1、1第 1 讲 空间几何体考情考向分析 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题热点一 三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” 2由三视图还原几何体的步骤一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体例 1 (1)(2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放
2、的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A.(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)， ABC45， AB AD1， DC BC，则这块菜地的面积为_答案 222解析 如图，在直观图中，过点 A 作 AE BC，垂足为点 E，2则在 Rt ABE 中， AB1， ABE45， BE .22而四边形 AECD 为矩形， AD1， EC AD1， BC BE EC 1.22由此可还原原图形如图所示在原图形中， A D1， A B2
3、， B C 1，22且 A D B C， A B B C，这块菜地的面积为 S (A D B C) A B12 22 .12 (1 1 22) 22思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑跟踪演练 1 (1)(2018衡水模拟)已知一几何体的正(主)视图
4、、侧(左)视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )3答案 D解析 由选项图可知，选项 D 对应的几何体为长方体与三棱柱的组合，其侧(左)视图中间的线不可视，应为虚线，故该几何体的俯视图不可能是 D.(2)(2018合肥质检)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 A1B1的中点，用过点 A， C， E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )答案 A解析 如图所示，取 B1C1的中点 F，连接 EF， AC， AE， CF，则 EF AC，平面 ACFE，即为平面 ACE 截正方体所得的截面，据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项 A 所
5、示热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧例 2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )4A34 B44 C64 D84答案 B解析 由三视图可得该几何体由上下两部分组成，上部分是半径为 1 的四分之一球，下部分是底面圆半径为 1，高为 2 的半圆柱故该几何体的表面积为S 表 2 2244.14 (4 12) 12 ( 12) 12 (2 1) 12 ( 1
6、2)(2)(2018内蒙古鄂伦春自治旗模拟)甲、乙两个几何体的三视图如图所示(单位相同)，记甲、乙两个几何体的体积分别为 V1， V2，则( )A V12V2 B V12 V2C V1 V2163 D V1 V2173答案 D解析 由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为58，长方体的长为 4，宽为 4，高为 6，则该几何体的体积为 V18 3446416；由乙的三视图可知，该几何体是一个底面为正方形，边长为 9，高为 9 的四棱锥，则该几何体的体积为 V2 999243.13 V1 V2416243173.思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算
7、各个面的面积，然后求和(2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪演练 2 (1)(2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A202 B1823 3C18 D203 3答案 B解析 由三视图可知，正方体棱长为 2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，故该
8、几何体的表面积为 3223 2182 ，故选 B.(1222) 34 (22) 3(2)(2018孝义模拟)某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )6A. B.283 323C. D.523 563答案 A解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成，其中圆柱的底面半径为2，高为 4，圆锥的底面半径和高均为 2，其体积为 V 44 42 ，12 12 13 283故选 A.热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于
9、正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点” “接点”)作出截面图例 3 (1)(2018百校联盟联考)在三棱锥 P ABC 中， ABC 和 PBC 均为边长为 3 的等边三角形，且 PA ，则三棱锥 P ABC 外接球的体积为( )362A. B. 13136 10103C. D. 5152 556答案 C解析 取 BC 的中点 D，连接 PD， AD，因为 ABC 和 PBC 均为等边三角形，7所以 AD B
10、C， PD BC， AD PD D， AD， PD平面 PAD，所以 BC平面 PAD，因为 ABC 和 PBC 均为边长为 3 的等边三角形，所以 AD PD ，332又因为 PA ， PA2 PD2 AD2，362所以 PD AD，过 ABC 的外心 O1作平面 ABC 的垂线，过 PBC 的外心 O2作平面 PBC 的垂线，设两条垂线交于点 O，则 O 为三棱锥 P ABC 外接球的球心O1O O2D ， AO1 PO2 ，32 3所以 OA2 OO AO ，21 21154所以外接球的半径 R OA ，152所以三棱锥 P ABC 外接球的体积 V R3 .43 5152(2)(201
