1、第2节 等差数列及其前n项和,考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.,知 识 梳 理,1.等差数列的概念,(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数).,同一个常数,2.等差数列的通项公式与前n项和公式,(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_.(2)前n项和公式：Sn_.,a1(n1)d,3.等差数列的性质,(1)通项公式
2、的推广：anam_(n，mN*). (2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_. (3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列. (4)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列.,(nm)d,akalaman,md,微点提醒,1.已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值. 3.等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减
3、数列；当d0时，an是常数列. 4.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数).,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.( ) (2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数. (4)若公差d0，则前n项和不是二次函数. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(必修5P46A2改编)设数列an是等差数列，
4、其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于( )A.31 B.32 C.33 D.34,答案 B,3.(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.,解析 由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450， a590，a2a82a5180. 答案 180,4.(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3S2S4，a12，则a5( )A.12 B.10 C.10 D.12,又a12，d3，a5a14d24(3)10. 答案 B,5.(2019上海黄浦区模拟)已知等差数列an中，a21，前5项和S515，则数列an的公差为( ),解析
5、 设等差数列an的首项为a1，公差为d，,答案 D,6.(2019苏北四市联考)在等差数列an中，已知a3a80，且S90，则S1，S2，S9中最小的是_.,解析 在等差数列an中， a3a80，S90，,a50， S1，S2，S9中最小的是S5. 答案 S5,考点一 等差数列基本量的运算 【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为( )A.1 B.2 C.4 D.8(2)(2019潍坊检测)设等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，若am30，则m( )A.9 B.10 C.11 D.15,解析 (1)法
6、一 设等差数列an的公差为d，,又a4a524，所以a4a22d24168，则d4.,(2)设等差数列an的公差为d，依题意得,ama1(m1)d7m4030，m10. 答案 (1)C (2)B,规律方法 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. 2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.,【训练1】 (1)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)，的第四项等于( )A.3 B.4 C.log318 D
7、.log324(2)(一题多解)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_.,解析 (1)log3(2x)，log3(3x)，log3(4x2)成等差数列， log3(2x)log3(4x2)2log3(3x)， log32x(4x2)log3(3x)2，则2x(4x2)9x2， 解之得x4，x0(舍去). 等差数列的前三项为log38，log312，log318，,(2)法一 设数列an的首项为a1，公差为d，,所以S66a115d30. 法二 由an为等差数列，故可设前n项和SnAn2Bn，,即Snn2n，则S636630. 答案 (1)A (2)30,考点二 等差数列的判
8、定与证明 典例迁移,(1)证明 当n2时，由an2SnSn10，,【迁移探究1】 本例条件不变，判断数列an是否为等差数列，并说明理由.,解 因为anSnSn1(n2)，an2SnSn10，,所以当n2时，an1an的值不是一个与n无关的常数，故数列an不是一个等差数列.,规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数. (2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论： (1)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列. (2)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数
9、)an是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.,【训练2】 (2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.,解 (1)设an的公比为q，由题设可得,故an的通项公式为an(2)n.,(2)由(1)可得,故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.,考点三 等差数列的性质及应用 多维探究 角度1 等差数列项的性质 【例31】 (2019临沂一模)在等差数列an中，a13a8a15120，则a2a14的值为( )A.6 B.12 C.24 D.48,解析 在等差数列an中，a13a8a15120， 由等差
10、数列的性质，a13a8a155a8120， a824，a2a142a848. 答案 D,角度2 等差数列和的性质 【例32】 设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于( )A.63 B.45 C.36 D.27,解析 由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列， 即2(S6S3)S3(S9S6)， 得到S9S62S63S345， 所以a7a8a945. 答案 B,规律方法 1.项的性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq. 2.和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则 (1)S2nn(a1a2n)n(anan
11、1)； (2)S2n1(2n1)an.,(2)由a3a4a53及等差数列的性质，3a43，则a41. 又a4a122a8，得1a1228.a1216115.,答案 (1)6 057 (2)A (3)A,考点四 等差数列的前n项和及其最值 【例4】 (2019衡水中学质检)已知数列an的前n项和为Sn，a10，常数0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立.(1)求数列an的通项公式；,两式相减得2an2an1an(n2). 所以an2an1(n2)，,所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2，,规律方法 求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法： (1)函数法：利用等差数列前n项和的函数
12、表达式Snan2bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值. (2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.,由d0，解得a13，d2，,则n40，得n4，,(2)因为等差数列an的首项a120，公差d2，,又因为nN*，所以n10或n11时，Sn取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110,思维升华 1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和SnAn2Bn及通项anpnq来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.,易错防范 1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列. 2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.,
