1、1第一部分 专题六 第二讲 圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题A 组1抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， O 为坐标原点， M 为抛物线上一点，且|MF|4| OF|， MFO 的面积为 4 ，则抛物线方程为( B )3A y26 x B y28 xC y216 x D y2 x152解析 依题意，设 M(x， y)，因为| OF| ，p2所以| MF|2 p，即 x 2 p，p2解得 x ， y p.3p2 3又 MFO 的面积为 4 ，所以 p4 ，312 p2 3 3解得 p4.所以抛物线方程为 y28 x.2若双曲线 1( a0， b0)和椭圆 1( mn0)有共同的焦点
2、 F1、 F2， Px2a y2b x2m y2n是两条曲线的一个交点，则| PF1|PF2| ( D )A m2 a2 B m aC (m a) D m a12解析 不妨设 F1、 F2分别为左、右焦点， P 在双曲线的右支上，由题意得|PF1| PF2|2 ，| PF1| |PF2|2 ，| PF1| ，| PF2| ，故m a m a m a|PF1|PF2| m a.3(文)若双曲线 1 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( x2a2 y2b2D )A B73 54C D43 53解析 由题利用双曲线的渐近线经过点(3，4)，得到关于 a， b 的关系式，然后求2出双曲
3、线的离心率即可因为双曲线 1 的一条渐近线经过点(3，4)，x2a2 y2b23 b4 a，9( c2 a2)16 a2， e ，故选 Dca 53(理)已知双曲线 1( b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与x24 y2b2双曲线的两条渐近线相交于 A、 B、 C、 D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为( D )A 1 B 1x24 3y24 x24 4y23C 1 D 1x24 y24 x24 y212解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形 ABCD 为矩形双曲线的渐近线方程为y x，圆的方程为 x2 y24，不妨设交点 A 在第一象限，由 y x
4、， x2 y24 得 xAb2 b2， yA ，故四边形 ABCD 的面积为 4xAyA 2 b，解得 b212，44 b2 2b4 b2 32b4 b2故所求的双曲线方程为 1，故选 Dx24 y2124(2018重庆一模)已知圆( x1) 2 y2 的一条切线 y kx 与双曲线34C： 1( a0， b0)有两个交点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是( D )x2a2 y2b2A(1， ) B(1,2)3C( ，) D(2，)3解析 由题意，圆心到直线的距离 d ，所以 k ，|k|12 k2 32 3因为圆( x1) 2 y2 的一条切线 y kx 与双曲线 C：34 1( a0，
5、b0)有两个交点，x2a2 y2b2所以 ，所以 1 4，所以 e2.ba 3 b2a25(2018济南一模)已知抛物线 C： y28 x 的焦点为 F，准线为 l， P 是 l 上一点， Q是直线 PF 与 C 的一个交点，若 4 ，则| QF|( B )FP FQ A B3 72C D2523解析 如图所示，因为 4 ，所以 ，过点 Q 作FP FQ |PQ|PF| 34QM l 垂足为 M，则 MQ x 轴，所以 ，所以| MQ|3，由抛物线定义知|MQ|4 |PQ|PF| 34|QF| QM|3.6(2018泉州一模)已知抛物线 C： y22 px(p0)的准线 l，过 M(1,0)且
6、斜率为 的3直线与 l 相交于点 A，与点 C 的一个交点为点 B，若 ，则 p2.AM MB 解析 设直线 AB： y x ，代入 y22 px 得：3 33x2(62 p)x30，又因为 ，即 M 为 A， B 的中点，AM MB 所以 xB( )2，即 xB2 ，得 p24 p120，p2 p2解得 p2， p6(舍去)7已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P 为双曲线右支上一点，则y23 的最小值为2.PA1 PF2 解析 由已知得 A1(1,0)， F2(2,0)设 P(x， y)(x1)，则 (1 x， y)(2 x， y)4 x2 x5.令 f(x)4 x2