11、8衡水金卷信息卷)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )A. B.254 2516C. D.1 1254 1 12516答案 D解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为 20,24,16 的长方体 ABCD A1B1C1D1中，8三棱锥 B KLJ 即为所求的三棱锥，其中 KC19， C1L LB112， B1B16， ，KC1C1L LB1B1B则 KC1L LB1B， KLB90，故可求得三棱锥各面面积分别为S BKL150， S JKL150， S JKB250， S JLB250，故表面积为 S 表 800.三棱锥体积 V S BKLJK1 000，13设内切球半径为 r，
12、则 r ，3VS表 154故三棱锥内切球体积 V 球 r3 .43 1 12516思维升华 三棱锥 P ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形(1)点 P 可作为长方体上底面的一个顶点，点 A， B， C 可作为下底面的三个顶点(2)P ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线跟踪演练 3 (1)(2018咸阳模拟)在三棱锥 P ABC 中， PA平面 ABC， AB BC，若AB2， BC3， PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A13 B20 C25 D29答案 D解析 把三棱锥 P ABC 放到长方体中，如图所示，所以长方体的体对角线长为 ，22
13、32 42 29所以三棱锥外接球的半径为 ，292所以外接球的表面积为 4 229.(292)(2)(2018四川成都名校联考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的内切球9的表面积为 S1，外接球的表面积为 S2，则 等于( )S1S2A12 B13 C14 D18答案 C解析 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的 2 倍，不妨设底面圆半径为 r， l 为底面圆周长， R 为母线长，则 lR2 r2，12即 2 rR2 r2，12解得 R2 r，故 ADC30，则 DEF 为等边三角形，设 B 为 DEF 的重心，过 B 作 BC DF，则 DB 为圆锥的外接球半径， BC 为圆锥的
14、内切球半径，则 ， ，故 .BCBD 12 r内r外 12 S1S2 14真题体验1(2018全国改编)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图所示圆柱表面上的点 M 在正(主)视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在侧(左)视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为_答案 2 5解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点 M， N 的位置如图所示10圆柱的侧面展开图及 M， N 的位置( N 为 OP 的四等分点)如图所示，连接 MN，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径ON 164， OM2，14 MN 2 .OM2 ON2
15、 22 42 52(2017北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_答案 2 3解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知 SD 为该四棱锥的最长棱由三视图可知，正方体的棱长为 2，故 SD 2 .22 22 22 33(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_答案 92解析 设正方体的棱长为 a，则 6a218， a .3设球的半径为 R，则由题意知 2R 3，a2 a2 a2 R .3211故球的体积 V R3 3 .43 43 (32) 924(2017全国)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O
16、的球面上， SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB， SA AC， SB BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_答案 36解析 如图，连接 OA， OB.由 SA AC， SB BC， SC 为球 O 的直径知， OA SC， OB SC.由平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCB SC， OA平面 SCB.设球 O 的半径为 r，则OA OB r， SC2 r，三棱锥 S ABC 的体积V SCOBOA ，13 12 r33即 9， r3，球 O 的表面积 S4 r236.r33押题预测1一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )
17、A16 B8 82C2 2 8 D4 4 82 6 2 6押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积答案 D解析 由三视图知，该几何体是底面边长为 2 的正方形，高 PD2 的四棱锥22 22 2P ABCD，12因为 PD平面 ABCD，且四边形 ABCD 是正方形，易得 BC PC， BA PA，又 PC 2 ，PD2 CD2 22 222 3所以 S PCD S PAD 22 2 ，12 2 2S PAB S PBC 2 2 2 .12 2 3 6所以几何体的表面积为 4 4 8.6
