1、考研数学一（向量代数与空问解析几何）-试卷 1及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.直线 （分数：2.00）A.4x 2 +4y 2 +z 2 =4B.4x 2 +4y 2 -z 2 =4C.z 2 +y 2 +4z 2 =4D.x 2 +y 2 -4z 2 =43.已知曲面 z=x 2 +y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则点 P的坐标是 ( )（分数：2.00）A.(1，-1，2)B.(-1，1，2)C.(1，1，2)D
2、.(-1，-1，2)4.设平面方程为 Ax+CxZ+D=0，其中 A，C，D 均不为零，则平面 ( )（分数：2.00）A.平行于 x轴B.平行于 y轴C.经过 x轴D.经过 y轴5.已知向量 （分数：2.00）A.(10，-2，1)B.(-10，-2，1)C.(10，2，1)D.(10，-2，-1)6.已知等边三角形ABC 的边长为 1，且 ，则 a.b+b.c+c.a= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.过点 P(2，0，3)且与直线 （分数：2.00）A.(x-2)-2(y-0)+4(z-3)=0B.3(x-2)+5(y-0)-2(z-3)=0C.-16(x-2)+14(y-
3、0)+11(z-3)=0D.-16(x+2)+14(y-0)+11(z-3)=08.已知 ，且 a与 b不平行，则以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OACB的对角线 OC上的一个单位向量为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知a=1，b= ，则a+b= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.曲线 x 2 +y 2 +z 2 =a与 x 2 +y 2 =2az(a0)的交线是 ( )（分数：2.00）A.抛物线B.双曲线C.圆D.椭圆11.设直线 L为 （分数：2.00）A.L平行于 B.L在 上C.L垂直于 D.L与 相交但不垂直二、填空题(总题数：8，分数：16.0
4、0)12.设 A=2a+b，B=ka+b，其中a=1，b=2，且 ab若 AB，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.点(-1，2，0)在平面 x+2y-z+1=0上的投影为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-13=0的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知a2，b=2， （分数：2.00）填空项 1:_16.过三点 A(1，1，-1)，B(-2，-2，2)和 C(1，-1，2)的平面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.三平面 x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=3 的交点是 1（分数：2.0
5、0）填空项 1:_18.xOz坐标面上的抛物线 z 2 =-x-2绕 x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 a=(3，-5，8)，b=(-1，1，z)，a+b=a-b，则 z= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.求直线 （分数：2.00）_22.求直线 （分数：2.00）_设曲线 L是抛物柱面 x=2y 2 与平面 x+z=1的交线（分数：4.00）(1).求曲线 L在各个坐标平面上的投影曲线；（分数：2.00）_(2).求曲线 L分别绕各个坐标轴旋转一
6、周的曲面方程（分数：2.00）_设有曲面 S：2x 2 +4y 2 +z 2 =4与平面 ：2x+2y+z+5=0，试求（分数：4.00）(1).曲面 S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面 平行；（分数：2.00）_(2).曲面 S与平面 的最短距离（分数：2.00）_23.设 n是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= （分数：2.00）_考研数学一（向量代数与空问解析几何）-试卷 1答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
7、个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.直线 （分数：2.00）A.4x 2 +4y 2 +z 2 =4B.4x 2 +4y 2 -z 2 =4 C.z 2 +y 2 +4z 2 =4D.x 2 +y 2 -4z 2 =4解析：解析：设旋转曲面上点 P(x，y，z)是由直线 L上的点(x 1 ，y 1 ，z 1 )绕 z轴旋转得到，则有 因为 x 1 =1，z 1 =2y 1 ，所以有 x 2 +y 2 =1+ 3.已知曲面 z=x 2 +y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则点 P的坐标是 ( )（分数：2.00）A.(1，-1，2)B.(-1，1，2)C
