1、考研数学一-89 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.设 （分数：3.50）_2.设 n阶行列式 （分数：3.50）_3. （分数：3.50）_4.设 A为三阶方阵，A * 为 A的伴随阵， 计算 （分数：3.50）_5.若 AR 33 ，又 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，且|A|=5再设 B=(a 1 +2a 2 ，3a 1 +4a 3 ，5a 2 )，求|B| （分数：3.50）_计算下列行列式（分数：7.00）(1). （分数：3.50）_(2). （分数：3.50）_6. （分数：3.50）_设 （分数：9.0
2、0）(1).x 4 的系数；（分数：3.00）_(2).x 3 的系数；（分数：3.00）_(3).常数项（分数：3.00）_7.设 （分数：3.50）_计算下列行列式（分数：7.00）(1). （分数：3.50）_(2). （分数：3.50）_8. （分数：3.50）_9. （分数：3.50）_10. （分数：3.50）_11. （分数：3.50）_12. （分数：3.50）_13. （分数：3.50）_14. （分数：3.50）_15.计算 n阶行列式 （分数：3.50）_16.计算三对角行列式 D n 之值 （分数：3.50）_17.已知向量组 与向量组 （分数：3.50）_18.设 A
3、，B 是 n阶正交矩阵，且|A|/|B|=-1，证明|A+B|=0 （分数：3.50）_19.设整数系数方程组 （分数：3.50）_20.设 （分数：3.50）_21.若 A，BR 33 ，又 a，b，c 为 A的三个相异特征根，又 A 2 +2AB+A-B=I，求|A 2 +BA| （分数：3.50）_22.设 A为实反对称阵，D 为对角元全大于零的对角阵，则|A+D|0，且还有|A+D|0 （分数：3.50）_考研数学一-89 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：25，分数：100.00)1.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 解析 根据行列
4、式或按一行(一列)展开公式，有 2.设 n阶行列式 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解如直接求|A|的每一元素的代数余子式，则计算较繁琐，可利用 A的伴随矩阵的性质求解|A|中所有元素的代数余子式，即 A * 中的所有元素 而 |A|中的所有元素的代数余子式之和，即 A * 的所有元素之和为 3. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解4.设 A为三阶方阵，A * 为 A的伴随阵， 计算 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解5.若 AR 33 ，又 A=(a 1 ，a 2 ，a 3 )，且|A|=5再设 B=(a 1 +2a 2 ，3a 1 +4a 3 ，5a 2 )，求|B
5、| （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 方法一： 考虑行列式性质则有 |B|=|(a 1 ，3a 1 +4a 3 ，5a 2 )|+|(2a 2 ，3a 1 +4a 3 ，5a 2 )| =|(a 1 ，3a 1 ，5a 2 )|+|(a 1 ，4a 3 ，5a 2 )|+0 =0+20|(a 1 ，a 3 ，a 2 )|+0=-20|A|=-100 方法二： 考虑矩阵或行列式实施列或行初等变换， |B|=5|(a 1 +2a 2 ，3a 1 +4a 3 ，a 2 )|=5|(a 1 ，3a 1 +4a 3 ，a 2 )| =5|(a 1 ，4a 3 ，a 2 )|=20|(a 1 ，
6、a 3 ，a 2 )|=-20|A|=-100 方法三： 考虑矩阵运算，则由题设 又由 计算下列行列式（分数：7.00）(1). （分数：3.50）_正确答案：()解析：解(2). （分数：3.50）_正确答案：()解析：解6. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解设 （分数：9.00）(1).x 4 的系数；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解含 x 4 的项务必为(x-a 11 )(x-a 22 )(x-a 33 )(x-a 44 )，可见 x 4 的系数为 1(2).x 3 的系数；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解含 x 3 的项为：-a 11 (x-a 22 )(
7、x-a 33 )(x-a 44 )-a 22 (x-a 11 )(x-a 33 )(x-a 44 )-a 33 (x 1 -a 11 )(x-a 22 )(x-a 44 )-a 44 (x-a 11 )(x-a 22 )(x-a 33 ) 可见 x 3 的系数为-(a 11 +a 22 +a 33 +a 44 )(3).常数项（分数：3.00）_正确答案：()解析：解常数项，即为 x=0时的 F(x)的值 7.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解将|A|中第三行的元素依次换成 5，5，5，3，3则第二行与第三行的对应元素相等，于是行列式的值等于 0按第三行展开，则有 5(A 31 +
8、A 32 +A 33 )+3(A 34 +A 35 )=0， 同理，将|A|中第三行的元素换成第四行的对应元素，按第三行展开则有 2(A 31 +A 32 +A 33 )+A 34 +A 35 =0， 解，联立方程组，得 A 31 +A 32 +A 33 =0，A 34 +A 35 =0计算下列行列式（分数：7.00）(1). （分数：3.50）_正确答案：()解析：解此行列式刚好只有 n个非零元素 a 1 n-1 ，a 2 n-2 ，a n-1 1 ，a nn ，故非零项只有一项：a 1 n-1 a 2 n-2 a n-1 1 a nn ，又 因此 (2). （分数：3.50）_正确答案：(
