1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 28 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B，C 是相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a+)+F(a 一 )=1B.F(+a)+F( 一 a)=1C.F(a)+F(一 a)=1D.F(a)+F(a)=14.设随机变量(X，Y)
2、的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa，Yy)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.1 一 F(a，y)B.1 一 F(一 a，y 一 0)C.F(+，y 一 0)一 F(一 a，y 一 0)D.F(+，y)一 F(一 a，y)5.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立6.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n ，满足辛钦大数定律的条件是( )（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望与
3、方差B.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望C.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的离散型随机变量D.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的连续型随机变量7.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（分数：2.00）A.B.kX 1 2 +(1k)X 2 2 +X 3 2C.X 1 2 +2X 2 2 +X 3 2D.8.设总体 XN(， 2 )，其中 2 未知，s 2 = ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1 一 的置信区间为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设
4、 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=07，P(AB)=03，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.从 n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a 11 的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=04，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X 的概率密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=03，则 P(X0)= 1（
5、分数：2.00）填空项 1:_15.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 EXY= 1，DXY= 2（分数：2.00）填空项 1:_16.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则( （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_10 件产品中 4 件为次品，6 件为正品，现抽取 2 件产品（分数：6.00）(1).求第一件为正品，第二件为次品的概率；（分数：2.00）_(2).在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；（分数：2.00）_(3).逐个抽取，求第二件为正
6、品的概率（分数：2.00）_18.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_设 X，Y 的概率分布为 （分数：4.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：2.00）_(2).X，Y 是否独立?（分数：2.00）_19.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，yN(0，1)，求 Z=2XY+3 的密度（分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求 c；（分数：2.00）_(2).求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?（分数：2.00）_(3).求 Z=max(X，Y)的密度（分数：2.00）
7、_20.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX 一 bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：4.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ；（分数：2.00）_(2).设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：2.00）_21.设总体 XN(0，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计量 U= （分数：2
8、.00）_22.一自动生产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布 N(， 2 )，任取 9 袋测得其平均重量为 （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 28 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B，C 是相互独立的随机事件，且 0P(C)1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 A，B，C 相互独立，所以它们的对立事件也相互独立，故 与 C 相互独立，3.设随机变量 XN(
9、， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a+)+F(a 一 )=1B.F(+a)+F( 一 a)=1 C.F(a)+F(一 a)=1D.F(a)+F(a)=1解析：解析：因为 XN(， 2 )，所以 F(a+)F( 一 a)= = 4.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa，Yy)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.1 一 F(a，y)B.1 一 F(一 a，y 一 0)C.F(+，y 一 0)一 F(一 a，y 一 0) D.F(+，y)一 F(一 a，y)解析：解析：P(一 Xa，Yy)=P(X
10、一 a，Yy)，因为 P(Yy)=P(X一 a，Yy)P(X一 a，Yy)，所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一 a，Yy)=F(+，y 一 0)一 F(一 a，y0)，选(C)5.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立 解析：解析：由 XU0，2得 f X (x)= E(X)=1，E(Y)=E(X 2 )= 0 2 x 2 dx= ， E(XY)=E(X 3 )= 6.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则 X 1 ，X 2 ，X n ，满足辛钦大数定律的条
11、件是( )（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望与方差B.X 1 ，X 2 ，X n ，同分布且有相同的数学期望 C.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的离散型随机变量D.X 1 ，X 2 ，X n ，为同分布的连续型随机变量解析：解析：根据辛钦大数定律的条件，应选(B)7.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X 的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（分数：2.00）A.B.kX 1 2 +(1k)X 2 2 +X 3 2 C.X 1 2 +2X 2 2 +X 3 2D.解析：解析：因为统计量为样本的无参函数，故选(B)8.设总体 XN
