1、考研数学一（多元函数积分学中的基本公式及其应用）-试卷 1及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：3，分数：6.00)1.设 L是区域 D：x 2 +y 2 2x 的正向边界，则 I= L (x 3 y)dx+(xy 3 )dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_2.设 L是平面上从圆周 x 2 +y 2 =a 2 上 一点到圆周 x 2 +y 2 =b 2 上 一点的一条光滑曲线(a0，b0)，r= （分数：2.00）填空项 1:_3.设 r= ，常数 使得曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：41，分数：82.00)4.解答题解答应
2、写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.设 r=(x，y，z)，r=r，r0 时 f(r)有连续的导数，求下列各量：()rotf(r)r；()div gradf(r)(r0 时 f(r)有二阶连续导数)（分数：2.00）_6.求 I= （分数：2.00）_7.设曲线 L：x 2 +y 2 +x+y=0，取逆时针方向，证明： I= L ysinx 2 dx+xcosy 2 dy （分数：2.00）_8.设 (y)有连续导数，L 为半圆周： （分数：2.00）_9.求 I= （分数：2.00）_10.求曲面积分 I= （分数：2.00）_11.求 I= ，其中为上半球 z= （分
3、数：2.00）_12.求曲线积分 I= L (y 2 +z 2 )dx+(z 2 +x 2 )dy+(x 2 +y 2 )dz，其中 L是球面 x 2 +y 2 +z 2 =2bx与柱面 x 2 +y 2 =2ax(ba0)的交线(zO)L 的方向规定为沿 L的方向运动时，从 z轴正向往下看，曲线 L所围球面部分总在左边(如图 109) （分数：2.00）_13.设 D 0 是单连通区域，点 M 0 D 0 ，D=D 0 M 0 (即 D是单连通区域 D 0 除去一个点 M 0 )，若p(x，y)，Q(x，y)在 D有连续的一阶偏导数且 （分数：2.00）_14.判断下列曲线积分在指定区域上是
4、否与路径无关： () ，区域 D：y0； () （分数：2.00）_15.设(P(x，y)，Q(x，y)= （分数：2.00）_16.设 Pdx+Qdy= （分数：2.00）_17.设 f(s)在(，+)内有连续的导数，计算 其中 L为从点 a(3， （分数：2.00）_18.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_19.求曲面积分 I= xz 2 dydzsinxdxdy，其中 S为曲线 （分数：2.00）_20.求 I= ，其中 S是椭球面 （分数：2.00）_21.求曲线积分 I= L 2yzdx+(2zz 2 )dy+(y 2 +2xy+3y)dz，其中 L为闭曲线 （分数：2.00）
5、_22.下面连续可微的向量函数P(x，y)，Q(x，y)在指定的区域 D上是否有原函数 u(x，y)(du=Pdx+Qdy或 gradu=P，Q)若有，求出原函数P，Q= （分数：2.00）_23.选择常数 取的值，使得向量 A(x，y)=2xy(x 4 +y 2 ) ix 2 (x 4 +y 2 ) j在如下区域 D为某二元函数 u(x，y)的梯度： ()D=(x，y)y0，并确定函数 u(x，y)的表达式： ()D=(x，y)x 2 +y 2 0（分数：2.00）_24.计算曲线积分 I= dy，其中 L是从点 A(a，0)经上半椭圆 （分数：2.00）_25.设 Q(x，y)在 Dxy平
6、面有一阶连续偏导数，积分 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关 t 恒有 （分数：2.00）_26.设曲线积分 L 2x(y)+(y)dx+x 2 (y)+2xy 2 2x(y)dy=0，其中 L为任意一条平面分段光滑闭曲线，(y)，(y)是连续可微的函数 ()若 (0)=2，(0)=1，试确定函数 (y)与(y)； ()计算沿 L从点 O(0，0)到 M(， （分数：2.00）_27.设有数量函数 u(x，y，z)及向量函数 F(x，y，z)=P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)，其中P，Q，R，u 在 上有连续的二阶偏导数，证明：()divgradu= （分数：2.
