1、 1 -5 从力做的功到向量的数量积课后篇巩固探究A 组 基础巩固1.若向量 a,b 满足 |a|=3,ab=-5,则 b 在 a 方向上的射影等于( )A.15 B.- C.- D.-15解析 b 在 a 方向上的射影为 |b|cos = =- .答案 C2.已知 |m|=2,|n|=1,且(m +kn)(m -3n),mn,则 k 等于( )A. B. C.- D.-解析 由 mn,得 mn=0,由(m +kn)(m-3n),得(m +kn)(m-3n)=0,即|m| 2-3k|n|2=0, 3k= =4,k= .答案 A3.若向量 a,b 的夹角为 ,且 |a|=2,|b|=1,则 a
2、 与 a+2b 的夹角为( )A. B.C. D.答案 A4.若向量 a 与 b 不共线,ab0,且 c=a- b,则向量 a 与 c 的夹角为( )A.0 B. C. D.解析 c=a- b, ac=aa- ab=0, a 与 c 的夹角为 .答案 D5.如图,已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,则( )( )等于( )- 2 -A. B.-C. D.-解析 点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,| |=| |=| |= , AOB= BOC= AOC= , ( )( )= +3cos =- .答案 D6.在 ABC 中, AB=6,O 为 ABC 的外心,
3、则 等于( )A. B.6C.12 D.18解析 如图,过点 O 作 OD AB 于点 D,易知 AD= AB=3,则 =( )=36+0=18,故选 D.答案 D7.已知 |a|2=1,|b|2=2,(a-b)a=0,则 a 与 b 的夹角为 . 解析 设 a 与 b 的夹角为 ,由已知得 a2=ab,又 |a|=1,|b|= , 1 cos = 1. cos = .又 0,180,= 45.答案 458.在 ABC 中,已知 | |=| |=4,且 =8,则 ABC 的形状为 . 解析 由 =8,得 16cos A=8,即 cos A= , A=60,又 AB=AC,所以 ABC 是等边三
4、角形 .答案 等边三角形- 3 -9.若 |a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60,则 |a+3b|= . 解析 | a+3b|2=a2+2a3b+9b2=1+612cos 60+94=43,| a+3b|= .答案10.已知 |a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求值:(1)ab;(2)(2a+b)(a-2b);(3)|2a-3b|.解 (1)| a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2, ab= (|a+b|2-|a|2-|b|2)= (21-42-52)=-10.(2)(2a+b)(a-2b)=2a2-3ab-2b2=2|a|2-3ab-2|b
5、2=242-3(-10)-252=12.(3)|2a-3b|= .11.如图,在四边形 ABCD 中, =a, =b, =c, =d,且 ab=bc=cd=da,且 ac=bd,则四边形 ABCD 是什么形状?解 a+b+c+d=0, a+b=-(c+d), (a+b)2=(c+d)2,即 a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.又 ab=cd, a2+b2=c2+d2,即 |a|2+|b|2=|c|2+|d|2. 同理可得 |a|2+|d|2=|b|2+|c|2. - ,得 |b|2=|d|2, 变形为 |a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加 式得 |a|2=|c|2,即 |b|=|
6、d|,|a|=|c|.同理可得 |a|=|b|,|c|=|d|,故四边形 ABCD 是菱形 . , a=-c.又 ab=bc, b(a-c)=0,即 b(2a)=0. ab=0, .故四边形 ABCD 为正方形 .B 组 能力提升1.若 =0,则 ABC 为( )- 4 -A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形解析 =0, =0, ( )=0, =0, , A=90, ABC 为直角三角形 .答案 A2.在 OAB 中,已知 OA=4,OB=2,点 P 是 AB 的垂直平分线 l 上的任意一点,则 =( )A.6 B.-6 C.12 D.-12解析 如图,设 AB 的
7、中点为 M,则 =( ) )()= )=-6.答案 B3.下列四个命题: 若 a-b=0,则 a=b; 若 ab=0,则 a=0 或 b=0; 若 R 且 a=0,则= 0 或 a=0; 对任意两个单位向量 e1,e2,都有 e1e21 .其中正确的命题是( )A. B. C. D.解析 是正确的;因为 ab=|a|b|cos = 0|a|=0 或 |b|=0 或 cos = 0a=0 或 b=0 或= 90,故 是错误的; 是正确的; 中,e 1e2=|e1|e2|cos = cos 1,故 是正确的 .答案 C4.设 a,b 是非零向量, xR,若函数 f(x)=(xa+b)(a-xb)的
8、图像是一条直线,则必有( )A.ab B.abC.|a|=|b| D.|a| |b|解析 f(x)=-abx2+(a2-b2)x+ab.f (x)的图像是一条直线, ab=0,ab .答案 A5.在矩形 ABCD 中, AB= ,BC=4,点 E 为 BC 的中点,点 F 在 CD 上,若 ,则 的值是( )A.-5- B.5+ C.4+ D.5-解析 如图所示,过点 F 作 FG AD 交 AB 于点 G,易知 =| | |cos BAF=| |= ,故 | |= =1,- 5 -所以 =( )( )=0- ( -1)+24+0=5+ ,故选 B.答案 B6.在 Rt ABC 中, C=90
9、AC=3,CB=4,设 =b, =a, =c,则 ab+bc+ca 的值为 .解析 由勾股定理得 BA=5,又 cos B= ,cos A= ,故ab+bc+ca=0+35 +45 =-25.答案 -257.平面上三个向量 满足 | |=1,| |= ,| |=1, =0,则 的最大值是 .解析 =( )( )= -( ) =1-| | |cos = 1-2cos ,其中 为向量 的夹角,当 = 时, 取得最大值 3.答案 38. 导学号 93774076 已知向量 a,b 的夹角为 30,且 |a|= ,|b|=1,求向量p=a+b 与 q=a-b 夹角的余弦值 .解 pq=(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.| p|=|a+b|= ,|q|=|a-b|= =1,设 p 与 q 的夹角为 , cos = .9. 导学号 93774077 证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 .证明 设平行四边形为 ABCD,则 =( )2= +2 .因为 ,所以 ,=( )2= -2 . 由 + ,得 =2( )= .- 6 -故平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 .