8、.(1，1，2)D.(-1，-1，2) 解析：解析：切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，可知切平面的法向量为(2，2，1) 又由 z=x 2 +y 2 可得曲线切平面的法向量(z“ x ，z“ y ，-1)=(2x，2y，-1) 令(2x，2y，-1)(2，2，1)，解得 x=-1，y=-1，代入 z=x 2 +y 2 ，解得 z=2所以，P 点坐标为(-1，-1，2)4.设平面方程为 Ax+CxZ+D=0，其中 A，C，D 均不为零，则平面 ( )（分数：2.00）A.平行于 x轴B.平行于 y轴 C.经过 x轴D.经过 y轴解析：解析：平面 Ax+Cz+D=0的法向量 n=(A，0，
9、C)，易见 nj而 j是 xOz平面的法向量，故该平面与xOz平面垂直又因为 D0，它不过原点，从而与 y轴平行(但不经过 y轴)应选(B)5.已知向量 （分数：2.00）A.(10，-2，1)B.(-10，-2，1)C.(10，2，1) D.(10，-2，-1)解析：解析：设 B(x，y，z)，则 cos=6.已知等边三角形ABC 的边长为 1，且 ，则 a.b+b.c+c.a= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：a.b=abcos 而a=1，b=1， (如图 14-1 所示)，从而 a.b=-；类似地可得， 所以应选(D)7.过点 P(2，0，3)且与直线 （分数：2
10、.00）A.(x-2)-2(y-0)+4(z-3)=0B.3(x-2)+5(y-0)-2(z-3)=0C.-16(x-2)+14(y-0)+11(z-3)=0 D.-16(x+2)+14(y-0)+11(z-3)=0解析：解析：所求平面 的法向量 n可取为已知直线的方向向量 s=(1，-2，4)(3，5，-2)=(-16，14，11)故 的方程为-16(x-2)+14(y-0)+11(z-3)=08.已知 ，且 a与 b不平行，则以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OACB的对角线 OC上的一个单位向量为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由向量加法运算的几何意义，以 a
11、、b 为邻边的平行四边形对应的对角线向量为 a+b，故它的单位向量为9.已知a=1，b= ，则a+b= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：a+b 2 =(a+b).(a+b)=a 2 +2a.b+b=1+2abcos 10.曲线 x 2 +y 2 +z 2 =a与 x 2 +y 2 =2az(a0)的交线是 ( )（分数：2.00）A.抛物线B.双曲线C.圆 D.椭圆解析：解析：x 4 +y 2 +z 2 =a 2 表示球心在原点、半径为 a的球面，而 x 2 +y 2 =2ax表示顶点在原点、开口向上的旋转抛物面，即可知它们的交线是圆应选(C)11.设直线 L为 （分数
12、：2.00）A.L平行于 B.L在 上C.L垂直于 D.L与 相交但不垂直解析：解析：直线 L的方向向量为 s=二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.设 A=2a+b，B=ka+b，其中a=1，b=2，且 ab若 AB，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：由于 AB，故有(2a+b).(ka+b)=0，又因 ab，所以即可得 2ka 2 +b 2 =0，2k+4=0，k=-213.点(-1，2，0)在平面 x+2y-z+1=0上的投影为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：过点(-1，2，0)且与
13、平面 x+2y-z+1=0垂直的直线为 L： 它和平面的交点应满足方程组14.点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-13=0的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-13=0的距离15.已知a2，b=2， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：u 2 =u.u=(2a-3b).(2a-3b)=4a 2 -6b.a-6a.b+9b 2 =4a 2 -12a.b+9b 2 =44-12abcos +94=16-1222 +36=28， 所以u= 16.过三点 A(1，1，-1)，B
