点 B 之间的距离为 km.2第 8 题解图9解：(1)如解图，过点 C 作 CPAB 于 P，第 9 题解图由题意可得：A30，AC2 000 米，22则 CP AC1 000 米；12答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为 1 000 米(2)在 RtPBC 中，PC1 000 米，PBCBPP45，BC PC1 000 米2 2这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆需要的时间为 10 15.1 000 2100 2他在 15 分钟内能到达宾馆
