1、1第一部分 专题六 第一讲 直线与圆A组1若直线 l1： x ay60 与 l2：( a2) x3 y2 a0 平行，则 l1与 l2间的距离为( B )A B 2823C D3833解析 由 l1 l2知 3 a(a2)且 2a6( a2)，2a218，求得 a1， l1： x y60， l2： x y 0，两条平行直线 l1与 l2间的距离为23d .故选 B|6 23|12 1 2 8232(文)直线 x y 0 截圆 x2 y24 所得劣弧所对圆心角为( D )2A B 6 3C D23 56解析 弦心距 d 1，半径 r2，|2|2劣弧所对的圆心角为 .23(理) C1：( x1)
2、2 y24 与 C2：( x1) 2( y3) 29 相交弦所在直线为 l，则 l被 O： x2 y24 截得弦长为( D )A B4 13C D43913 83913解析 由 C1与 C2的方程相减得 l：2 x3 y20.圆心 O(0,0)到 l的距离 d ， O的半径 R2，21313截得弦长为 2 2 .R2 d24 413 839133已知圆 C： x2( y3) 24，过 A(1,0)的直线 l与圆 C相交于 P， Q两点若2|PQ|2 ，则直线 l的方程为( B )3A x1 或 4x3 y40B x1 或 4x3 y40C x1 或 4x3 y40D x1 或 4x3 y40解
3、析 当直线 l与 x轴垂直时，易知 x1 符合题意；当直线 l与 x轴不垂直时，设直线 l的方程为 y k(x1)，由| PQ|2 ，则圆心 C到直线 l的距离3d 1，解得 k ，此时直线 l的方程为 y (x1)，故所求直线 l的方程为| k 3|k2 1 43 43x1 或 4x3 y40.4过三点 A(1,3)， B(4,2)， C(1，7)的圆交 y轴于 M， N两点，则| MN|( C )A2 B8 6C4 D106解析 由已知得 kAB ， kCB 3，所以 kABkCB1，所以3 21 4 13 2 74 1AB CB，即 ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1，2)，半径为
4、5，所以外接圆方程为(x1) 2( y2) 225，令 x0，得 y2 2，所以| MN|4 ，故选 C6 65直线 l与圆 x2 y22 x4 y a0( a0)相交于 A， B两点，且 AOB120( O为坐标原点)，则 r2.解析 直线 3x4 y50 与圆 x2 y2 r2(r0)交于 A， B两点， O为坐标原点，且 AOB120，则圆心(0,0)到直线 3x4 y50 的距离为 r，即 r， r2.12 532 42 128一个圆经过椭圆 1 的三个顶点，且圆心在 x轴的正半轴上，则该圆的标准x216 y24方程为 2 y2 .(x32) 254解析 设圆心为( a,0)，则圆的方
5、程为( x a)2 y2 r2，依题意得 a2 22，解得 a ， r2 ，所以圆的方程为 2 y2 . 4 a 232 254 (x 32) 2549已知定点 M(0,2)， N(2,0)，直线 l： kx y2 k20( k为常数)(1)若点 M， N到直线 l的距离相等，求实数 k的值；(2)对于 l上任意一点 P， MPN恒为锐角，求实数 k的取值范围解析 (1)点 M， N到直线 l的距离相等， l MN或 l过 MN的中点 M(0,2)， N(2,0)，直线 MN的斜率 kMN1，MN的中点坐标为 C(1,1)又直线 l： kx y2 k20 过定点 D(2,2)，当 l MN时，
6、 k kMN1；当 l过 MN的中点时， k kCD .13综上可知， k的值为 1或 .13(2)对于 l上任意一点 P， MPN恒为锐角， l与以 MN为直径的圆相离，即圆心到直线 l的距离大于半径， d ，解得 k1.| k 1 2k 2|k2 1 2 1710已知点 P(0,5)及圆 C： x2 y24 x12 y240.(1)若直线 l过点 P且被圆 C截得的线段为 4 ，求 l的方程；3(2)求过 P点的圆 C的弦的中点的轨迹方程解析 (1)如图所示，| AB|4 ，将圆 C方程化为标准方程34为( x2) 2( y6) 216，所以圆 C的圆心坐标为(2,6)，半径 r4，设 D
7、是线段 AB的中点，则 CD AB，所以| AD|2 ，| AC|4.3C点坐标为(2,6)在 Rt ACD中，可得| CD|2.若直线 l的斜率存在，设为 k，则直线 l的方程为 y5 kx，即 kx y50.由点 C到直线 AB的距离公式： 2，| 2k 6 5|k2 1 2得 k .34故直线 l的方程为 3x4 y200.直线 l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x0.所以所求直线 l的方程为 x0 或 3x4 y200.B组1(2018南宁一模)直线 y kx3 被圆( x2) 2( y3) 24 截得的弦长为 2 ，则3直线的倾斜角为( A )A 或 B 或6 56 3 3C
8、 或 D6 6 6解析 圆( x2) 2( y3) 24 的圆心为(2,3)，半径 r2，圆心(2,3)到直线y kx3 的距离 d ，因为直线 y kx3 被圆( x2) 2( y3) 24 截得的弦长为|2k|k2 12 ，所以由勾股定理得 r2 d2( )2，即 4 3，解得 k ，故直线的倾斜3232 4k2k2 1 33角为 或 .6 562设直线 x y a0 与圆 x2 y24 相交于 A， B两点， O为坐标原点，若 AOB为等边三角形，则实数 a的值为( B )A B 3 6C3 D9解析 由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为 2，则 AOB的边长为 2，所以 AOB的高为