18、 22在正三棱锥 S ABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AM SB，底面边长 AB2 ，则正三棱锥2S ABC 的外接球的表面积为( )A6 B12C32 D36押题依据 灵活运用正三棱锥中线与棱之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点答案 B解析 因为三棱锥 S ABC 为正三棱锥，所以 SB AC，又 AM SB， AC AM A， AC， AM平面 SAC，所以 SB平面 SAC，所以 SB SA， SB SC，同理 SA SC，即 SA， SB， SC 三线两两垂直，且 AB2 ，所以 SA SB SC2，所以(2 R)232 212，所以球的表面积2S4 R212，
19、故选 B.3已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注答案 423解析 如图所示，设圆柱的底面半径为 r，13则圆柱的侧面积为S2 r2 4 r1 r2 1 r24 2r2 1 r22.(当 且 仅 当 r2 1 r2， 即 r22时 取 等 号 )所以当 r 时， .22 V球V圆 柱43 13 (22)22 423A 组 专题通关1(2018上海金山区
20、模拟)如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的侧(左)视图序号是( )答案 A解析 根据几何体的直观图，可以得到它的侧(左)视图，应该是下面两个正方形，上面一个正方形且靠近左侧，故选 A.2(2018咸阳模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )14A168 B648C644 D164答案 C解析 由三视图知，该几何体是正方体中间挖去一个圆柱，所以 V4 31 24644.3(2018佛山质检)如图是一种螺栓的简易三视图，其螺帽俯视图是一个正六边形，则由三视图尺寸可知，该螺栓的表面积为( )A15 12 B9 12123 3C12
21、1212 D12 12113 3答案 C解析 螺栓由一个正六棱柱与一个圆柱组合而成，其中正六棱柱的高为 1，底边正六边形边长为 2，圆柱高为 6，底面圆半径为 1.因此螺栓的表面积为正六棱柱表面积与圆柱侧面积之和，正六棱柱的一个底面积为 6 226 ，正六棱柱的侧面积为 61212，圆柱侧34 3面积为 21612，因此螺栓的表面积为 26 121212 1212，故3 3选 C.4某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是A B C，如图(2)所示，其中 O A O B2， O C ，则该几何体的表面积为3( )15A3612 B2483 3C2412 D368
22、3 3答案 C解析 由图(2)可知，该几何体的俯视图是一个底面边长为 4，高为 2 的等腰三角形，即3该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长、宽、高分别为 4,2 ，6，三视图还3原为几何体是图中的三棱锥 P ABC，且 S PAB S PBC 4612， S ABC 42 412 12 3， PAC 是腰长为 ，底面边长为 4 的等腰三角形， S PAC8 .综上可知，该几何体的3 52 3表面积为 2124 8 2412 .故选 C.3 3 35已知三棱柱 ABC A B C的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 ， AB2， AC1， BAC60，则此球的表面积
23、是( )3A2 B4C8 D10答案 C解析 根据余弦定理可知， BC ，则 ACB90，3点 E， F 分别是斜边 AB， A B的中点，点 O 为 EF 的中点，点 O 为三棱柱外接球的球心，16设三棱柱的高为 h， V 1 h ，解得 h2， R2 OA2 2 2，代入可得12 3 3 (12AB) (12h)R2112，所以此球的表面积为 S4 R28，故选 C.6(2018衡水金卷信息卷)已知正四棱锥 P ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 ，若该正四棱锥的体积为 2，则此球的体积为( )2A. B. C. D.1243 62581 50081 2569答案 C解析
24、 如图所示，设底面正方形 ABCD 的中心为 O，正四棱锥 P ABCD 的外接球的球心为 O，底面正方形的边长为 ，2 O D1，正四棱锥的体积为 2， VP ABCD ( )2PO2，解得 PO3，13 2 OO| PO PO|3 R|，在 Rt OO D 中，由勾股定理可得 OO 2 O D2 OD2，即(3 R)21 2 R2，解得 R ，53 V 球 R3 3 .43 43 (53) 500817在三棱锥 S ABC 中，侧棱 SA底面 ABC， AB5， BC8， ABC60， SA2 ，则5该三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. 643 2563C. D. 4363 2 04
25、8327答案 B解析 由题意知， AB5， BC8， ABC60，则根据余弦定理可得AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABC，解得 AC7，17设 ABC 的外接圆半径为 r，则 ABC 的外接圆直径 2r ， r ，ACsin B 732 73又侧棱 SA底面 ABC，三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离 d SA ，则外接球的半径 R 12 5 ，(73)2 (5)2 643则该三棱锥的外接球的表面积为 S4 R2 .25638(2018北京海淀区模拟)某几何体的正(主)视图和俯视图如图所示，在下列图形中，可能是该几何体侧(左)视图的图形是_(写出所有可能的序号)答案 解析
26、如图 a 三棱锥 C ABD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为；如图 b 四棱锥 P ABCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为；如图 c 三棱锥 P BCD，正(主)视图与俯视图符合题意，侧(左)视图为.9(2018安徽省“皖南八校”联考)如图 1 所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中 ABCD 是矩形， ABFE 和 CDEF 都是等腰梯形，且 AD平面 CDEF，现测得 AB20 cm， AD15 cm， EF30 cm， AB 与 EF 间的距离为 25 cm，则几何体 EF ABCD 的体积为_cm3.18答案 3 500解析 在 EF 上，取两点
