1、考研数学一（一元函数微分学）-试卷 5 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续D.可导，且导数连续3.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（分数：2.00）A.f(0)=0B.f“(0)=0C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)-f“(0)=04.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)
2、时，恒有f(x)x 2 ，则 x=0 必是 f(x)的 ( )（分数：2.00）A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0D.可导的点，且 f“(0)05.设 f(x)=f(-x)，且在(0，+)内二阶可导，又 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（分数：2.00）A.单调增，凸B.单调减，凸C.单调增，凹D.单调减，凹6.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.47.设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g“(0)=0，设 （分数：2.00）A
3、.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导函数不连续D.可导且导函数连续8.当 x0 时，曲线 （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 y=ln(1+3 -x )，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cosxy=0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=cosx 2 sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：3
4、2.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.求摆线 （分数：2.00）_15.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (m) (x 0 )=0(m=1，2，n-1)，f (n) (x 0 )0(n2)，证明： (1)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时 f(x)在 x 0 取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时 f(x)在 x 0 取得极小值（分数：2.00）_16.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (m) (x 0 )=0(m=2，n-1)，f (n) (x 0 )0(n2)证明：当 n为奇数时，(x
5、0 ，f(x 0 )为拐点（分数：2.00）_17.求函数 f(x)=nx(1-x) n 在0，1上的最大值 M(n)及 （分数：2.00）_18.求曲线 y=e x 上的最大曲率及其曲率圆方程（分数：2.00）_19.设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始作直线运动至点 B 停止，两点 A，B 间距离为 1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于 4（分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，ax 1 x 2 x n b，试证：在a，b内存在 ，使得 （分数：2.00）_21.设 f(x)在闭区间-1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f
6、“(0)=0证明：在-1，1内存在 ，使得 f“()=3（分数：2.00）_设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0证明：（分数：4.00）(1).在(a，b)内，g(x)0；（分数：2.00）_(2).在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_22.在区间0，a上f“(x)M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值求证：f“(0)+f“(a)Ma（分数：2.00）_23.设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明：E(1，2)，使 f(2)-zf(1)=f“()-f()（分数：2.00）_24.f(x)在a，b上连续，在(a，b
7、)内可导，且 f“(x)0证明：E，(a，b)，使得 （分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：E(a，b)，使 f“()g()+2f“()g“()+f()g“()=0（分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0，则 E(a，b)，使 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）-试卷 5 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数
8、：2.00）_解析：2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续 D.可导，且导数连续解析：解析：3.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（分数：2.00）A.f(0)=0 B.f“(0)=0C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)-f“(0)=0解析：解析：由于4.设函数 f(x)在区间(-，)内有定义，若当 x(-，)时，恒有f(x)x 2 ，则 x=0 必是 f(x)的 ( )（分数：2.00）A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0 D.可导的点，且
9、f“(0)0解析：解析：5.设 f(x)=f(-x)，且在(0，+)内二阶可导，又 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（分数：2.00）A.单调增，凸B.单调减，凸 C.单调增，凹D.单调减，凹解析：解析：当 x0 时，由 f“(x)0 可知 f(x)在(0，+)内单调增；由 f“(x)0 可知 f(x)在(0，+)内为凸曲线由 f(x)=f(-x)可知 f(x)关于 y 轴对称，则 f(x)在(-，0)内单调减，为凸曲线，选(B)6.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.
