1、13.2 复数的四则运算学习目标 重点难点1会进行复数代数形式的四则运算2掌握复数运算的几个运算律3能知道共轭复数的概念.重点：复数代数形式的四则运算难点：运用四则运算法则解题.1复数的加法法则(1)设 z1 a bi， z2 c di(其中 a， b， c， d 均为实数)是任意两个复数，复数的加法按照以下的法则进行：( a bi)( c di)_i，即：两个复数相加就是把_、_分别相加(2)两个复数的和仍是一个_(3)加法的运算律：对任何 z1， z2， z3C，有：交换律： z1 z2_；结合律：( z1 z2) z3 z1_.2复数的减法法则(1)我们把满足( c di)( x yi)
2、 a bi 的复数 x yi(x， yR)叫做复数 a bi 减去复数 c di 的_，记作_(2)设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，复数的减法按照以下的法则进行：(a bi)( c di)_i，即：两个复数相减就是把_、_分别相减(3)两个复数的差仍是一个_预习交流 1做一做：已知复数 z11i， z223i，则z1 z2_， z1 z2_.3复数的乘法法则(1)设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，复数的乘法按照以下的法则进行：(a bi)(c di)_i.(2)两个复数的积仍然是一个_(3)乘法的运算律：对任何 z1， z2， z3C，有交换律： z1
3、z2_；结合律：( z1z2)z3_；分配律： z1(z2 z3)_.(4)(_)21.预习交流 2(2012 福建高考改编)若复数 z 满足 zi1i，则 z 等于_4共轭复数(1)我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为_(2)复数 z a bi 的共轭复数记作_，即_(3)当复数 z a bi 的虚部 b0 时， z_，也就是说，实数的共轭复数仍是_预习交流 3互为共轭的两复数，在复平面内对应的点有何关系？预习交流 4做一做：若复数 a3i 与复数3 bi 互为共轭复数，其中 aR， bR，则a bi_.25复数范围内正整数指数幂的运算律(1)对任何 z， z1， z2C，及 m
4、， nN *，有 zmzn_，( zm)n_，( z1z2)n_.(2)一般地，如果 nN *，我们有 i4n_，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i.6复数的除法法则(1)我们把满足( c di)(x yi) a bi(c di0)的复数 x yi(x， yR)叫做复数a bi 除以复数 c di 的_，记作_或_(2)一般地，我们有 _ i.a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2(3)两个复数的商仍是一个_预习交流 5做一做：i 是虚数单位，则复数 _.3 i1 i在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答
5、案：预习导引1(1)( a c) ( b d) 实部与实部 虚部与虚部(2)复数 (3) z2 z1 ( z2 z3)2(1)差 ( a bi)( c di) (2)( a c) ( b d) 实部与实部 虚部与虚部 (3)复数预习交流 1：提示：34i 12i3(1)( ac bd) ( bc ad) (2)复数 (3) z2z1 z1(z2z3) z1z2 z1z3 (4)i预习交流 2：1i 提示：由 zi1i，得z 1i.1 ii (1 i)ii2 i i2 1 i 1 14(1)共轭复数 (2) a bi (3) 它本身z z z预习交流 3：提示：设复数 z a bi(a， bR)
6、，在复平面内对应的点为 Z(a， b)；其共轭复数 a bi 在复平面内对应的点为 Z( a， b)显然两点关于 x 轴对称z预习交流 4：提示：33i5(1) zm n zmn z1nz2n (2)16(1)商 ( a bi)(c di)a bic di(2) (3)复数(a bi)(c di)(c di)(c di)预习交流 5：提示：12i一、复数的加减运算3计算(66i)(7i)(46i)思路分析：利用复数的加、减法法则进行运算1(1)(13i)(2i)(2i)_.(2)已知复数 z12 ai， z2 b3i， a， bR，当 z1 z2(1i)(12i)时，a_， b_.2已知复数(
7、56i)( b3i)(2 ai)0( a， bR)，则复数z a bi_.(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；(2)复数的加、减运算结果仍是复数；(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用二、复数的乘除运算(1)若复数 z1i，i 为虚数单位，则(1 z)z_.思路分析：复数乘法直接利用乘法运算法则，类比多项式相乘进行运算(2)设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 为_1 ai2 i思路分析：将已知复数乘以 2i，然后利用复数乘法运算法则，求出复数的实部
