1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 8及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A)3.设 A，B 是任意两个随机事件，则 （分数：2.00）A.0B.C.D.14.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个甲、乙两人依次从袋中各取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球” 若取后放回，此时记 p
2、1 =P(A)，P 2 =P(B)； 若取后不放回，此时记 P 3 =P(A)，P 4 =P(B) 则( )（分数：2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4 B.p 1 =p 2 p 3 p 4 C.p 1 p 2 =p 3 p 4 D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4 5.设随机变量 X服从正态分布 N(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX 一 4，p 2 =PY+5，则( )（分数：2.00）A.p 1 =p 2 B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小6.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀
3、分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（分数：2.00）A.X 2 B.XYC.X+YD.(X，Y)7.设随机变量 （分数：2.00）A.0B.C.D.18.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.15C.28D.449.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 DX i =1，i=1，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X，S 2 分别为容量是 n的样本的均值
4、和方差，则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，记 E(X)=，D(X)= 2 ， （分数：2.00）A.S是 的无偏估计B.S 2 是 2 的无偏估计C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.10个同规格的零件中混人 3个次品，现在进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 X是服从参数为 2的指
5、数分布的随机变量，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设平面区域 D由曲线 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_19.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_20
6、.已知随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本(n2)，记样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 X 1 ，X 2 ，X m 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S 2 分别为样本均值和样本方差若 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.证明：如果 P(A|B)=P(A| （分数：2.00）_25.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通
7、岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_26.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）_27.已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY的概率分布； ()记 U 1 =XY，V 1 = （分数：2.00）_28.设 A，B 为随机事件，且 （分数：2.00）_29.从正态总体 N(34，6 2 )中抽取容量为 n的样本，如果要求其样本均值位于区间(14，54)内的概率不小于 095，问样本容量 n至少应取多大? （分数：2.00）_30.两批导线，从第一批中抽取 4根，从第二批中抽取 5根，测得其电阻()如下： 第一批导线：0143，0142，0143，013
8、7； 第二批导线：0140，0142，0136，0138，0140 设两批导线的电阻分别服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )及 N( 2 ， 2 2 )，其中 1 ， 2 及 1 ， 2 都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差 1 一 2 (假定 1 = 2 )及方差比 （分数：2.00）_31.某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)= （分数：2.00）_32.对两批同类电子元件的电阻(Q)进行测试，各抽取 6件，测得结果如下：第一批：0140 0138 0143 0141 0144 0137；第二批：0135 0140 0142 0136 0138 0140
9、设电子元件的电阻服从正态分布，检验：()两批电子元件电阻的方差是否有显著差异；(取显著性水平 =005)()两批电子元件电阻的均值是否有显著差异(取显著性水平 =005)（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 8答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论肯定正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A) 解析：解析：因为 AB=
10、，所以 A一 B=AAB=A一 =A，从而 P(AB)=P(A)，故选项 D正确对于选项 A、B 可用反例排除，如取 =1，2，3，A=1，B=2，则 故选项 A不正确；如果取 A=1，B=2，3，显然 不相容，故选项 B也不正确对于选项 C，由于3.设 A，B 是任意两个随机事件，则 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：4.袋中有 5个球，其中白球 2个，黑球 3个甲、乙两人依次从袋中各取一球，记 A=“甲取到白球”，B=“乙取到白球” 若取后放回，此时记 p 1 =P(A)，P 2 =P(B)； 若取后不放回，此时记 P 3 =P(A)，P 4 =P(B) 则( )（分数：
11、2.00）A.p 1 p 2 p 3 p 4 B.p 1 =p 2 p 3 p 4 C.p 1 p 2 =p 3 p 4 D.p 1 =p 2 =p 3 =p 4 解析：解析：依据取球方式知 p 1 =p 2 =p 3 ，又因为“抽签结果与先后顺序无关”，得 p 3 =p 4 ，所以正确答案是选项 D5.设随机变量 X服从正态分布 N(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 p 1 =PX 一 4，p 2 =PY+5，则( )（分数：2.00）A.p 1 =p 2 B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知，无法比较 p 1 与 p 2 的大小解析：解析： 6.设随机变量 X与 Y相互
12、独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是( )（分数：2.00）A.X 2 B.XYC.X+YD.(X，Y) 解析：解析：根据由 X，Y 的独立性可知，(X，Y)的联合密度7.设随机变量 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由 PX 1 X 2 =0=1得知，PX 1 X 2 0=0于是根据 X 1 ，X 2 的分布律，有 PX 1 =一 1，X 2 =一 1=0，PX 1 =一 1，X 2 =1=0 PX 1 =1，X 2 =一 1=0，PX 1 =1，X 2 =1=0 再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其关系可得(X 1 ，X 2
13、)的联合分布律如下表 8.设两个相互独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.15C.28D.44 解析：解析：本题考查方差的运算性质，是一道纯粹的计算题可根据方差的运算性质 D(C)=0(C为常数)，D(CX)=C 2 D(X)以及相互独立随机变量的方差性质 D(XY)=D(X)+D(Y)自行推演所以选项 D正确9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 DX i =1，i=1，2，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：