10、4解析：解析：用洛必达法则， ，所以 k=3，选(C)其中(1)F“(x)= (2)洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为7.设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g“(0)=0，设 （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导函数不连续D.可导且导函数连续 解析：解析： =g“(0)=0-f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续8.当 x0 时，曲线 （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也
11、无铅直渐近线解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 y=ln(1+3 -x )，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：复合函数求导 y“=-ln(1+3 -x )“= 10.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cosxy=0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两边同时对 x 求导，可得11.设 y=cosx 2 sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
12、解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 故摆线的曲率半径 )解析：15.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (m) (x 0 )=0(m=1，2，n-1)，f (n) (x 0 )0(n2)，证明： (1)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时 f(x)在 x 0 取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时 f(x)在 x 0 取得极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 为偶数，令 n=2k，构造极限 )
13、解析：16.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (m) (x 0 )=0(m=2，n-1)，f (n) (x 0 )0(n2)证明：当 n为奇数时，(x 0 ，f(x 0 )为拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限 )解析：17.求函数 f(x)=nx(1-x) n 在0，1上的最大值 M(n)及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：容易求得 f“(x)=n1-(n+1)x(1-x) n-1 ，f“(x)=n 2 (n+1)x-2-(1-x) n-2 令 f“(x)=0，得驻点 x 0 = 为 f(x)的极大值点，且极大值 f(x
14、 0 )= ，将它与边界点函数值f(0)=0，f(1)=0，比较得 f(x)在0，1上的最大值 M(n)=f(x 0 )= ，且有 )解析：18.求曲线 y=e x 上的最大曲率及其曲率圆方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y“=e x ，y“=e x 得曲线 y=e x 上任意点 P(x，y)处的曲率 其中， 则曲线 y=e x 上具有最大曲率 的点(x 0 ，y(x 0 )处的曲率圆的曲率半径 R= 曲率中心(，)为 =x 0 - 它的曲率圆方程为 )解析：19.设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始作直线运动至点 B 停止，两点 A，B 间距离为 1，证明：该质点在(0，
15、1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设质点运动的距离 y 关于时间 t 的函数为 y=y(t)，0t1，则有 y(0)=0，y(1)=1，y“(0)=0，y“(1)=0 将 在 t=0 与 t=1 处的一阶泰勒展开分别为 若 ，则由上述第一式得 y“( 1 )4；若 )解析：20.设 f(x)在a，b上连续，ax 1 x 2 x n b，试证：在a，b内存在 ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为 f(x)在a，b上的最小值和最大值 mf(x 1 )M， mf(x
16、2 )M， mf(x n )M， (n) +(n) mmf(x 1 )+f(x 2 )+f(x n )nM， 故 由介值定理可得 a，b，使得 )解析：21.设 f(x)在闭区间-1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：在-1，1内存在 ，使得 f“()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )+ 取 x 0 =0，x=1 代入， 因为f“(x)在-1，1上连续，则存在 m 和 M，使得 )解析：设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0
17、证明：（分数：4.00）(1).在(a，b)内，g(x)0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 c(a，b)，g(c)=0 由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在a，c，c，b上两次运用罗尔定理可得 g“( 1 )=g“( 2 )=0，其中 1 (a，c)， 2 (c，b)，对 g“(x)在 1 ， 2 上运用罗尔定理，可得 g“( 3 )=0 因已知 g“(x)0，故 g(c)0)解析：(2).在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=f(x)g“(x)-f“(x)g(x)在a，b上运用罗尔定理，F(a)=0，F(b)=0 故)
18、解析：22.在区间0，a上f“(x)M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值求证：f“(0)+f“(a)Ma（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f“(c)=0f“(x)在0，c与c，a之间分别使用拉格朗日中值定理， f“(c)-f“(0)=cf“( 1 )， 1 (0，c)， f“(a)-f“(c)=(a-c)f“( 2 )， 2 (c，a)， 所以 f“(0)+f“(a)=cf“( 1 )+(a-c)f“( 2 )cM+(a-c)M=aM)解析：23.设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明：E(1，2)，使 f(2)-zf(1)=f“()-f(
19、)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把所证等式 改为 x，得 xf“(x)-f(x)=f(2)-2f(1)， )解析：24.f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0证明：E，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 =1，得 f(0)=0，f“(0)=1 因 f(x)二阶可导，故 f(x)在 x=0 处的一阶泰勒公式成立， f(x)=f(0)+f“(0)x+ )解析：26.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：E(a，b)，使 f“()g()+2f“()g“()+f()g“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 点展开泰勒公式 F(x)=F(a)+F“(a)(x-a)+ F“()(x-a) 2 (ax) 令 x=b，代入式，则 F(b)=F(a)+F“(a)(b-a)+ )解析：27.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0，则 E(a，b)，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 x=a，x=b 处展开泰勒公式 )解析：