7、00）_28.设 S是上半空间 z0 中任意光滑闭曲面，S 围成区域 ，函数 u=w()(= 在上半空间有连续的二阶偏导数，满足 （分数：2.00）_29.设平面上有界闭区域 D由光滑曲线 C围成，C 取正向(如图 1018) ()P(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数，证明格林公式的另一种形式： dxdy= C (Pcos+Qcos)ds， 其中n=(cos，cos)是 C的单位外法向量 ()设 u(x，y)，v(x，y)在 D有连续的二阶偏导数，求证： (107) ()设 u(x，y)在 D有连续的二阶偏导数且满足 （分数：2.00）_30.I= L y 2 2xysin(x 2
8、 )dx+cos(x 2 )dy，其中 L为椭圆 （分数：2.00）_31.I= ，其中 A(0，1)，B(1，0)， （分数：2.00）_32.I= ，其中 是沿椭圆 （分数：2.00）_33.I= dy，其中 L是椭圆周 （分数：2.00）_34.I= L (e x sinymyy)dx+(e x cosymx)dy，其中 L： （分数：2.00）_35.I= （分数：2.00）_36.I= （分数：2.00）_37.I= (x 2 y 2 )dydz+(y 2 z 2 )dzdx+(z 2 x 2 )dxdy，S 是 （分数：2.00）_38.I= L yzdx+3zxdyxydz，其中
9、 L是曲线 （分数：2.00）_39.I= (x 2 yz)dx+(y 2 xz)dy+(z 2 xy)dz，其中 是沿螺线 x=acos，y=asin，z= （分数：2.00）_40.判断下列曲线积分在指定区域 D是否与路径无关，为什么? () L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)，其中f(u)为连续函数，D：全平面 () （分数：2.00）_41.设 (x)在(0，+)有连续导数，()=1试确定 (x)，使积分 I= （分数：2.00）_42.求 Pdx+Qdy在指定区域 D上的原函数，其中P，Q= （分数：2.00）_43.选择 a，b，使 Pdx+Qdy在区域 D=(x，y)
10、x 2 +y 2 0内为某函数 u(x，y)的全微分，其中 P= （分数：2.00）_44.已知 E= （分数：2.00）_考研数学一（多元函数积分学中的基本公式及其应用）-试卷 1答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：3，分数：6.00)1.设 L是区域 D：x 2 +y 2 2x 的正向边界，则 I= L (x 3 y)dx+(xy 3 )dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：把线积分表成 L Pdx+Qdy，则 =1一(一 1)=2，D 是圆域：(x+1) 2 +y 2 1，于是由格林公式 I= 2.设 L是平面
11、上从圆周 x 2 +y 2 =a 2 上 一点到圆周 x 2 +y 2 =b 2 上 一点的一条光滑曲线(a0，b0)，r= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：r 3 (xdx+ydy)= I= 3.设 r= ，常数 使得曲线积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：把线积分表成 L Pdx+Qdy=0 ，(上半平面是单连通区域)，即 一 2r 2 一 x 2 =r 2 +y 2 r 2 =r 2 二、解答题(总题数：41，分数：82.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.
12、设 r=(x，y，z)，r=r，r0 时 f(r)有连续的导数，求下列各量：()rotf(r)r；()div gradf(r)(r0 时 f(r)有二阶连续导数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()直接由梯度与散度的计算公式得 )解析：6.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 I= Pdx+Qdy，则 记 D为三角形区域 ABE，则直接由格林公式得用先 y后 x的积分顺序，D=(x，y)J 1x2，xyx+4，则 )解析：解析：直接用格林公式 求左端的曲线积分转化为求右端的二重积分，若这个二重积分容易计算则达目的D 是闭曲线 C所围成的区域(见图 104)7.
