1、1第 3 章 三角函数、解三角形 第 6 讲A 组 基础关1在 ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 所对的边， C60， a4 b， c ，13则 b( )A1 B2 C3 D. 13答案 A解析 由余弦定理得 c2 a2 b22 abcosC.又因为 c ， a4 b， C60，所以131316 b2 b224 bbcos60，解得 b1.2在 ABC 中，已知 b40， c20， C60，则此三角形的解的情况是( )A有一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理得 ，sin B 1.角 B 不存在，bsinB csinC bsinCc 403
2、220 3即满足条件的三角形不存在3在 ABC 中，若 sin2Asin 2Bcos 2C1，则 ABC 的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定答案 C解析 因为 sin2Asin 2Bcos 2C1，所以 sin2Asin 2B1cos 2Csin 2C.由正弦定理转化为 2 2 2，其中 R 是 ABC 外接圆的半径，所以 a2 b2c2，所以 cosC0，(a2R) (b2R) (c2R)角 C 为钝角， ABC 是钝角三角形4在 ABC 中， A60， b1， S ABC ，则 ( )3csinCA. B. C. D 28381 2393 2633 7答案 B
3、解析 依题意得， bcsinA c ，则 c4.由余弦定理得12 34 3a ，因此 .由正弦定理得 ，故选b2 c2 2bccosA 13asinA 13sin602393 csinC 2393B.5(2018合肥模拟)若 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若sin(C A) sinB，且 b4，则 c2 a2( )12A10 B8 C7 D4答案 B2解析 因为 A B C，所以 sin(C A) sinB sin(A C)，即12 122sinCcosA2cos CsinAsin AcosCcos AsinC，即 sinCcosA3sin AcosC.由
4、正弦定理和余弦定理，得 c 3 a ，化简得 c2 a2 8.故选 B.b2 c2 a22bc a2 b2 c22ab b22 1626在 ABC 中， C ， AB3，则 ABC 的周长为( )23A6sin 3 B6sin 3(A 3) (A 6)C2 sin 3 D2 sin 33 (A 3) 3 (A 6)答案 C解析 设 ABC 的外接圆的半径为 R，则 2R 2 ，于是3sin23 3BC2 RsinA2 sinA， AC 2RsinB2 sin ， 于是 ABC 的周长为 23 3 ( 3 A) 332 sin 3，故选 C.sinA sin( 3 A) 3 (A 3)7(201
5、8泸州模拟)在 ABC 中，角 B 为 ， BC 边上的高恰为 BC 边长的一半，则34cosA( )A. B. C. D.255 55 23 53答案 A解析 设 BC 边上的高为 h，则 BC2 h， AB h，由余弦定理得2AC2 AB2 BC22 ABBCcosB2 h24 h22 h2h 10 h2，故 AC h.所以2 (22) 10cosA .AB2 AC2 BC22ABAC 2h 2 10h 2 2h 222h10h 2558在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若 b1， c ， C ，则323 ABC 的面积为_答案 34解析 由余弦定理得 a
6、212 a 3，解得 a1，再由三角形的面积公式得 S(12)ABC absinC .12 349(2018亳州高三第一学期期末) ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 cos2Acos2 B2sin AsinB1cos2 C，则角 C_.答案 33解析 由题设条件可得 12sin 2A12sin 2B2sin AsinB112sin 2C，所以ab a2 b2 c2，所以 cosC ，所以 C .a2 b2 c22ab 12 310在 ABC 中，若 AB4， AC7， BC 边的中线 AD ，则 BC72_.答案 9解析 如图所示，延长 AD 到点 E，使 D
7、E AD，连接 BE， EC.因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 AE 与 BC 互相平分，所以四边形 ACEB 是平行四边形，所以 BE AC7.又 AB4， AE2 AD7，所以在 ABE 中，由余弦定理得，AE249 AB2 BE22 ABBEcos ABE AB2 AC22 ABACcos ABE.在 ABC 中，由余弦定理得，BC2 AB2 AC22 ABACcos( ABE)49 BC22( AB2 AC2)2(1649)， BC281， BC9.B 组 能力关1(2018陕西西安长安区二模)已知三角形 ABC 中，有关系式 tanA(sinCsin B)cos Bcos C
8、成立，则三角形 ABC 为( )A等腰三角形B A60的三角形C等腰三角形或 A60的三角形D等腰直角三角形答案 C解析 tan A(sinCsin B)cos Bcos C， (sinCsin B)cos Bcos C，sinAcosAsin A(sinCsin B)cos A(cosBcos C)，整理得 cosAcosBsin AsinBcos AcosCsin AsinC，4cos( A B)cos( A C)， A B A C 或 A B C A.当 A B A C 时，则 B C，三角形为等腰三角形；当 A B C A 时，则 B C2 A，可得 A60.综上 ABC 为等腰三角形
9、或 A60的三角形故选 C.2(2018海淀模拟) ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， asinAsinB bcos2A2 a，则角 A 的取值范围是_答案 (0， 6解析 由已知及正弦定理得 sin2AsinBsin Bcos2A2sin A，即 sinB(sin2Acos 2A)2sin A，sin B2sin A， b2 a，由余弦定理得 cosA b2 c2 a22bc 4a2 c2 a24ac ，当且仅当 c a 时取等号，3a2 c24ac 23ac4ac 32 3 A 为三角形的内角，且 ycos x 在(0，)上是减函数，0 A ，则角 A 的取
10、值 6范围是 .(0， 63(2018湖北八校第二次联考)如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AD2， CD4， ABC 为正三角形，则 BCD 面积的最大值为_答案 44 3解析 设 ADC ， ACD ，由余弦定理可知， AC22016cos ，cos ，AC2 128AC又由正弦定理，得 sin ，2sin ACsin 2sinAC S BCD BCCDsin12 ( 3)2 BC(12sin 32cos )52 BC(122sinAC 32AC2 128AC )4sin 4( 3) 3所以最大值为 44 .34如图，在 ABC 中， B ， BC2，点 D 在边 AB 上， AD D
11、C， DE 3AC， E 为垂足(1)若 BCD 的面积为 ，求 AB 的长；33(2)若 DE ，求角 A 的大小62解 (1) BCD 的面积为 ， B ， BC2，33 3 2BDsin ， BD .12 3 33 23在 BCD 中，由余弦定理可得 CD BC2 BD2 2BCBDcosB .4 49 222312 273 AB AD BD CD BD .273 23 27 23(2) DE ， CD AD .62 DEsinA 62sinA在 BCD 中，由正弦定理可得 .BCsin BDC CDsinB BDC2 A， ，2sin2A 62sinAsin 3cos A . A .22 465在锐角 ABC 中， .b2 a2 c2ac cos A CsinAcosA(1)求角 A；(2)若 a ，求 bc 的取值范围2解 (1)由 a2 c2 b22 accosB ， 2accosBac cos BsinAcosAsin2 A1 且 0A A . 2 4(2)Error!45C90，又 2， b2sin B， c2sin C，bsinB csinC asinAbc2sin(135 C)2sinC2sin(2 C45) .2又452 C45135 sin(2C45)1，22 bc(2 ，2 2 2