14、10.设总体 X服从正态分布 N(0， 2 )，X，S 2 分别为容量是 n的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 n一 1的 t分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，记 E(X)=，D(X)= 2 ， （分数：2.00）A.S是 的无偏估计B.S 2 是 2 的无偏估计 C.D.解析：解析：根据排除法逐项分析，可知二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.10个同规格的零件中混人 3个次品，现在进行逐个检查，则查完 5个零件时正好查出 3个次品的概率为 1（分数：2.00）填空项
15、 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A=“查完 5个零件正好查出 3个次品”，现要求的是 P(A)的值事实上，事件 A由两个事件合成：B=“前 4次检查，查出 2个次品”和 C=“第 5次检查，查出的零件为次品”，即 A=BC，由乘法公式 P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)，事件 B是前 4次检查中有 2个正品 2个次品所组合，所以 已知事件 B发生的条件下，也就是已检查了 2正 2次，剩下 6个零件，其中 5正 1次，再要抽检一个恰是次品的概率13.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
16、）解析：解析：这是一个几何概型，设 x，y 为所取的两个数，则样本空间 =(x，y)|0x，y1，记 A ，所以 14.设 X是服从参数为 2的指数分布的随机变量，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16.假设随机变量 X服从参数为 的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意 X的概率密度函数为 所以 PX0=1，则 F(
17、x，y)=PXx，|X|y =PXx，Xy，X017.设平面区域 D由曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：区域 D的面积为 因此(X，Y)的联合概率密度是 且其关于 x的边缘概率密度为18.已知随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ，Y 2 =X 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正态）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：19.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，随机变
18、量 X 1 ，和 X 2 相互独立，且服从正态分布 设 Z=X 1 X 2 ，则ZN(0，1)，其概率密度函数为 20.已知随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：由于 D(X 2 )=E(X 4 )一 E 2 (X 2 ) 21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本(n2)，记样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8(n 一 1) 4）解析：解析：构造新的简单随机样本：X 1 +X n+1 ，X 2 +X n+2 ，X n +X 2n ，显然 X i +X n+i
19、N(2，2 2 )所以，新的样本均值和新样本方差为 22.设 X 1 ，X 2 ，X m 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S 2 分别为样本均值和样本方差若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.证明：如果 P(A|B)=P(A| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用互逆事件概率和为 1可证明如果 A与 B是独立的，则满足 P(A|B)=P(A) 由于 B与 B是互逆事件，因此满足 P(B)+P(
20、)=1， P(A|B)=P(A|B)P(B)+P(B) =P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B) 已知 P(A|B)=P(A| )成立，且由全概率公式可得，P(B)P(A|B)+P( )P(A| )解析：25.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，X 服从二项分布 因此 X的分布律为 X的数学期望是 )解析：26.设(X，Y)的联合分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，F X (x)=PXx=F(x，+)=1 一 e 一 x ；当 x0 时，F X
21、 (x)=0，所以关于 X的边缘分布函数为 同理，关于 Y的边缘分布函数为 )解析：27.已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY的概率分布； ()记 U 1 =XY，V 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据矩阵法求解，由题设得 ()(U 2 ，U 2 )的概率分布 )解析：28.设 A，B 为随机事件，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.从正态总体 N(34，6 2 )中抽取容量为 n的样本，如果要求其样本均值位于区间(14，54)内的概率不小于 095，问样本容量 n至少应取多大? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.两
22、批导线，从第一批中抽取 4根，从第二批中抽取 5根，测得其电阻()如下： 第一批导线：0143，0142，0143，0137； 第二批导线：0140，0142，0136，0138，0140 设两批导线的电阻分别服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )及 N( 2 ， 2 2 )，其中 1 ， 2 及 1 ， 2 都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差 1 一 2 (假定 1 = 2 )及方差比 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 n 1 =4，n 2 =5，根据已知可得两个样本的均值和方差分别为 =014125，s 1 2 =82510 一 6 2 ； =01392，s 2 2 =5
23、2010 一 6 2 当 1 ， 2 未知，且假定 1 = 2 ，置信水平为 095，则 =005，自由度为 k=4+52=7， 查询 t分布表可得 S 的观测值 S ，为 S 25510 一 3 ，可以得到 所以均值差 1 一 2 (假定 1 = 2 )的置信水平为 095 的置信区间为 =(01412501392000404，01412501392+000404) =(一 0002，0006) 1 ， 2 ，未知时，置信水平为 095，则 =005，自由度为 n 1 一 1=3，n 2 一 1=4，查询 F分布表得 )解析：31.某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为
24、f(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑事件 A：“试验直至时间 T 0 为止，有 k只器件失效，而有 n一 k只未失效”的概率，设 T的分布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t=0时投入试验，则在时间 T 0 以前失效的概率为 PTT 0 =F(T 0 )=1一 ；而在时间 T 0 未失效的概率为 PTT 0 =1一 F(T 0 )= 因为各只器件的试验结果是相互独立的，所以事件 A的概率为 )解析：32.对两批同类电子元件的电阻(Q)进行测试，各抽取 6件，测得结果如下：第一批：0140 0138 0143 0141 0144 0137；第二批：0135 0140 01
25、42 0136 0138 0140设电子元件的电阻服从正态分布，检验：()两批电子元件电阻的方差是否有显著差异；(取显著性水平 =005)()两批电子元件电阻的均值是否有显著差异(取显著性水平 =005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两批电子元件的电阻分别服从正态分布 N 1 ( 1 ， 1 2 )和 N 2 ( 2 ， 2 2 )它们的样本均值和样本 方差的观测值分别为 ()根据题意，原假设和备择假设分别为 H 0 ： 1 2 = 2 2 ，H 1 ： 1 2 2 2 ， 选择 F统计量，因为 s 1 2 s 2 2 ，所以 将样本方差的观测值代入得， 显著性水平 =005，所以临界值为 由于 FF 0025 (55)，因此接受原假设，认为两批电子元件电阻的方差没有显著差异 ()根据题意，原假设和备择假设分别为 H 0 ： 1 = 2 ，H 1 ： 0 2 1 ， 2 未知但是相等的情况下，选取统计量 根据 S 的计算公式可得 S 27010 一 3 ，将相关数据代入得 显著性水平 =005，因此临界值为 )解析：
