1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 27 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 0P(A)1，0P(B)1，且 P(AB) （分数：2.00）A.事件 A，B 互斥B.事件 A，B 独立C.事件 A，B 不独立D.事件 A，B 对立3.设 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，令 p=P(X 一 4)，q=P(Y+5)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小由 的取值确定4.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，
2、YE(1)，则 P(X+Y1)等于( )（分数：2.00）A.1 一B.1eC.eD.2e5.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)6.总体 XN，(，5 2 )，则总体参数 的置信度为 1 一 的置信区间的长度( )（分数：2.00）A.与 无关B.随 的增加而增加C.随 的增大而减少D.与 有关但与 的增减性无关二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设事件 A，B 相互独立，P(A)=03，且 P(A+ （分数：2.00）填空项 1:_
3、8.设口袋中有 10 只红球和 15 只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y 的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2（分数：2.00）填
4、空项 1:_13.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY = （分数：2.00）填空项 1:_14.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 X 为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX= 2 ，令 S 0 2 = （分数：2.00）填空项 1:_
5、三、解答题(总题数：10，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_一个盒子中 5 个红球，5 个白球，现按照如下方式，求取到 2 个红球和 2 个白球的概率。（分数：6.00）(1).一次性抽取 4 个球；（分数：2.00）_(2).逐个抽取，取后无放回；（分数：2.00）_(3).逐个抽取，取后放回（分数：2.00）_设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_(2).求 X 在(0， （分数：2.00）_(3).求 X 的分布函数 F(x)（分数：2.00）_18.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求
6、Y 的概率密度函数（分数：2.00）_19.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_设 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，令 Y= （分数：4.00）(1).Y，Z 的联合分布律；（分数：2.00）_(2).D(Y+Z)（分数：2.00）_20.设 Xf(x)= ，对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 （分数：2.00）_设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记
7、 X i = （分数：4.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布；（分数：2.00）_(2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：2.00）_21.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 U= （分数：2.00）_22.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 27 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 0P(A)1，0
8、P(B)1，且 P(AB) （分数：2.00）A.事件 A，B 互斥B.事件 A，B 独立 C.事件 A，B 不独立D.事件 A，B 对立解析：解析：由 P(AB)+3.设 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，令 p=P(X 一 4)，q=P(Y+5)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小由 的取值确定解析：解析：由 p=P(X4)=P(X4)=P( 一 1)=(一 1)=1(1)，q=P(Y5)=P(Y一 5)=4.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于( )（分数：2.00）A.1 一 B.1eC.eD.2e
9、解析：解析：由 XU(0，2)，YE(1)得 f X (x)= ， f Y (y)= ， 再由 X，Y 相互独立得(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 5.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y) 解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案为(D)6.总体 XN，(，5 2 )
10、，则总体参数 的置信度为 1 一 的置信区间的长度( )（分数：2.00）A.与 无关B.随 的增加而增加C.随 的增大而减少 D.与 有关但与 的增减性无关解析：解析：总体方差已知，参数 的置信度为 1 一 的置信区间为 ，其中 n 为样本容量，长度为 ，因为 越小，则二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设事件 A，B 相互独立，P(A)=03，且 P(A+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，因为 A，B 相互独立，所以 A， 相互独立，故 ，即 07=03+8.设口袋中有 10 只红球和 15 只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次
11、取得红球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A 1 =第一次取红球，A 2 =第一次取白球，B=第二次取红球， 则 P(B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)=P(A 1 )P(BA 1 )+P(A 2 )P(BA 2 )= 9.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 P(X1)= =1P(X=0)=1 一(1 一 p) 2 得 p= ，P(Y1)=1 一(1 一 p) 3 = 10.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y 的密度函数为
12、 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f Y (y)= ）解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=P(9X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 所以随机变量 y 的密度函数为 f Y (y)= 11.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 X12.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E(Y)=5，D(Y)
13、=32；）解析：解析：因为 XP(2)，所以 E(X)=D(X)=2， 于是 E(Y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=3213.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：25）解析：解析：E(X 一 2Y+3)=E(X)一 2E(Y)+3=2， D(X 一 2Y+3)=D(X 一 2Y)=D(X)+4D(Y)一 4Cov(X，Y)， 由 Cov(X，Y)= 14.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P （分数
14、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立分布于 N(，2 2 )，所以 ，从而 15.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 为总体的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为 2 (n 一 1)，所以 2 (9) ，故 D(S 2 )= 16.设 X 为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X 的样本，且总体的方差 DX= 2 ，令 S 0 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解
15、析：解析：E(S 0 2 )= 三、解答题(总题数：10，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：一个盒子中 5 个红球，5 个白球，现按照如下方式，求取到 2 个红球和 2 个白球的概率。（分数：6.00）(1).一次性抽取 4 个球；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 =一次性抽取 4 个球，其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A 1 )= )解析：(2).逐个抽取，取后无放回；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 2 =逐个抽取 4 个球，取后不放回，其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A 2 )= )解析：(3).
