1、考研数学一-概率论与数理统计(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：40.00)1.设 A，B 是两个随机事件，P(A)=0.5， P(AB)=0.8，则 （分数：4.00）2.假设随机变量 X 的密度函数 f(x)=e -x2+bx+c (xR，b，c 为常数)在 x=1 取最大值 ，则概率 （分数：4.00）3.设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，则随机变量 Y=n-X 服从的分布为 1 （分数：4.00）4.假设随机变量 X 在-1，1上服从均匀分布，a 是区间-1，1上的一个定点，Y 为点 a 到 X 的距离，当a= 1 时，
2、随机变量 X 与 Y 不相关 （分数：4.00）5.设 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X 2 +2X-4)=0，则 P(X1)= 1 （分数：4.00）6.设随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(1，1)和 N(0，1)，E(XY)=-01，根据切比雪夫不等式，P-5X+2Y7 1 （分数：4.00）7.已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 ，且 E(X)=E(Y)， ，则根据切比雪夫不等式有估计式 （分数：4.00）8.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的一组简单随机样本，统计量 （分数：4.00）9.设 X
3、1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 N(0，4)的简单随机样本， （分数：4.00）10.设 XN(0, 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，总体为取自 X 的样本，则 （分数：4.00）二、解答题(总题数：10，分数：60.00)已知 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：6.00）(1).若 E(X)=，D(X)= 2 ，求 与 （分数：3.00）_(2).如果总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )，计算 Cov(X 1 ，S 2 )（分数：3.00）_设总体 X 服从两参数的指数分布，其密度函数：
4、 （分数：6.00）(1).求 与 的矩估计量 （分数：3.00）_(2).当 =2 时，求 的最大似然估计 （分数：3.00）_设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n1)，令估计量 （分数：6.00）(1).验证 （分数：3.00）_(2).求方差 （分数：3.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：6.00）(1).Z 的密度函数；（分数：2.00）_(2).E(Z)，D(Z)；（分数：2.00）_(3).PZ1（分数：2.00）_设 X，Y 的联合概率密度函数为 （分数：6.00）(1).求常数 A；（
5、分数：2.00）_(2).证明随机变量 Y 具有如下性质：对任意的 s，t0，有 P(Yt+s|Ys)=P(Yt)；（分数：2.00）_(3).求 E(X)（分数：2.00）_已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2. X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，如果 PX=2=(1-) 2 ，E(X)=2(1-)(其中 为未知参数， （分数：6.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：2.00）_(2).求 的矩估计量 （分数：2.00）_(3).从总体 X 中抽取容量为 8 的一组样本，其样本值为 2，1，2，0，2，0，1，2求 的最大似然估计值 （分
6、数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1，记 和 （分数：6.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_(3).求 E(T)的值（分数：2.00）_11.设随机变量 X 在-a，a上服从均匀分布，a1，求： (1)E(min|x|，1)； (2)E(max|x|，1) （分数：6.00）_12.设总体 ，X 1 ，X 2 ，X 50 为取自 X 的一个样本，试求： (1) 的数学期望和方差； (2)S 2 的数学期望； (3) （分数：6.00）_13.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体的一个
7、样本，总体 X 的密度函数为 （分数：6.00）_考研数学一-概率论与数理统计(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：40.00)1.设 A，B 是两个随机事件，P(A)=0.5， P(AB)=0.8，则 （分数：4.00）解析：0.7 解析 对于任何概率不为零的事件 ，一定有 ，结合题设条件 可得， 即 A 与 B 相互独立 因为 则 故 也可以从 A 与 B 独立知 与 也独立，因此有 联立得到 2.假设随机变量 X 的密度函数 f(x)=e -x2+bx+c (xR，b，c 为常数)在 x=1 取最大值 ，则概率 （分数：4.00）解析：
8、0.9544 解析 由题设 f(x)的形式知，X 服从正态分布 N(， 2 )，即 ，且当 x= 时，f(x)取最大值 已知 x=1 时，f(x)取最大值 f(1)，所以 故 所求的概率为 3.设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，则随机变量 Y=n-X 服从的分布为 1 （分数：4.00）解析：YB(n，1-p)解析 因为 X 可以看成将“将一枚硬币抛 n 次正面向上的次数”，于是 Y 即为反面向上的次数，所以 YB(n，1-p)4.假设随机变量 X 在-1，1上服从均匀分布，a 是区间-1，1上的一个定点，Y 为点 a 到 X 的距离，当a= 1 时，随机变量 X 与 Y 不相关 （
9、分数：4.00）解析：0 解析 已知 ，依题意 Y=|X-a|，要使 X 与 Y 不相关，则有 E(XY)=E(X)E(Y)=0，即 5.设 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X 2 +2X-4)=0，则 P(X1)= 1 （分数：4.00）解析：1-e -1 解析 由 X 服从参数为 0 的泊松分布，故 E(X)=，D(X)=则 E(X 2 +2X-4)=E(X 2 )+2E(X)-4=D(X)+E 2 (X)+2E(X)-4=+ 2 +2-4= 2 +3-4=0， 得 =1 或 =-4(舍去)，所以 P(X1)=1-P(X=0)=1-e -1 6.设随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布
10、 N(1，1)和 N(0，1)，E(XY)=-01，根据切比雪夫不等式，P-5X+2Y7 1 （分数：4.00）解析：0.872 解析 由题设知，E(X)=D(X)=D(Y)=1，E(Y)=0，E(XY)=-0.1， 因此 E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=1， Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.1， D(X+2Y)=D(X)+4D(Y)+4Cov(X，Y)=4.6 由切比雪夫不等式得 7.已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 ，且 E(X)=E(Y)， ，则根据切比雪夫不等式有估计式 （分数：4.00）解析： 解析 由于 E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0，则 所以
