1、1第 2 课时 矩形的判定1.如图,在矩形 ABCD 中,ABBC,点 E,F,G,H 分别是边 DA,AB,BC,CD 的中点,连接 EG,HF,则图中矩形的个数共有( C )(A)5 个 (B)8 个 (C)9 个 (D)11 个2.下列条件中,不能判定四边形 ABCD 为矩形的是( C )(A)ABCD,AB=CD,AC=BD(B)A=B=D=90(C)AB=BC,AD=CD,且C=90(D)AB=CD,AD=BC,A=903.如图,四边形 ABCD 中,AB=CD,且 ABBC,CDBC,延长边 BC 至点 E,使 CE=BD,连接 AE,如果ADB=30,则E 的度数为( A )(A
2、)15 (B)20 (C)25 (D)304.已知:线段 AB,BC,A BC=90.求作:矩形 ABCD.以下是甲,乙两同学的作业:甲:(1)以点 C 为圆心,AB 长为半径画弧;(2)以点 A 为圆心,BC 长为半径画弧;(3)两弧在 BC 上方交于点 D,连接 AD,CD,四边形 ABCD 即为所求,如图.乙:(1)连接 AC,作线段 AC 的垂直平分线,交 AC 于点 M;(2)连接 BM 并延长,在延长线上取一点 D,使 MD=MB,连接 AD,CD,四边形 ABCD 即为所求,如图.对于两人的作业,下列说法正确的是( A )(A)两人都对 (B)两人都不对(C)甲对,乙不对 (D)
3、甲不对,乙对5.如图,过四边形 ABCD 的四个顶点分别作对角线 AC,BD 的平行线,若所围成的四边形 EFGH是矩形时,原四边形 ABCD 必须满足的条件是( C )2(A)AD CD (B)AD=CD(C)ACB D (D)AC=BD6.(2018 龙东)如图,在平行四边形 ABCD 中,添加一个条件 AC=BD 或ABC=90或BCD=90或CDA=90或 DAB=90或 ABBC 等(答案不唯一) ,使平行四边形 ABCD是矩形. 7.如图,在矩形 ABCD 中,BC=20 cm,点 P 和点 Q 分别从点 B 和点 D 同时出发,按逆时针方向在矩形 ABCD 的边上运动,若点 P
4、和点 Q 的速度分别为 3 cm/s 和 2 cm/s,则 4 s 时,四边形ABPQ 成为矩形. 8.如图,ABCD,A=B=90,AB=3 cm,BC=2 cm,则 AB 与 CD 之间的距离为 2 cm. 9.如图,已知在ABC 中,D 是 BC 的中点,AN 是ABC 外角CAM 的平分线,CEAN,垂足为点E.如果 AB=AC,试判断四边形 ADCE 是什么四边形?解:四边形 ADCE 为矩形.理由如下:在ABC 中,因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 ADBC,BAD=CAD,因为 NA 为ABC 外角CAM 的平分线,所以MAE=CAE,所以DAE=DAC+CAE= 1
5、80=90.因为 CEAN,所以CEA=DAE=ADC=90,所以四边形 ADCE 是矩形.10.(2018 云南模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,EFBD 于点 O,EF 分别交AD,BC 于点 E,F.且 AE=EO= DE,那么平行四边形 ABCD 是否是矩形,为什么?3解:平行四边形 ABCD 是矩形.理由如下:如图,取 DE 的中点 G,连接 OG,因为 EFBD ,所以EOD=90,在 RtDOE 中,OG= DE=EG=DG,因为 AE=EO= DE,所以 EO=OG=EG,所以OEG 是等边三角形,所以AEO=DGO=120.因为 AE=DG,OE
6、=OG,所以AOE DOG,所以 AO=DO.因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AC=2AO=2DO=BD,所以平行四边形 ABCD 是矩形.11.(2018 黄陂期中)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AO=CO,BO=DO,且ABC+ADC=180.(1)求证:四边形 ABCD 是矩形;(2)若ADFFDC=3 2,DFAC,求BDF 的度数.(1)证明:因为 AO=CO,BO=DO,所以四边形 ABCD 是平行四边形,所以ABC=ADC.因 为ABC+ADC=180,所以ABC=ADC=90,所以四边形 ABCD 是矩形.(2)解:因为ADC=90,
7、ADFFDC=32,所以FDC= ADC= 90=36.因为 DFAC,所以DCO=90-FDC=90-36=54.4因为四边形 ABCD 是矩形,所以 OC=OD,所以ODC=DCO=54,所以BDF=ODC-FDC=54-36= 18.12.(探究题)已知:RtABC 中,C=90,AC=3,BC=4,P 为 AB 上任意一点,P FAC 于F,PEBC 于 E,则 EF 的最小值是 2.4 . 13.(拓展探究题)如图,在等边ABC 中,D 是 BC 边的中点,以 AD 为边作等边ADE.取 AB 边的中点 F,连接 CF,CE,试判断四边形 AFCE 的形状.并说明理由.解:四边形 AFCE 是矩形.理由:因为ABC 是等边三角形,且 D 是 BC 的中点,所以 DA 平分BAC,即BAD=DAC=30;因为DAE 是等边三角形,所以DAE=60,所以FAE=BAD+DAE=90;因为BAC 是等边三角形,F 是 AB 的中点,所以 CFAB,所以AFC=90,所以 AECF,因为BAC 是等边三角形,且 AD,CF 分别是 BC,AB 边的中线,所以 AD=CF,又因为 AD=AE,所以 CF=AE,所以四边形 AFCE 是平行四边形,因为AFC=90,所以四边形 AFCE 是矩形.5