8、、虚部1(2012 重庆高考)若(1i)(2i) a bi，其中 a， bR，i 为虚数单位，则a b_.2已知 x， yR，且 ，求 x， y 的值x1 i y1 2i 51 3i复数乘除运算法则的理解(1)复数的乘法可以把 i 看做字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2化为1，进行最后结果的化简复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)(2)复数乘法可推广到若干个因式连乘，且满足乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律三、共轭复数(1)若 z ，则复数 _.1 2ii z思路分析：结合复数除法法则确定 z 的
9、实部与虚部，再运算(2)复数 z1i， 为 z 的共轭复数，则 z z1_.z z思路分析：先求出 ，再进行复数的四则运算z1复数 z ， 是 z 的共轭复数，则 z _.3 i(1 r(3)i)2 z z2若复数 z 满足 ii1，则 z_.z(1)若复数 z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出 ，再z进行复数的四则运算必要时，需通过复数的运算先确定出复数 z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求 .z(2)掌握共轭复数的概念注意两点：结构特点：实部相等、虚部互为相反数；几何意义：在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称4四、混合运算计算 i2 012( i)8 50.2 2 (
10、21 i)思路分析：利用 i 的幂的周期性，(1i) 22i 便可简便地求出结果已知 z ，则 1 z50 z100的值是_1 i2注意复数计算中常用的整体(1)i 的性质：i 4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i( nN *)；(2)(1i)22i， i， i；1 i1 i 1 i1 i(3)设 i，则 31， 2 10， 2 ， 1.12 32 31设复数 z 满足(1i) z2，其中 i 为虚数单位，则 z_.2若复数 z1429i， z269i，其中 i 是虚数单位，则复数( z1 z2)i 的实部为_3若复数 z 满足 zi(2 z)(i 是虚数单位)，则 z_.4
11、已知复数 z ， 为 z 的共轭复数，则 (1i)_.2ii 1 z z5设复数 z 满足 i(z1)32i(i 为虚数单位)，则 z 的实部是_6(2012 江苏高考)设 a， bR， a bi (i 为虚数单位)，则 a b 的值为11 7i1 2i_提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(66i)(7i)(46i)(674)(616)i913i.迁移与应用：1(1)35i (2)2 0 解析：(1)原式(122)(311)i35i.(2)由已知(2 ai)( b3i)(1i)(12i)得(2
12、b)( a3)i2i， .233i 解析：由已知得(3 b)(3 a)i0， 0ba 3. z a bi33i.活动与探究 2：(1)13i 解析： z1i，(1 z)z(11i)(1i)(2i)(1i)13i.5(2)2 解析： 1 ai2 i (1 ai)(2 i)(2 i)(2 i) (2 a) (2a 1)i5 i 为纯虚数，2 a5 2a 150,2.a迁移与应用：14 解析：(1i)(2i)13i a bi，所以 a1， b3， a b4.2解： 可写成x1 i y1 2i 51 3i ，x(1 i)2 y(1 2i)5 5(1 3i)105x(1i)2 y(12i)515i，(5
13、x2 y)(5 x4 y)i515i，Error! Error!活动与探究 3：(1) 2i 解析： z i(12i)2i， 2i.1 2ii z(2)i 解析： z1i， 1i，z z z1(1i)(1i)(1i)1z1i 21i1i.迁移与应用：1 解析： z 14 3 i(1 r(3)i)2 3 i1 23i 3 3 i 2 23i(r(3) i)( 2 2r(3)i)( 2 2r(3)i)( 2 2r(3)i) i，34 14 i.z34 14所以 z 2 2 .z1421i 解析： 1i， z1i.zi 1i活动与探究 4：解：原式i 5034(4i) 4 251256i257i.迁
14、移与应用：i 解析： z ，所以 z2 2 i，1 i2 2i2于是 1 z50 z1001i 25i 501i1i.当堂检测11i 解析：由(1i) z2 得 z 1i.21 i 2(1 i)(1 i)(1 i) 2 2i2220 解析：( z1 z2)i(429i)(69i)i(220i)i202i，故实部为20.631i 解析：设 z a bi(a， bR)，则 a bii(2 a bi) b(2 a)i，由复数相等，得Error! a b1，即 z1i.422i 解析： z 1i， 1i， (1i)2ii 1 2i(i 1)(i 1)(i 1) 2 2i 2 z z22i.51 解析：i( z1)32i， z1 23i. 3 2ii 2 3i 1 z13i.故 z 的实部为 1.68 解析： a bi ，11 7i1 2i a bi 53i.(11 7i)(1 2i)(1 2i)(1 2i)根据复数相等的充要条件可得 a5， b3，故 a b8.