7、 x5，则 f(x)在PA1 PF2 1，)上单调递增，所以当 x1 时，函数 f(x)取最小值，即 取最小值，最小PA1 PF2 值为2.8已知椭圆 C： 1，点 M 与椭圆 C 的焦点不重合若 M 关于椭圆 C 的焦点的x29 y24对称点分别为 A， B，线段 MN 的中点在椭圆 C 上，则| AN| BN|12.解析 取 MN 的中点 G， G 在椭圆 C 上，因为点 M 关于 C 的焦点 F1， F2的对称点分别为 A， B，故有| GF1| |AN|，| GF2| |BN|，所以| AN| BN|2(| GF|1| GF|2)4 a12.12 129(2018郴州三模)已知抛物线
8、E： y28 x，圆 M：( x2) 2 y24，点 N 为抛物线 E上的动点， O 为坐标原点，线段 ON 的中点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)点 Q(x0， y0)(x05)是曲线 C 上的点，过点 Q 作圆 M 的两条切线，分别与 x 轴交于A， B 两点，求 QAB 面积的最小值解析 (1)设 P(x， y)，则点 N(2x,2y)在抛物线 E： y28 x 上，所以 4y216 x，所以曲线 C 的方程为 y24 x.4(2)设切线方程为 y y0 k(x x0)令 y0，可得 x x0 ，y0k圆心(2,0)到切线的距离 d 2，|2k y0 kx0|12
9、k2整理可得( x 4 x0)k2(4 y02 x0y0)k y 40，20 20设两条切线的斜率分别为 k1， k2，则 k1 k2 ， k1k2 ，2x0y0 4y0x20 4x0 y20 4x20 4x0所以 QAB 面积 S |(x0 )( x0 )|y012 y0k1 y0k22 2x20x0 1 x0 1 2 2 x0 1 1x0 12( x01) 21x0 1设 t x014，)，则 f(t)2( t 2)在4，)上单调递增，1t所以 f(t) ，即 QAB 面积的最小值为 .252 252B 组1若 a1，则双曲线 y21 的离心率的取值范围是( C )x2a2A( ，) B(
10、 ，2 ) 2 2C(1， ) D(1,2)2解析 由题意得双曲线的离心率 e .a2 1a e2 1 .a2 1a2 1a2 a1，0b0)的左焦点， A， B 分别为 C 的左，x2a2 y2b2右顶点 P 为 C 上一点，且 PF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( A )A B 13 12C D23 345解析 解法一：设 E(0， m)，则直线 AE 的方程为 1，由题意可知xa ymM( c， m )，(0， )和 B(a,0)三点共线，则 ，化简得 a3 c，则 C 的离mca m2 m
11、 mca m2 c m2 a心率 e .ca 13解法二：如图所示，由题意得 A( a,0)， B(a,0)， F( c,0)由 PF x 轴得 P( c， )b2a设 E(0， m)，又 PF OE，得 ，|MF|OE| |AF|AO|则| MF| .m a ca又由 OE MF，得 ，12|OE|MF| |BO|BF|则| MF| .m a c2a由得 a c (a c)，即 a3 c，12所以 e .ca 13故选 A3(文)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点已知| AB|4 ，| DE|2 ，则 C 的焦点到准线的距离为( B )
12、2 5A2 B4 C6 D8解析 由题意，不妨设抛物线方程为 y22 px(p0)，由| AB|4 ，| DE|2 ，可2 5取 A( ，2 )， D( ， )，设 O 为坐标原点，由| OA| |OD|，得 8 5，得 p4.4p 2 p2 5 16p2 p24故选 B(理)已知椭圆 C1： y21( m1)与双曲线 C2： y21( n0)的焦点重合， e1， e2x2m2 x2n26分别为 C1， C2的离心率，则( A )A mn 且 e1e21 B mn 且 e1e21 D mn，又( e1e2)2 m2 1m2 1 1，所以 e1e21.故选 An2 1n2 n2 1n2 2 n2
13、 1n2 n4 2n2 1n4 2n2 1n4 2n24已知 M(x0， y0)是曲线 C： y0 上的一点， F 是曲线 C 的焦点，过 M 作 x 轴的x22垂线，垂足为点 N，若 0， b0)，x2a2 y2b2由题意可知，将 x c 代入，解得： y ，b2a则| AB| ，由| AB|22 a，2b2a则 b22 a2，所以双曲线离心率 e .ca 1 b2a2 37已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1且与 x 轴垂直的直x2a2 y2b2线交椭圆于 A， B 两点，直线 AF2与椭圆的另一个交点为点 C，若 S ABC3 S BCF2，则椭圆的离心率为