14、(-2，-2，2)和 C(1，-1，2)的平面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x-3y-2z=0）解析：解析：所求平面法向量可取为 n=17.三平面 x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=3 的交点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，-1，3)）解析：解析：只需求解三元一次方程组18.xOz坐标面上的抛物线 z 2 =-x-2绕 x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +z 2 =x-2）解析：解析：xOz 面上曲线 f(x，z)=0 绕 x轴旋转而得的
15、旋转曲面方程为19.设 a=(3，-5，8)，b=(-1，1，z)，a+b=a-b，则 z= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：a+b=(2，-4，8+z)，ab=(4，-6，8-z)a+b= ，a-b= 三、解答题(总题数：6，分数：14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.求直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出一平面 1 ，使它过直线 L垂直于平面 设直线 L的方向向量为 s，平面 1 的法向量为 n 1 ，平面丌的法向量为 n，则 n 1 s，n 1 n，而 下面再求出 L上的某点坐标为此，在方
16、程 中令 x=0，得 y=4，z=-1，则平面 1 过点(0，4，-1)于是其方程 1 为x-0-2(y-4)-(z+1)=0，即 x-2y-z+7=0因直线 L在平面 上的投影既在平面 上，又在平面 1 上，因而其方程为 )解析：22.求直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )为直线 L上一点，当直线 L绕 L 1 旋转时，点 M 0 旋转到点 M(x，y，z)，此时有 )解析：设曲线 L是抛物柱面 x=2y 2 与平面 x+z=1的交线（分数：4.00）(1).求曲线 L在各个坐标平面上的投影曲线；（分数：2.00）_正确答案：(正确答
17、案：因抛物柱面 x=2y 2 的母线平行于 z轴，故 x=2y 2 就是该交线 L关于 xOy坐标平面的投影柱面，因此，交线 L在 xOy平面上的投影是一条抛物线 平面 x+z=1可以看成母线平行于y轴的柱面，故 x+z=1就是该交线 L关于 xOz坐标平面的投影柱面，因此，交线 L在 xOz平面上的投影是一条射线 从方程 x=2y 2 与 x+z=1中消去变量 x，得 2y 2 +z=1，它就是该交线 L关于 yOz平面的投影柱面，因此，交线 L在 yOz平面上的投影是一条抛物线 )解析：(2).求曲线 L分别绕各个坐标轴旋转一周的曲面方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因曲线 ，
18、则曲线 L绕 x轴旋转一周的旋转曲面方程为 y 2 +z 2 = x+(1-x) 2 因曲线 L的以 y为参数的参数方程为 (-y+)，则曲线 L绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 x 2 +z 2 =4y 2 +(1-2y 2 ) 2 因曲线 L的以 z为参数的参数方程为 ，(z1)，则曲线 L绕 z轴旋转一周的旋转曲面方程为 x 2 +y 2 =(1-z) 2 + )解析：设有曲面 S：2x 2 +4y 2 +z 2 =4与平面 ：2x+2y+z+5=0，试求（分数：4.00）(1).曲面 S上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面 平行；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在
19、曲面 S上任取一点 P(，)，记 F(x，y，z)=2x 2 +4y 2 +z 2 -4，则 于是，曲面 S在点 P处的切平面为 4(x-)+8(y-)+2(z-)=0，即 2x+4y+z-4=0 因该切平面与平面 平行，即其法向量 n 1 =2i+4j+k 与 n=2i+2j+k平行， 把它们代入曲面S的方程得 2 =1，=1，于是，所求的点为 ，且它们所对应的切平面方程分别为 2x+2y+z-4=0与 2x+2y+z+4=0，它们所对应的法线方程分别为 )解析：(2).曲面 S与平面 的最短距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 S上点(x，y，z)到平面丌的距离 d= 2x+
20、2y+z+5，现欲求曲面 S与平面 的最短距离，它等价于求函数 f(x，y，z)=(2x+2y+z+5) 2 在条件 2x 2 +4y 2 +z 2 =4约束下的最 小值的条件极值问题 构造辅助函数 F(x，y，z，)=(2x+2y+z+5) 2 +(2x 2 +4y 2 +z 2 -4)，令 )解析：23.设 n是曲面 2x 2 +3y 2 +z 2 =6在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，z)=2x 2 +3y 2 +z 2 -6，则 F“ x P =4x P =4，F“ y P =6y P =6，F“ z P =2z P =2， 故 n=(F“ x ，F“ y ，F“ z )=(4，6，2)，n= 方向余弦为 )解析：
