1、1第 7 章 立体几何 第 6 讲A 组 基础关1已知点 O， A， B， C 为空间不共面的四点，且向量 a ，向量OA OB OC b ，则与 a， b 不能构成空间基底的向量是( )OA OB OC A. BOA OB C D 或OC OA OB 答案 C解析 根据题意得 (a b)，所以 ， a， b 共面故选 C.OC 12 OC 2(2018黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)设 ABCD A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，则有( )A. a2 B a2AB C1A AB A1C1 2C. a2 D a2BC A1D AB C1A1 答案 C解析 建系如图则 ( a,0,0)( a，
2、 a， a) a2，AB C1A ( a,0,0)(a， a,0) a2，AB A1C1 (0， a,0)(0， a， a) a2，BC A1D ( a,0,0)( a， a,0) a2，故只有 C 正确AB C1A1 3已知 a(1,0,1)， b( x,1,2)，且 ab3，则向量 a 与 b 的夹角为( )A. B56 23C D 3 62答案 D解析 因为 ab(1,0,1)( x,1,2) x23，所以 x1，所以| a| ，| b| ，2 6所以 cos a， b .ab|a|b| 326 32又 0 a， b，所以 a， b . 64对于空间一点 O 和不共线的三点 A， B，
3、C，有 6 2 3 ，则( )OP OA OB OC A O， A， B， C 四点共面 B P， A， B， C 四点共面C O， P， B， C 四点共面 D O， P， A， B， C 五点共面答案 B解析 解法一：因为 6 2 3 ，OP OA OB OC 所以 ，OP 16OA 13OB 12OC 且 1，所以 A， B， C， P 四点共面16 13 12解法二：因为 6 2 3 ，OP OA OB OC 所以 0( )2( )3( )，OA OP OB OP OC OP 所以 2 3 0，PA PB PC 所以 ，PC 13PA 23PB 所以 ， ， 共面，又三个向量有公共点
4、P.PC PA PB 所以 P， A， B， C 四点共面5在正方体 ABCD A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：( ) ；( ) ；( )2 ；( ) .A1D1 A1A AB BC BB1 D1C1 AD AB DD1 B1D1 A1A DD1 其中能够化简为向量 的是( )BD1 A BC D答案 A解析 ( ) ；A1D1 A1A AB AD1 AB BD1 ( ) ；BC BB1 D1C1 BC1 D1C1 BD1 ( )2 2 ；AD AB DD1 BD DD1 BD1 ( ) .B1D1 A1A DD1 B1D DD1 B1D1 BD1 综上，符合题意故选 A.36(201
5、8舟山模拟)平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，向量 ， ， 两两的夹角均为AB AD AA1 60，且| |1，| |2，| |3，则| |等于( )AB AD AA1 AC1 A5 B6C4 D8答案 A解析 设 a， b， c，则AB AD AA1 a b c，| |2 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca25，因此| |5.故选 A.AC1 AC1 AC1 7在空间直角坐标系中，已知 ABC 的顶点坐标分别为 A(1，1,2)， B(5，6,2)，C(1,3，1)，则边 AC 上的高 BD( )A5 B 41C4 D2 5答案 A解析 设 ， (0,4，3)，则 (0,4 ，
6、3 )， (4，5,0)，AD AC AC AD AB (4,4 5，3 )由 0，得 ，所以 ，所以BD AC BD 45 BD ( 4， 95， 125)| |5.故选 A.BD 8已知 a(2,3,1)， b(4,2， x)，且 a b，则| b|_.答案 2 6解析 因为 a b，所以 ab(2,3,1)(4,2， x)86 x0，所以 x2.所以| b| 2 . 4 2 22 22 69(2018郑州模拟)如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N 分别为 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 2 ，若 x y z ，则MG GN OG O
7、A OB OC x y z_.答案 56解析 设 a， b， c.OA OB OC 4则 ( )MN ON OM 12OB OC 12OA b c a，12 12 12 OG OM MG 12OA 23MN a a b c，12 23(12b 12c 12a) 16 13 13又 x y z ，OG OA OB OC 所以 x ， y ， z ，16 13 13x y z .16 13 13 5610如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，若动点 P 在线段 BD1上运动，则 的取值范围是_DC AP 答案 0,1解析 由题意，设 ，其中 0,1， ( )BP BD1 DC
8、AP AB AB BP ( ) 2 2 ( )(1 ) 21 ，因此AB AB BD1 AB AB BD1 AB AB AD1 AB AB 的取值范围是0,1DC AP B 组 能力关1若 a， b， c是空间的一个基底，且向量 p xa yb zc，则( x， y， z)叫向量 p 在基底 a， b， c下的坐标，已知 a， b， c是空间的一个基底， a b， a b， c是空间的另一个基底，一向量 p 在基底 a， b， c下的坐标为(4,2,3)，则向量 p 在基底a b， a b， c下的坐标是( )A(4,0,3) B(3,1,3)C(1,2,3) D(2,1,3)答案 B解析 设
9、向量 p 在基底 a b， a b， c下的坐标是( x， y， z)，则4a2 b3 c x(a b) y(a b) zc( x y)a( x y)b zc，5因为 a， b， c 不共面，所以Error!解得 x3， y1， z3，所以向量 p 在基底 a b， a b， c下的坐标为(3,1,3)2如图所示，在平行四边形 ABCD 中， AB AC CD1， ACD90，把 ADC 沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60角，则 BD 的长为_答案 2 或 2解析 AB 与 CD 成 60角， ， 60或 120.BA CD 又 AB AC CD1， AC CD， AC AB，
10、| | BD BD 2 BA AC CD 2 BA 2 AC 2 CD 2 2BA AC 2AC CD 2BA CD 1 1 1 0 0 211cos BA ， CD ，3 2cos BA ， CD | |2 或 .BD 2 BD 的长为 2 或 .23如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段PQ 上， E， F 分别为 AB， BC 的中点设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最大值为_6答案 25解析 以 A 为坐标原点，射线 AB， AD， AQ 分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系设
11、正方形 ABCD 和 ADPQ 的边长为 2，则 E(1,0,0)， F(2,1,0)， M(0， y,2)(0 y2)所以 (2,1,0)， (1， y,2)AF EM 所以 2 y，| | ，AF EM AF 5| | .EM 5 y2所以 cos .|AF EM |AF |EM | | 2 y|55 y2 2 y55 y2令 2 y t，则 y2 t，且 t0,2所以 cos .t55 2 t 2 t59 4t t2当 t0 时，cos 0.当 t0 时，cos 159t2 4t 1 ，159(1t 29)2 59由 t(0,2，得 ，1t 12， )所以 .9(1t 29)2 59 9
12、(12 29)2 59 52所以 0cos ，即 cos 的最大值为 .25 2574如图所示，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在 B1B 和 D1D 上，且BE BB1， DF DD1.13 23(1)求证： A， E， C1， F 四点共面；(2)若 x y z ，求 x y z 的值EF AB AD AA1 解 (1)证明：因为 AC1 AB AD AA1 AB AD 13AA1 23AA1 (AB 13AA1 ) (AD 23AA1 )( )( )AB BE AD DF ，AE AF 所以 A， E， C1， F 四点共面(2)因为 EF AF AE ( )AD DF AB BE AD 23DD1 AB 13BB1 ，AB AD 13AA1 所以 x1， y1， z ，13所以 x y z .138