27、M， N(图略)，分别满足 EM NF5，连接 DM， AM， BN， CN，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱，根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得 V 2015202 201553 500.12 13 1210(2018全国改编)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为_3答案 18 3解析 由等边 ABC 的面积为 9 ，可得 AB29 ，334 3所以 AB6，所以等边 ABC 的外接圆的半径为 r AB2 .33 3设球的半径为 R，球心到等边 ABC 的外接圆圆心
28、的距离为 d，则 d 2.R2 r2 16 12所以三棱锥 D ABC 高的最大值为 246，所以三棱锥 D ABC 体积的最大值为 9 618 .13 3 311(2018全国)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为30.若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_答案 8解析 在 Rt SAB 中， SA SB， S SAB SA28，12解得 SA4.设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h，在 Rt SAO 中， SAO30，所以 r2 ， h2，3所以圆锥的体积 V r2h (2 )228.13 13 312已知三棱锥 P ABC 的三
29、条侧棱两两垂直，且 AB ， BC ， AC2，则此三棱锥外5 7接球的表面积是_答案 819解析 如图 PA， PB， PC 两两垂直，设 PC h，则 PB ，BC2 PC2 7 h2PA ，AC2 PC2 4 h2由 PC PA， PC PB， PA PB P， PA， PB平面 PAB，得 PC平面 PAB， PC AB，即 PA2 PB2 AB2，4 h27 h25，解得 h ，在三棱锥 P ABC 中， PA， PB， PC 两两垂直，且 PA1， PB2， PC ，3 3以 PA， PB， PC 为棱构造一个长方体,则这个长方体的外接球就是三棱锥 P ABC 的外接球，由题意可知
30、，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为 R ，1 4 32 2外接球的表面积为 S4 R24( )28.2B 组 能力提高13若四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.815 8120 1015 10120答案 C解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥 P ABCD，如图所示，20平面 PAD平面 ABCD，由于 PAD 为等腰三角形， PA PD3， AD4，四边形 ABCD 为矩形，CD2，过 PAD 的外心 F 作平面 PAD 的垂线，过矩形 ABCD 的中心 H 作平面 ABCD 的垂线，两条垂线交于一点
31、 O，则 O 为四棱锥外接球的球心，在 PAD 中，cos APD ，则 sin APD ，32 32 42233 19 4592PF ， PF ，ADsin APD 4459 955 9510PE ， OH EF ，9 4 5 59510 510BH ，1216 4 5OB ，OH2 BH25100 5 50510所以 S4 .505100 101514(2018龙岩质检)如图所示，正方形 ABCD 的边长为 2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )A(1,2) B(1,2C(0,2 D(0,2)答案 D解析 设四棱锥一个侧面为 APQ， APQ x，过点 A 作
32、 AH PQ，则 AH PQtan x 12 AC PQ2 22 PQ2 PQ，212 PQ ， AH ，221 tan x 2tan x1 tan x21 S4 PQAH2 PQAH122 ， x ，221 tan x 2tan x1 tan x 8tan x1 tan x2 4， 2) S 8tan x1 tan x2 8tan x1 tan2x 2tan x 2，81tan x tan x 2 82 2，(当 且 仅 当 tan x 1， 即 x 4时 取 等 号 )而 tan x0，故 S0， S2 时， APQ 是等腰直角三角形，顶角 PAQ90，阴影部分不存在，折叠后 A 与 O
33、重合，构不成棱锥， S 的取值范围为(0,2)，故选 D.15在棱长为 2 的正四面体 P ABC 中， M， N 分别为 PA， BC 的中点，点 D 是线段 PN 上一点，且 PD2 DN，则三棱锥 D MBC 的体积为_答案 29解析 由题意得 VD BMC VM BDC，AN ， DN .22 12 313 3 33所以 AD .32 (33)2 263所以三棱锥 M BDC 的高为 .12 263 63因为 S BCD .13 (34 22) 33所以 VD BMC VM BDC .13 33 63 2916(2018衡水金卷信息卷)在正三棱锥 A BCD 中， M， N 分别是 A
34、B， BC 上的点，且MN AC， AM5 MB， MD MN，若侧棱 AB1，则正三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为_答案 3解析 设底面边长为 a，则在 BCD 中，BN BC a， DBN ，16 16 322由余弦定理，得 DN2 BD2 BN22 BDBNcos DBN a2，3136 DN a.316同理，在 ABD 中，cos BAD ，2 a22在 AMD 中， AM ， DM ，56 56a2 136 MD MN， MN AC ，16 16DM2 MN2 DN2，即 a2 a2， a22， a .56 136 136 3136 2设 A 在底面 BCD 上的射影为 E，则 BE BCsin 60 ， AE .23 63 AB2 BE2 33设外接球的半径为 R，则 R2 2 BE2，(33 R) R ，32正三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 S4 R23.
