1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 2及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机事件 A与 B互不相容，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.某射手的命中率为 p(0P1)，该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为( )（分数：2.00）A.p k (1一 p) n一 kB.C n k P k (1一 p) n一 k PC.C n一 1 k一 1 Pp k P(1一 p) n一 k PD.C n一 1 k一 1 p 一 k一 1 P
2、(1一 P) n一 k P4.设两两独立且概率相等的三事件 A，B，C 满足条件 则 P(A)的值为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.对于任意两事件 A和 B，与 AB=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数D.X的概率密度是连续函数7.设相互独立的两随机变量 X与 Y均服从分布 B(1， )，则 PX2Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从 E
3、(1)分布，则 Plmin(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.e 一 1 B.1一 e 一 1 C.1一 e 一 2 D.e 一 2 一 e 一 4 9.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(x)E(Y)B.Cov(X，Y)=0C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)10.已知随机变量 X与 y的相关系数大于零，则( )（分数：2.00）A.D(X+Y)D(X)+D(Y)B.D(X+Y)D(X)+D(Y)C.D(XY)D(X)+D(Y)D.D(XY)D(X)+D(Y)11.设 X 1
4、，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布统计量( ) （分数：2.00）A.B.C.D.12.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，其中 已知， 未知，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，则不能作出统计量( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的
5、概率为 10则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.袋中有 8个球，其中 3个白球、5 个黑球，现随意从中取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球、2 个黑球，试验停止否则将 4个球放回袋中，重新抽取 4个球，直到出现 2个白球、2 个黑球为止，用 X表示抽取次数，则 P(X=k)= 1(后=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_15.设 X服从参数为 的泊松分布，Px=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.若 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，则 P
6、max(X，Y)一 Pmin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXy= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y与 Z的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.已知总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 2n 是取自总体 X容量为 2n的简单随机样本，当 2 未知时，Y= （分数：
7、2.00）填空项 1:_22.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自区间一 a，a上均匀分布的总体 X的简单随机样本，则参数 a的矩估计量为 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设总体 XN( 1 ， 1 2 )，总体 YN( 2 ， 2 2 )，其中 1 2 ， 2 2 ；未知，设 x 1 ，x 2 ，x n1 是来自总体 X的样本，y 1 ，y 2 ，y n2 是来自总体 Y的样本，两样本独立，则对于假设检验 H 0 ： 2 = 2 H 1 ： 1 2 ，使用的统计量为 1，它服从的分布为 2（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写
8、出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.为了减少比赛场次，把 20个球队任意分成两组(每组 10队)进行比赛，求最强的两队被分在不同组内的概率（分数：2.00）_26.电话总机为 300个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 001，求在一小时内有 4个用户使用电话的概率(先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差)（分数：2.00）_27.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 Px=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 记 Z=X+Y （分数：2.00）_28.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X取到 x(0x1
9、)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值试求：()(X，Y)的联合概率密度；()关于 Y的边缘概率密度函数；()PX+Y1（分数：2.00）_29.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布 ()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)； ()求边缘密度函数 f X (x),F Y (y)及条件密度函数 f X|Y (x|y)，f Y|X (y|x)；并问 X与 Y是否独立； ()计算概率 PX0，Y0， （分数：2.00）_30.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布，现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的求
10、这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率（分数：2.00）_31.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_32.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0，设 Z=XY， ()求 Z的概率密度 f(z， 2 )； ()设 z 1 ，z 2 ，z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 2答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（