13、设曲线 L：x 2 +y 2 +x+y=0，取逆时针方向，证明： I= L ysinx 2 dx+xcosy 2 dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： L 是圆周： 它围成区域 D用格林公式 其中 D关于直线 y=x对称 )解析：8.设 (y)有连续导数，L 为半圆周： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若要用格林公式求非闭曲线 L上的线积分 L Pdx+Qdy时，先要添加定向辅助线L 1 使 LL 1 构成闭曲线，所围区域为 D，若是正向边界，则 dxdy若是负向边界，则 求 L Pdx+Qdy转化为求 L 1 上的线积分和一个二重积分，如果它们都容易计算的话，则达目的
14、如图 105 所示，L 是非闭曲线，再加直线段 ，使它们构成沿顺时针方向的闭曲线，并把它们围成的区域记为 DL 与 构成 D的负向边界 记 P(x，y)=(y)cosxy，Q(x，y)=(y)sinx1，则 又 因此，在 D上用格林公式得 于是 )解析：9.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P= ，易计算得 若 R1(见图 106)，在 L所围的有界闭区域 D上，P，Q 有连续的一阶偏导数且 ，则 I= L Pdx+Qdy= dxdy=0 若 R1(见图 107)，在 L所围的有界闭区域 D内含点(1，0)，P，Q 在此点无定义，不能在 D上用格林公式 若以(1，0)为圆
15、心，0 充分小为半径作圆周 C (x+1) 2 +y 2 = 2 )，使得 C 在 L所围的圆内在 L与 C 所围的区域 D 上利用格林公式得 其中 L与 C 均是逆时针方向因此 )解析：10.求曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接用高斯公式 I= (x+y+z)dxdydz 化三重积分为累次积分：记长方体分别在 yz平面，zx 平面与 xy平面上的投影区域为 D yz ，D zx ，D xy ，则 )解析：11.求 I= ，其中为上半球 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：添加一块有向曲面 S：z=0 (x 2 +y 2 a 2 )，法向量朝下，S 与所
16、围区域为(见图 108)，则由高斯公式得 (这里 边界取外法向，S 在 xy平面上投影区域 D：x 2 +y 2 a 2 =0，S 与 yz平面，zx 平面均垂直， Qdzdx=0) 因 所以 I= )解析：解析：首先(x，y，z)，x 2 +y 2 +z 2 =a 2 ，被积函数简化为 于是 I= Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 直接化第二类曲面积分为二重积分，再化为定积分的公式稍微复杂些这里 12.求曲线积分 I= L (y 2 +z 2 )dx+(z 2 +x 2 )dy+(x 2 +y 2 )dz，其中 L是球面 x 2 +y 2 +z 2 =2bx与柱面 x 2 +y 2 =2a
17、x(ba0)的交线(zO)L 的方向规定为沿 L的方向运动时，从 z轴正向往下看，曲线 L所围球面部分总在左边(如图 109) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若写出 L的参数方程直接计算比较复杂，可考虑用斯托克斯公式来计算 记 L所围的球面部分为，按 L的方向与右手法则，取的法向量朝上，先利用曲线方程简化被积函数，然后用斯托克斯公式，得 I= L (2bxx 2 )dx+(2bxy 2 )dy+2axdz 注意，关于 zx平面对称，被积函数 1对 y为偶函数，于是 dzdx=0记在 xy平面的投影区域为 D xy ：(xa) 2 +y 2 a 2 因此 I=2b )解析：13.设
18、D 0 是单连通区域，点 M 0 D 0 ，D=D 0 M 0 (即 D是单连通区域 D 0 除去一个点 M 0 )，若p(x，y)，Q(x，y)在 D有连续的一阶偏导数且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这里 D不是单连通区域，所以不能肯定积分 L PdX+Qdy在 D上与路径无关例如：积分 ，由于 P(x，y)= 则 即在全平面除原点外 P(x，y)，Q(x，y)均有连续的一阶偏导数，且 但若取 L为 C + 即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周，则 sin(cos)+cos(sin)d=20， 因此，该积分不是与路径无关 ()能肯定积分在 D上与路径无关按挖去奇点的思路，我
