1、2007 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案解析(总分：14.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.给定非线性方程 e -x -2x=0 1)判断该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出上述方程的根，精确至 3 位有效数字； 3)验证所用迭代法满足的收敛性条件，说明所用迭代格式是收敛的（分数：2.00）_2.用列主元 Gauss 消去法解线性方程组 （分数：2.00）_二、综合题(总题数：5，分数：10.00)3.给定线性方程组 （分数：2.00）_4.设 f(x)=x 4 3x 3 +x 2 -10，x 0 =1，x 1 =3，x 2 =
2、2，x 3 =0 1)求 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x 2 ，x 3 为节点的 3 次 Lagrange 插值多项式 L 3 (x)； 2)求 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x 2 ，x 3 为节点的 3 次Newton 插值多项式 N 3 (x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式（分数：2.00）_5.求方程组 （分数：2.00）_6.考虑积分 I(f)= （分数：2.00）_7.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(ba)n，x i =a+ih，f i =f(x i ，y i )，0in证明求解公式 y i+1 =y i + （分数：2.00）_2007 年工
3、程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案解析(总分：14.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：2，分数：4.00)1.给定非线性方程 e -x -2x=0 1)判断该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出上述方程的根，精确至 3 位有效数字； 3)验证所用迭代法满足的收敛性条件，说明所用迭代格式是收敛的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)记 f(x)=e -x -2x，则 f“(x)=-e -x -2=-(e -x +2)0又 f(0)=10， f(1)=e -1 -20故方程 f(x)=0 有唯一解 x * (0，1) 2)将方程改写为 x= 构造迭代格式：x
4、k+1 = ,k=0，1，2，计算得 所以 x * 0352 3)记 (x)= ，则 “(x)= )解析：2.用列主元 Gauss 消去法解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价的三角方程组为 )解析：二、综合题(总题数：5，分数：10.00)3.给定线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)系数矩阵对角线元素含零，不能直接应用 Gauss-Seidel 迭代法交换方程组的次序得到同解方程组 Gauss-Seidel 迭代格式为 2)迭代矩阵 G 的特征方程为 按最后一列展开得 有 解得 1 =0， 2 =0， 3 = 因为迭代矩阵的谱半径 p(G)= )
5、解析：4.设 f(x)=x 4 3x 3 +x 2 -10，x 0 =1，x 1 =3，x 2 =-2，x 3 =0 1)求 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x 2 ，x 3 为节点的 3 次 Lagrange 插值多项式 L 3 (x)； 2)求 f(x)以 x 0 ，x 1 ，x 2 ，x 3 为节点的 3 次Newton 插值多项式 N 3 (x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由 x 0 =1，x 1 =3，x 2 =-2，x 3 =0，则 f(x 0 )=f(1)=-11，f(x 1 )=f(3)=-1，f(x 2 )=f(-2
6、)=34，f(x 3 )=f(0)=-10所以 2)计算差商表如下： )解析：5.求方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解得 )解析：6.考虑积分 I(f)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) 2)以 x 0 =a，x 1 = ，x 2 =b 为插值节点作 f(x)的 2 次 Lagrange插值多项式，得 3)将a，b作 n 等分，记 h= x i =a+ih，0in； (x i +x i+1 )，0in-1则复化梯形公式为 复化 Simpson 公式为 )解析：7.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(ba)n，x i =a+ih，f i =f(x i ，y i )，0in证明求解公式 y i+1 =y i + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：局部截断误差为 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )- )解析：