11、分数：2.00）_解析：2.设随机事件 A与 B互不相容，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：已知 因此选项 A、B 不能选由于3.某射手的命中率为 p(0P1)，该射手连续射击 n次才命中 k次(kn)的概率为( )（分数：2.00）A.p k (1一 p) n一 kB.C n k P k (1一 p) n一 k PC.C n一 1 k一 1 Pp k P(1一 p) n一 k P D.C n一 1 k一 1 p 一 k一 1 P(1一 P) n一 k P解析：解析：n 次射击视为 n次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，没有命中的概率为 1一 p，设事件 A=“射击
12、 n次命中 k次”=“前 n一 1次有 k一 1次击中，且第 n次也击中”，则 P(A)=C n一 1 k一 1 p k一 1 n(1一 p) n一 1一(k 一 1) p=C n一 1 k一 1 p k (1一 p) n一 k 应选 C4.设两两独立且概率相等的三事件 A，B，C 满足条件 则 P(A)的值为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：设 P(A)=x，则 P(A)=P(B)=P(C)=x， 且 P(AB)=P(BC)=P(AC)=x 2 ， 由公式 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(BC)一 P(AC)+P(ABC) 5.对于任意两
13、事件 A和 B，与 AB=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选项 A、B、C 均与 AB=B 等价，当 AB 时，由 AB=B 不能推得选项 D这表明 AB=B 与6.假设 X为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.X是离散型随机变量B.X不是离散型随机变量C.X的分布函数是连续函数 D.X的概率密度是连续函数解析：解析：对任意实数 a有 PX=a=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a使 PX=a0，选项 A不能选，故正确选项是 C事实上，PX=a=0
14、 F(a)一 F(a0)=0 对任意实数 a，F(a)=F(a 一 0)7.设相互独立的两随机变量 X与 Y均服从分布 B(1， )，则 PX2Y=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：8.设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从 E(1)分布，则 Plmin(X，Y)2的值为( )（分数：2.00）A.e 一 1 B.1一 e 一 1 C.1一 e 一 2 D.e 一 2 一 e 一 4 解析：解析：P1min(X，Y)2=Pmin(X，Y)1一 Pmin(X，Y)2 =PX1，Y1一PX2，Y2 =PX1PY1一 Px2PY2 =e 一 1 e 一 1 e 一 2 e 一
15、2 =ee 一 4 故选项 D正确9.对于任意两随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是( )（分数：2.00）A.E(XY)=E(x)E(Y)B.Cov(X，Y)=0C.D(XY)=D(X)D(Y) D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)解析：解析：因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0 是“X 和 Y不相关”的充分必要条件，所以 A与 B等价，由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见选项 B与 D等价于是，“X 和 Y不相关”与选项 A，B 和 D等价，故应选 C10.已知随机变量 X与 y的相关系数大于零，则( )
16、（分数：2.00）A.D(X+Y)D(X)+D(Y)B.D(X+Y)D(X)+D(Y)C.D(XY)D(X)+D(Y)D.D(XY)D(X)+D(Y) 解析：解析：根据公式 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y)确定正确选项 由于 X与 Y的相关系数11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本， 是样本均值，记 则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布统计量( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：12.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，其中 已知， 未知，X 1 ，X 2 ，X n 为取自总体 X的简单随机样本，则不能作
17、出统计量( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 2 未知，故选 C二、填空题(总题数：11，分数：22.00)13.每箱产品有 10件，其中次品数从 0到 2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0892）解析：解析：设事件 A=“一箱产品能够通过验收”，则 P(A)=p事件 B=“任取一件产品为正品”，=“任取一件产品为次品”，则 依题设可知14.袋
18、中有 8个球，其中 3个白球、5 个黑球，现随意从中取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球、2 个黑球，试验停止否则将 4个球放回袋中，重新抽取 4个球，直到出现 2个白球、2 个黑球为止，用 X表示抽取次数，则 P(X=k)= 1(后=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若设事件 A i =“第 i次取出 4个球为 2个白球、2 个黑球”，由于是有放回取球，因此 A i 相互独立，根据超几何分布知 15.设 X服从参数为 的泊松分布，Px=1=PX=2，则概率 P0X 2 3= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 一
19、 2）解析：解析： 16.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设随机变量 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，则 Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：Pmax(X，Y)一 Pmin(X，Y) =1 一 Pmax(X，Y)一1 一 Pmin(X，Y) =一 Pmax(X，Y)+Pmin(X，Y =一 PX，Y+PX，Y =一 PX+PX，Y+PX，Y =一 PX+PY， 因为 X与 Y均服从正态分布 N(， 2 )，所以 18.设(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0