9、 ，即圆心到直线 x y a0 的距离为 ，所以 ，解得 a .3 3| a|12 1 2 3 63已知点 A(2,0)， B(0,2)，若点 C是圆 x22 ax y2 a210 上的动点， ABC面积的最小值为 3 ，则 a的值为( C )25A1 B5C1 或5 D5解析 解法一：圆的标准方程为( x a)2 y21，圆心 M(a,0)到直线AB： x y20 的距离为 d ，|a 2|2可知圆上的点到直线 AB的最短距离为 d1 1，( S ABC)min 2 |a 2|2 12 23 ，|a 2| 22 2解得 a1 或5.解法二：圆的标准方程为( x a)2 y21，设 C的坐标为
10、( acos ，sin )， C点到直线 AB： x y20 的距离为 d|a cos sin 2|2 .|2sin 4 a 2|2 ABC的面积为 S ABC 2 12 2 |2sin 4 a 2|2| sin( ) a2|，24当 a0 时， a2 3 ，解得 a1；2 2当2 a0)与圆 x2 y24 交于不同的两点 A， B， O是原点，且有|6 | | |，则 k的取值范围是( C )OA OB 33 AB A( ，) B ，)3 2C ，2 ) D ，2 2 2 3 2解析 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算设 AB的中点为 D，则OD AB，因为| | | |，所以|2
11、| | |， | |2 | |，又因为| |2 |OA OB 33 AB OD 33 AB AB 3OD OD 14|24，所以| |1.因为直线 x y k0( k0)与圆 x2 y24 交于不同的两点，所以|AB OD |7或 a 或 a7，所以两条直线和圆“相切”时 a的取值范围3 a或 a7，故选 C6 66过点 P(1,1)作圆 C：( x t)2( y t2) 21( tR)的切线，切点分别为 A， B，则 的最小值为 .PA PB 214解析 圆 C：( x t)2( y t2) 21 的圆心坐标为( t， t2)，半径为 1，所以 PC t 1 2 t 3 2 ，2 t 1 2
12、 8 8PA PB ，cos APC ，PC2 1APPC7所以 cos APB2 211 ，(APPC) 2PC2所以 ( PC21)(1 )3 PC2 38 ，PA PB 2PC2 2PC2 14 214所以 的最小值为 .PA PB 2147过点 C(3,4)作圆 x2 y25 的两条切线，切点分别为 A， B，则点 C到直线 AB的距离为 4.解析 以 OC为直径的圆的方程为( x )2( y2) 2( )2， AB为圆 C与圆32 52O： x2 y25 的公共弦，所以 AB的方程为 x2 y2( x )2( y2) 25 ，化为32 2543x4 y50， C到 AB的距离为 d
13、4.|33 44 5|32 428在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，若 sin2Asin 2B sin2C，则直12线 ax by c0 被圆 x2 y29 所截得弦长为 2 .7解析 由正弦定理得 a2 b2 c2，12圆心到直线距离 d ，|c|a2 b2 c12c2 2弦长 l2 2 2 .r2 d2 9 2 79(2018全国卷，19)设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过 F且斜率为 k(k0)的直线 l与 C交于 A， B两点，| AB|8.(1)求 l的方程(2)求过点 A， B且与 C的准线相切的圆的方程解析 (1)由题意得 F(1,0)， l的
14、方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)， k1.4k2 4k2因此 l的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.8设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11)
15、 2( y6) 2144.10(2017全国卷，20)在直角坐标系 xOy中，曲线 y x2 mx2 与 x轴交于A， B两点，点 C的坐标为(0,1)当 m变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC BC的情况？说明理由(2)证明过 A， B， C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值解析 (1)不能出现 AC BC的情况理由如下：设 A(x1,0)， B(x2,0)，则 x1， x2满足 x2 mx20，所以 x1x22.又点 C的坐标为(0,1)，故 AC的斜率与 BC的斜率之积为 ， 1x1 1x2 12所以不能出现 AC BC的情况(2)证明： BC的中点坐标为( ， )，可得 BC的中垂线方程为 y x2(x2 )x22 12 12 x22由(1)可得 x1 x2 m，所以 AB的中垂线方程为 x .m2联立Error!又 x mx220，可得Error!2所以过 A， B， C三点的圆的圆心坐标为( ， )，半径 r .m2 12 m2 92故圆在 y轴上截得的弦长为 2 3，r2 m2 2即过 A， B， C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值