19、们作以 M 0 为心，0 为半径的圆周 C ，使 C 在C 0 所围区域内C 和 C 所围区域记为 D (见图 1010)在 D 上用格林公式得 其中 C 0 ，C 均是逆时针方向所以 因此，0 充分小，只要 C 在 C 0 所围区域内，均有 Pdx+Qdy=0 现在我们可证：对 D内任意分段光滑闭曲线 C，均有 C Pdx+Qdy=o 若 C不包围 M 0 ，在 C所围的区域上用格林公式，立即可得式成立若 C包围 M 0 点，则可作以 M 0 为心，0 为半径的小圆周 C ，使得 C 在 C所围区域内且成立在 C与 C 所围的区域上用格林公式同理可证 C Pdx+Qdy= )解析：14.判断
20、下列曲线积分在指定区域上是否与路径无关： () ，区域 D：y0； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是单连通区域，只需验证 是否成立依题设有 又 则该积分在 D上与路径无关 ()这里 D：R 2 (0，0)是非单连通区域，由 (x，y)(0，0)得不出积分与路径无关但可以计算 )解析：15.设(P(x，y)，Q(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先验证 是否成立 因此，当 n1 时积分不是与路径无关 当 n=1时虽有 (x，y)D)，但 D不是单连通区域，还需进一步讨论取 C为以(0，0)为心的单位圆周，逆时针方向，则 )解析：16.设 Pdx+Qdy
21、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不定积分法由 ，对 y积分，得 u= +C(x) (注意代替积分常数是 x的任意函数 C(x)由 ，进而 C(x)= +C因此，原函数 u(x，y)= )解析：17.设 f(s)在(，+)内有连续的导数，计算 其中 L为从点 a(3， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先验算积分是否与路径无关若是，便可选择适当的积分路径，使积分化简 令 P(x，y)= y 2 f(xy)1，易验证： 这是单连通区域，故积分与路径无关，可以选择从A到 B的任何一条位于戈轴上方的曲线作为积分路径 为了简化计算，我们选择积分路径为折线 ACB，其中 C(1， )
22、，见图 1012 注意到， ：y= ，x 从 3到 1，dy=0； x=1，y从 23 到 2，dx=0 则 )解析：18.计算曲线积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 R1，则 I= L Pdx+Qdy= dxdy=0 设 R1，取 0 充分小使椭圆 C (取逆时针方向) 4x 2 +y 2 = 2 含于 L所围区域 D内，记 L与 C 围成区域为 D ，在 D 上用格林公式得 )解析：解析：记 P= ，当 x 2 +y 2 0 时， 记 L围成的区域为 D，若 D不含原点(R1)，则可在 D上用格林公式若 D含原点(R1)，则不能在 D上用格林公式，要在 D内挖去含原点
23、的某区域后再用格林公式(见图 1013) 19.求曲面积分 I= xz 2 dydzsinxdxdy，其中 S为曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 SS 1 S 2 围成的区域 上应用高斯公式，因边界取内法向，故 其中 为 z 2 +1=x 2 +y 2 与 z=1，z=2 所围，圆 D(z)的半径为 又 xz 2 dydzsinxdxdy= sinxdxdy = sinxdxdy=0(i=1 时公式取“-”，i=2 时公式取“+”)， 其中 S i 与 yz平面垂直(i=1，2)，D i 为 S i 在 xy平面上的投影区域分别是圆域 x 2 +y 2 5，x 2 +y 2