12、(， 2 )，其中 2 未知，s 2 = ，样本容量 n，则参数 的置信度为 1 一 的置信区间为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为 2 未知，所以选用统计量 t= t(n 一 1)，故 的置信度为 1 一 的置信区间为 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=07，P(AB)=03，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06）解析：解析：由 P(A 一 B)=P(A)一 P(AB)=03 及 P(A)=07，得 P(AB)=04，则10.从 n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a 11 的概
13、率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9）解析：解析：n 阶行列式有 n！项，不含 a 11 的项有(n 一 1)(n 一 1)！个，则 11.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=04，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：01）解析：解析：由 P(2X4)= =04，得 =09，则 P(X0)=12.设随机变量 X 的概率密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 F Y (y)=P(Yy)= ， 所以 f Y (y)= 13.设随机变量 XB(n，p)，且 E
14、(X)=5，E(X 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n=15）填空项 1:_ （正确答案：p=*）解析：解析：因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =np(1 一 p)+n 2 p 2 ，所以np=5，np(1 一 p)n 2 p 2 = ，解得 n=15，p= 14.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=03，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：由 P(2X4)=03 得 =08， 则 P(X0)=15.设 X，Y 相互独立且都服从标准
15、正态分布，则 EXY= 1，DXY= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2 ）解析：解析：令 Z=XY，则 ZN(0，2)，f Z (z)= (一z+) EXY=EZ= zf Z (z)dz= 因为 E(Z 2 )=E(Z 2 )=D(Z)+E(Z) 2 =2， 所以 D(Z)=E(Z 2 )一E(Z) 2 =2 一 16.设总体 XN(2，4 2 )，从总体中取容量为 16 的简单随机样本，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：( ）解析：解析：因为 三、解答题(总题数：10，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
16、步骤。_解析：10 件产品中 4 件为次品，6 件为正品，现抽取 2 件产品（分数：6.00）(1).求第一件为正品，第二件为次品的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i 次取到正品(i=1，2)，则 )解析：(2).在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).逐个抽取，求第二件为正品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(A 2 )=P(A 1 A 2 + )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )+ = )解析：18.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：f Y (x)= F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； )解析：设 X，Y 的概率分布为 （分数：4.00）(1).求(X，Y)的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0， P(X=一 1，Y=0)=P(X=一 1)= ，P(X=1，Y=0)=P(X=1)= ， P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)= (X，Y)的联合分布律为： )解析：(2).X，Y 是否独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为
18、 P(X=0，Y=0)=0P(X=0)P(Y=0)= )解析：19.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，yN(0，1)，求 Z=2XY+3 的密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2XY+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)一 E(Y)+3=5，D(Z)=4D(X)+D(Y)=9，则 Z 的密度函数为 f Z (z)= )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求 c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1=c 0 dx 0 xe x(
19、y1) dy=c )解析：(2).求 X，Y 的边缘密度，问 X，Y 是否独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f X (x)=0；当 x0 时，f X (x)= 0 xe x(y1) dy=e x 当 y0 时，f Y (y)=0；当 y0 时，f Y (y)= 0 e x(y1) dx= )解析：(3).求 Z=max(X，Y)的密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时，F Z (z)=P(Zz)=P(maxX，Yz)=P(Xz，Yz) = 0 z dx 0 z xe x(y1) dy=1e z ， 则 f Z
20、(z)= )解析：20.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 XB(10，p)，其中 p=P(16L22)，因为 LN(18，4)，所以 N(0，1) 所以 p=P(16L22)=P(一 1 )解析：设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX 一 bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：4.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ；（分数：2.00）_正确答案：(
21、正确答案：E(U)=E(aXbY)=0，E(V)=E(aXbY)=0， D(U)=D(V)=(a 2 b 2 ) 2 cov(U，V)=Cov(aX+bY，aXbY)=a 2 D(X)一 b 2 D(Y)=(a 2 一 b 2 ) 2 )解析：(2).设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：U，V 不相关 )解析：21.设总体 XN(0，2 2 )，X 1 ，X 2 ，X 30 为总体 X 的简单随机样本，求统计量 U= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X 20 相互独立且与总体 XN(0，2 2 )服从同样的分布，所以 (X 1 2 +X 2 2 +X 20 2 ) 2 (20)，同理 (X 21 2 +X 22 2 +X 30 2 ) 2 (10)，且 (X 1 2 +X 2 2 +X 20 2 )与 (X 21 2 +X 22 2 +X 30 2 )相互独立， )解析：22.一自动生产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布 N(， 2 )，任取 9 袋测得其平均重量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 2 未知，所以选择统计量 =t 0025 (8)=2 由 P(一 231 231)=095，得 的置信度为 095 的置信区间为 )解析：