20、)，则 PXy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 X 2 的数学期望 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：184）解析：解析：根据题意可知，X 服从 n=10，P=04 的二项分布，因此有 E(X)=np=4，D(X)=np(1 一 p)=24， 因此 E(X 2 )=D(X)+E 2 (X)=18420.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y与 Z的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
21、案：正确答案：09）解析：解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X 一 1)=2Cov(X，Y)，D(Z)=D(2X 一 1)=4D(X)Y 与 Z的相关系数 YZ 为 21.已知总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 2n 是取自总体 X容量为 2n的简单随机样本，当 2 未知时，Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据 E(Y)= 2 求得 C，为此需要先求出 X 2i 一 X 2i一 1 分布由于 X i N(， 2 )，且相互独立，故 X 2i X 2i一 1 N(0，2 2 )，E(X 2i X 2i 1) 2 =D(X
22、 2i X 2i 1)+E(X 2i X 2i 1) 2 =2 2 22.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自区间一 a，a上均匀分布的总体 X的简单随机样本，则参数 a的矩估计量为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 E(X)=0，不能用一阶矩来估计23.设总体 XN( 1 ， 1 2 )，总体 YN( 2 ， 2 2 )，其中 1 2 ， 2 2 ；未知，设 x 1 ，x 2 ，x n1 是来自总体 X的样本，y 1 ，y 2 ，y n2 是来自总体 Y的样本，两样本独立，则对于假设检验 H 0 ： 2 = 2 H 1 ： 1 2 ，使用的统计
23、量为 1，它服从的分布为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：u 统计量；N(0，1)）解析：解析：三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.为了减少比赛场次，把 20个球队任意分成两组(每组 10队)进行比赛，求最强的两队被分在不同组内的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先考虑总的基本事件数是从 20个球队里任意选取 10个，再考虑有利事件的基本事件数，即从 2个强队里任意选出一组，再从剩余的 18个队中任意选出 9组的选法数 从 20个球队里任意选出 10个队分成一组，剩余
24、的 10个队为第二组的总的基本事件数为 N=C 20 10 用事件 A表示两个强队不在同一组内，则可以先从这两个强队中任意选出一队，再从剩余的 18个队中任意选出 9组，则事件A的基本事件数为 M=C 2 1 C 18 9 ，则最强的两队被分在不同组内的概率为 )解析：26.电话总机为 300个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 001，求在一小时内有 4个用户使用电话的概率(先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一小时内使用电话的用户数量作为随机变量 X，则 XB(300，001)，概率函数为 p(x；300，001
25、)=C 300 x (001) x (099) 300一 x 一小时内有 4个用户使用电话的概率为p(4；300，001)=C 300 4 (001) 4 (099) 296 01689， X 近似服从泊松分布，=np=300001=3， 泊松分布的概率函数为 一小时内有 4个用户使用电话的概率为 P(X=4)=p(4；3)= 01680，二者的相对误差为 )解析：27.设随机变量 X与 Y相互独立，X 的概率分布为 Px=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 记 Z=X+Y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，当
26、X取到 x(0x1)时，随机变量 Y等可能地在(x，1)上取值试求：()(X，Y)的联合概率密度；()关于 Y的边缘概率密度函数；()PX+Y1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题设 X在(0，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为 而变量Y，在 X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 ()根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y的边缘概率密度 )解析：29.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布 ()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)； ()求
27、边缘密度函数 f X (x),F Y (y)及条件密度函数 f X|Y (x|y)，f Y|X (y|x)；并问 X与 Y是否独立； ()计算概率 PX0，Y0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于以(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形面积为 1，如图 42所示，故 )解析：30.根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布，现随机地取 16只，设它们的寿命是相互独立的求这 16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据独立同分布中心极限定理，假设 X表示电器元件的寿命，则 X的概率密度为 随机取
28、出 16只元件，其寿命分别用 X 1 ，X 2 ，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布设寿命总和为 其中 E(X i )=100，D(X i )=100 2 ，由此得 由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布N(1600，16100 2 )，于是 )解析：31.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑总体 X的一阶原点矩 两边同时取对数，并对参数 求导，令导函数取值为 0， 解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为 )解析：32.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0，设 Z=XY， ()求 Z的概率密度 f(z， 2 )； ()设 z 1 ，z 2 ，z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 XN(， 2 )，YN(，2 2 )，且 X与 Y相互独立，故 Z=XYN(0，3 2 )， )解析：