24、2 因此 I= )解析：解析：首先求出曲面 S的方程：x 2 +y 2 =1+z 2 (1z2)，法向量朝上 记 P=xz 2 ，Q=O，R=sinx，则 20.求 I= ，其中 S是椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作以原点为心，0 为半径的小球面 S ，0 充分小使 S 位于 S所围的椭球内记 S与 S 所围的区域为 ，S 取 的内法向(即小球的外法向)，见示意图 1014(用平面图示意立体图)，在 上用高斯公式得 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 由于在 上，P，Q，R 有连续的一阶偏导数且 =0，于是 )解析：解析：直接计算较复杂，若把积分记为 I= Pdydz+Qd
25、zdx+Rdxdy，容易验证 21.求曲线积分 I= L 2yzdx+(2zz 2 )dy+(y 2 +2xy+3y)dz，其中 L为闭曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用斯托克斯公式平面 x+y+z= 上 L围成的平面区域记为，按右手法则，法向量 n朝上且 n= (1，1，1)=(cos，cos，cos)，于是 其中 是的面积 这里把坐标轴的名称互换，的方程不变，于是 L是平面(x+y+z= )与球面(x 2 +y 2 +z 2 =1)的交线，它是圆周现求它的半径 r，原点 O到平面 x+y+z= 因此 I= )解析：22.下面连续可微的向量函数P(x，y)，Q(x，y)在指定
26、的区域 D上是否有原函数 u(x，y)(du=Pdx+Qdy或 gradu=P，Q)若有，求出原函数P，Q= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先验算 在 D上是否恒成立 则 ，(x，y)D因 D是单连通区域，则存在原函数 现用求不定积分的方法求原函数： 由 (恒等变形，便于积分)对 x积分，得则 所以 C(y)=0， C(y)=C 因此，原函数 u(x，y)= )解析：23.选择常数 取的值，使得向量 A(x，y)=2xy(x 4 +y 2 ) ix 2 (x 4 +y 2 ) j在如下区域 D为某二元函数 u(x，y)的梯度： ()D=(x，y)y0，并确定函数 u(x，y)的表达
27、式： ()D=(x，y)x 2 +y 2 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=P(x，y)i+Q(x，y)j，先由(P，Q)为某二元函数 u的梯度(即 du=Pdx+Qdy)的必要条件 定出参数 =2x(x 4 +y 2 ) +4xy 2 (x 4 +y 2 ) 1 ， =2x(x 4 +y 2 ) 4x 5 (x 4 +y 2 ) 1 4x(x 4 +y 2 )+4x(x 4 +y 2 ) =0( =1 ()由于 D=(x，y)y0是单连通，=1 是存在 u(x，y)使 du=Pdx+Qdy的充要条件，因此仅当 =1 时存在 u(x，y)使(P，Q)为 u的梯度 现求 u(x
28、，y)，使得 du(x，y)= dy 凑微分法 (*) 则 u(x，y)=arctan +C ()D=(x，y)x 2 +y 2 0是非单连通区域， (x，y)D)不足以保证 Pdx+Qdy存在原函数我们再取环绕(0，0)的闭曲线 C：x 4 +y 2 =1，逆时针方向，求出 )解析：24.计算曲线积分 I= dy，其中 L是从点 A(a，0)经上半椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 C是从点 A(a，0)经上半圆 x 2 +y 2 =a 2 (y0)到点 B(a，0)的弧段(图1015)因在上半平面(含 x轴但不含原点)积分与路径无关，于是得 对右端的线积分，可直接用C的参数
29、方程 x=acost， y=asint (t0)，来计算： I= )解析：解析：记 ，易算25.设 Q(x，y)在 Dxy平面有一阶连续偏导数，积分 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关 t 恒有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得 (2xy)=2x对 x积分得Q(x，y)=x 2 +(y)，下面由(*)定出 (y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到 (y)满足的关系式，再求 (y) 通过求原函数计算积分： 2xydx+x 2 +(y)dy=dx 2 y+ (s)ds 由(*)式，得x 2 y+ 即 t 2 + 求导得 2t=1+(t) ( )解析：26.设曲线积分 L 2x