16、逐个抽取，取后放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 3 =逐个抽取 4 个球，取后放回，其中 2 个红球 2 个白球，则 P(A 3 )= )解析：设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：6.00）(1).求常数 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)dx=1，所以 1= )解析：(2).求 X 在(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).求 X 的分布函数 F(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=PXx= x f(t)dt， 当 x 时，F(x)=0； 当 (1sinx)； 当 x 时，F(x)=1
17、，于是 X 的分布函数为 F(x)= )解析：18.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= ，一x+ F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时，F Y (y)= 因此 f Y (y)= )解析：19.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动，求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则 T
18、=X+Y，由已知条件得 X，Y 的密度为 f X (x)= 当 t0 时，F T (t)=0；当 t0 时， F T (t)=P(X+Yt)= f X (x)f Y (y)dxdy =25 0 t e 5x dx 0 tx e 5y dy =5 0 t e 5x 1 一 e 5(tx) dx =5 0 t (e 5x 一 e 5t )dx=(1 一 e 5t )一 5te 5t T 的密度函数为 f(t)= )解析：设 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，令 Y= （分数：4.00）(1).Y，Z 的联合分布律；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 在区间2，2上从均匀分布，所以
19、 f X (x)= (Y，Z)的可能取值为(一 1，一 1)，(一 1，1)，(1，一 1)，(1，1) P(Y=一 1，Z=一 1)=P(X一 1，X1)=P(X一 1)= 2 1 ； P(Y=一 l，Z=1)=P(X一 1，X1)=0； P(Y=1，Z=一 1)=P(X一 1，X1)=P(一1X1)= 1 1 ； P(Y=1，Z=1)=P(X一 1，X1)=P(X1)= 1 2 ； (Y，Z)的联合分布律为 )解析：(2).D(Y+Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Y+Z ，得 E(Y+Z)=一 2 =0， E(Y+Z) 2 =(一 2) 2 )解析：20.设 Xf(x)=
20、 ，对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：YB(4，p)，其中 p= )解析：设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 X i = （分数：4.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X 1 ，X 2 )的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(X 1 =0，X 2 =0)=P(X 3 =1)=01， P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)=01， P(X 1 =1，X= 2
21、=0)=P(X 1 =1)=08， P(X 1 =1，X 2 =1)=0 (X 1 ，X 2 )的联合分布律为 )解析：(2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 1 ，X 2 ，X 1 X 2 ， E(X 1 )=E(X 1 2 )=08，E(X 2 )=E(X 2 2 )=01，E(X 1 X 2 )=0， 则 D(X 1 )=016，D(X 2 )=009，Cov(X 1 ，X 2 )=一 008， 于是 )解析：21.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 20 是总体 X 的简单样本，求统计量 U= （分数：2.00）_正确答案：
22、(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 (1) i X i N(0，10 2 )，于是 N(0，1)，又因为 X 11 ，X 12 ，X 20 相互独立且与总体服从同样的分布，所以 N(0，1)(i=11，12，20)，于是 X i 2 2 (10)，又 )解析：22.设某元件的使用寿命 X 的概率密度为 f(x；)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：参数 的似然函数为 L()= 当 x i (i=1，2，n)时，lnL()=nln22 (x i 一 )， 因为 lnL()=2n0，所以 lnL()随 的增加而增加，因为x i (i=1，2，n) 所以参数 的最大似然估计值为 )解析：