11、 8.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的一组简单随机样本，统计量 （分数：4.00）解析： ，n， 解析 记 Y i =X 2i -X 2i-1 (i=1，2，n)，则 Y i N(0，2 2 )且相互独立，故 比较知 时，Y 2 分布，其自由度为 n 令 解得 ，故当 9.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 N(0，4)的简单随机样本， （分数：4.00）解析： ， ， ，3 解析 因为 X 1 -2X 2 N(0，20)，3X 3 -4X 4 N(0，100)，X 2 N(0，4)，所以
12、 于是 比较得 10.设 XN(0, 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 ，总体为取自 X 的样本，则 （分数：4.00）解析： 解析 将 Y 变形，得 因为 X 1 +X 2 N(0，2 2 )， ，则 且 与 相互独立，故 即 二、解答题(总题数：10，分数：60.00)已知 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：6.00）(1).若 E(X)=，D(X)= 2 ，求 与 （分数：3.00）_正确答案：()解析：因为 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，所以 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，且与
13、 X 同分布，故 当 ij 时，有 Cov(X i ，X j )=0，Cov(X i ，X i )=D(X i )= 2 ， 从而 由方差的性质得 同理 ，从而 (2).如果总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )，计算 Cov(X 1 ，S 2 )（分数：3.00）_正确答案：()解析：由于总体 XN(0， 2 )，故 E(X i )=0，D(X i )= 2 因为 所以 当 i1，时，X 1 与 X i 独立，所以 当 i=1 时， 因为 所以 设总体 X 服从两参数的指数分布，其密度函数： （分数：6.00）(1).求 与 的矩估计量 （分数：3.00）_正确答案：()解析：直接通过解矩
14、法方程可求得矩估计量 由于总体分布含有两个未知参数，因此令 其中 由此得矩法方程 故 解得 的矩估计量 ， 的矩估计量 (2).当 =2 时，求 的最大似然估计 （分数：3.00）_正确答案：()解析：当 =2 时，总体 X 的密度函数为 样本的似然函数为 则 令 解得 故 的最大似然估计量为 ，其中 设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n1)，令估计量 （分数：6.00）(1).验证 （分数：3.00）_正确答案：()解析：由于 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故 故 与 (2).求方差 （分数：3
15、.00）_正确答案：()解析：根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2 (n)，则 D(y)=2n 所以 计算可知 ，因此 比 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：6.00）(1).Z 的密度函数；（分数：2.00）_正确答案：()解析：当 z0 时，F(z)=0； 当 z0 时， 于是 由此可以看出，Z 服从参数为 (2).E(Z)，D(Z)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解法一： 由第一小题的结果(指数分布)可知，E(Z)=2 2 ，D(Z)=4 4 解法二： 由 可知，X 与 Y 相互独立，且 X 2 与 Y 2 也独立， 又 XN(0，
16、 2 )，YN(0， 2 )， 故 (3).PZ1（分数：2.00）_正确答案：()解析： 或 设 X，Y 的联合概率密度函数为 （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_正确答案：()解析：因为 (2).证明随机变量 Y 具有如下性质：对任意的 s，t0，有 P(Yt+s|Ys)=P(Yt)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：Y 的边缘密度为 故对 t0，有 ，从而 (3).求 E(X)（分数：2.00）_正确答案：()解析：因为 则 已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2. X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，如果 PX=2
17、=(1-) 2 ，E(X)=2(1-)(其中 为未知参数， （分数：6.00）(1).求 X 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：()解析：为求 X 的概率分布，仅需求得概率 p 0 =PX=0，p 1 =PX=1由于 p 0 +p 1 +p 2 =1， E(X)=2(1-)=0p 0 +1p 1 +2p 2 =p 1 +2(1-) 2 由式解得 p 1 =2(1-)，由式解得 p 0 =1-p 1 -p 2 = 2 ，故 X 的概率分布为 X 0 1 2 P 2 20(1-) (1-) 2 (2).求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：()解析：由 ，即 解得 的矩估计量 由于
18、 故 (3).从总体 X 中抽取容量为 8 的一组样本，其样本值为 2，1，2，0，2，0，1，2求 的最大似然估计值 （分数：2.00）_正确答案：()解析：已知总体 X 的概率分布 p i =PX=x i ，故样本值 x i (1i8)的似然函数为 令 ，解得 的最大似然估计值 设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1，记 和 （分数：6.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：XB(1，p)，故 X 有分布 从而 所以 即 (2).证明： （分数：2.00）_正确答案：()解析： 因为 X i 的取值是 0 或 1，故
19、所以 (3).求 E(T)的值（分数：2.00）_正确答案：()解析： 也可以直接计算 E(T)因为 ，而 11.设随机变量 X 在-a，a上服从均匀分布，a1，求： (1)E(min|x|，1)； (2)E(max|x|，1) （分数：6.00）_正确答案：()解析：由题意， (1) (2) 12.设总体 ，X 1 ，X 2 ，X 50 为取自 X 的一个样本，试求： (1) 的数学期望和方差； (2)S 2 的数学期望； (3) （分数：6.00）_正确答案：()解析： (1) (2)因为样本方差 S 2 为总体方差的无偏估计，故 (3) 13.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体的一个样本，总体 X 的密度函数为 （分数：6.00）_正确答案：()解析：似然函数为 而 因为 ，且 x i (i=1，2，n)，所以 =maxx 1 ，x 2 ，x 3 时，lnL(，)取最大值 又由 ，得 于是 ， 的最大似然估计量为