14、 .55解析 如图所示，因为 S ABC3 S BCF2，所以| AF2|2| F2C|.A( c， )，直线 AF2的方程为： y0 (x c)，b2a b2a 0 c c化为： y (x c)，代入椭圆方程 1( ab0)， b22ac x2a2 y2b2可得：(4 c2 b2)x22 cb2x b2c24 a2c20，所以 xC( c) ，解得 xC .b2c2 4a2c24c2 b2 4a2c b2c4c2 b2因为 2 ，AF2 F2C 所以 c( c)2( c)，4a2c b2c4c2 b2化为： a25 c2，解得 e .558设 F1， F2为椭圆 C： 1( ab0)的焦点，
15、过 F2的直线交椭圆于 A， B 两点，x2a2 y2b2AF1 AB 且 AF1 AB，则椭圆 C 的离心率为 .6 3解析 设| AF1| t，则| AB| t，| F1B| t，由椭圆定义有：28|AF1| AF2| BF1| BF2|2 a，所以| AF1| AB| F1B|4 a，化简得( 2) t4 a， t(42 )a，2 2所以| AF2|2 a t(2 2) a，2在 Rt AF1F2中，| F1F2|2(2 c)2，所以(42 )a2(2 2) a2(2 c)2，2 2所以( )296 ( )2，所以 e .ca 2 6 3 6 39(文)设 F1、 F2分别是椭圆 E：
16、1( ab0)的左、右焦点，过点 F1的直线交x2a2 y2b2椭圆 E 于 A、 B 两点，| AF1|3| F1B|.(1)若| AB|4， ABF2的周长为 16，求| AF2|；(2)若 cos AF2B ，求椭圆 E 的离心率35解析 (1)由| AF1|3| F1B|及| AB|4 得| AF1|3，| F1B|1，又 ABF2的周长为 16，由椭圆定义可得 4a16，| AF1| AF2|2 a8.| AF2|2 a| AF1|835.(2)设| F1B| k，则 k0 且| AF1|3 k，| AB|4 k，由椭圆定义知：| AF2|2 a3 k，| BF2|2 a k，在 A
17、BF2中，由余弦定理得，|AB|2| AF2|2| BF2|22| AF2|BF2|cos AF2B，即(4 k)2(2 a3 k)2(2 a k)2 (2a3 k)(2a k)，65( a k)(a3 k)0，而 a k0， a3 k，于是有| AF2|3 k| AF1|，| BF2|5 k，| BF2|2| F2A|2| AB|2 F2A AB， F2A AF1， AF1F2是等腰直角三角形，从而 c a，所以椭圆离心率为 e .22 ca 229(理)设点 F1( c,0)， F2(c,0)分别是椭圆 C： y21( a1)的左、右焦点， P 为椭圆x2a2C 上任意一点，且 的最小值为
18、 0.PF1 PF2 (1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，动直线 l： y kx m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F1M l， F2N l 分别交直线 l 于 M， N 两点，求四边形 F1MNF2面积 S 的最大值解析 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式(1)设 P(x， y)，则 ( c x， y)，PF1 ( c x， y)，PF2 x2 y2 c2 x21 c2，PF1 PF2 a2 1a2x a， a，由题意得，1 c20， c1，则 a22，椭圆 C 的方程为 y21.x22(2)将直线 l 的方程 l： y kx
19、 m 代入椭圆 C 的方程 y21 中，得(2 k21)x22x24 kmx2 m220，由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点知 16 k2m24(2 k21)(2 m22)0，化简得： m22 k21.设 d1| F1M| ， d2| F2N| .| k m|k2 1 |k m|k2 1当 k0 时，设直线 l 的倾斜角为 ，则| d1 d2| MN|tan |，| MN| |d1 d2|，1|k| S |d1 d2|(d1 d2) ，12 1|k| 2|m|k2 1 4|m|m2 1 4|m| 1|m|10 m22 k21，当 k0 时，| m|1，| m| 2，1|m|即 S2.当 k0 时，四边形 F1MNF2是矩形，此时 S2.四边形 F1MNF2面积 S 的最大值为 2.