9、)解析：解由行列式的定义知，此行列式的非零项只有两项 a 11 a 22 a nn 和 a 12 a 23 a n-1n a n1 ，故 8. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解9. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解10. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解11. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解当 n=2时， 当 n3 时， 12. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解13. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解当 x=1时，第一、二行对应元素相同，所以 D 4 =0，可见 D 4 中含有因式(x-1)(x+1)； 当 x=2时，第三、四行对应
10、元素相同，所以 D 4 =0，可见 D 4 中含有(x-2)(x+2)因式 由于 D中关于 x的最高次数为 4，所以 D 4 =A(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) D 4 中含 x 4 的项为 1(2-x 2 )1(9-x 2 )-2(2-x 2 )2(9-x 2 )， 比较上面两式中 x 4 的系数，得 A=-3， 故 D 4 =-3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)14. （分数：3.50）_正确答案：()解析：解当 x=0，1，2，(n-2)时，由于有两列对应元素相同，左边行列式的值为 0，因此左边行列式可写成 (-1) n-1 x(x-1)(x-n+2)， 于是原方程变为
11、(-1) n-1 x(x-1)(x-n+2)=0， 所以方程的解为 x 1 =0，x 2 =1，x n-1 =n-215.计算 n阶行列式 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解第一行，第一列均只有两个非零元素，不妨按第一列展开，得 由此递推得 D n =xD n-1 +a n =xxD n-2 +a n-1 +a n =x 2 D n-2 +xa n-1 +a n 16.计算三对角行列式 D n 之值 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解按第一列展开得 即有递推关系式 D n =(+)D n-1 -D n-2 为了得到 D n 的一般表达式，采用上述方法 1求解 因为(假设 )，
12、不妨设 则有 根据数学归纳法即知 17.已知向量组 与向量组 （分数：3.50）_正确答案：()解析：解 可见 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，且 3 =3 1 +2 2 ， 于是 r( 1 ， 2 ， 3 )=2， 从而 即 a=3b 又 3 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而可由 1 ， 2 线性表示，即 1 ， 2 ， 3 线性相关， 于是 18.设 A，B 是 n阶正交矩阵，且|A|/|B|=-1，证明|A+B|=0 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证因为 A，B 为正交矩阵，所以 AA T =A T A=E，BB T =B T B=E 于是 |(A+B)A T |=|
13、AA T +BA T |=|E+BA T | =|BB T +BA T |=|B(B T +A T )|=|B(A+B) T |， 即|A+B|A|=|B|A+B|，(|A|-|B|)|A+B|=0 因为|A|/|B|=-1，所以|A|-|B|0，从而有|A+B|=0 解析 A，B 为正交矩阵，即 AA T =A T A=E，BB T =B T B=E19.设整数系数方程组 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证令 A=(a ij ) nn ，i，j=1，2，n；b=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则原方程组即为Ax=b其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 取 b分别为
14、n阶单位矩阵 E的各列： 1 =(1，0，0) T ； 2 =(0，1，0) T ； n =(0，0，1) T ，所得解依次记为 1 ， 2 ， n ，即 A j = j ，j=1，2，n， A 1 ， 2 ， n = 1 ， 2 ， n ， 也即 A 1 ， 2 ， n =E， 其中， 1 ， 2 ， n =A -1 ，按题设 A -1 与 A一样是整数矩阵，从而|A -1 |与|A|都是整数，又由 AA -1 =E，有 |AA -1 |=|A|A -1 |=1， 于是只能|A|=120.设 （分数：3.50）_正确答案：()解析：证由题设知 f(x)是关于 x的不多于三次的多项式，故它在0
15、，1上连续，在(0，1)内可导且 21.若 A，BR 33 ，又 a，b，c 为 A的三个相异特征根，又 A 2 +2AB+A-B=I，求|A 2 +BA| （分数：3.50）_正确答案：()解析：解由|A 2 +BA|=|A+B|A|，故只须计算|A+B| 由题设有 2A(A+B)-(A+B)=I-2A+A 2 ，即 (2A-I)(A+B)=(A-I) 2 ， 故 22.设 A为实反对称阵，D 为对角元全大于零的对角阵，则|A+D|0，且还有|A+D|0 （分数：3.50）_正确答案：()解析：(1)反证若|A+D|=0，则(A+D)X=0 有非零解设 X 1 是其一个非零解，进而有 故 因为 A为实反对称阵，所以 最终得 但是 D=diag(a 1 ，a 2 ，a n )，a i 0，所以 矛盾所以，|A+D|0 (2)反证令 f(x)=|xA+D|，x0，1 假设|A+D|0，因为 f(0)=|D|0，f(1)=|A+D|0，由零值定理可知，存在 x 0 (0，1)，使得 f(x 0 )=|x 0 A+D|=0但是 其中， 为对角元全大于零的对角阵，由(1)知
