1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 2及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若事件 A和 B同时出现的概率 P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.A和 B不相容(互斥)。B.AB是不可能事件。C.AB未必是不可能事件。D.P(A)=0或 P(B)=0。3.设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(BA)=1 不等价于( )（分数：2.00）A.P(A-B)=0。B.P(B-A)=0。C.P(AB)=P(A)。D.P(AB)=P(B)。4.连
2、续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 F 1 (x)，F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)。B.2f 2 (x)F 1 (x)。C.f 1 (x)F 2 (x)。D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 2 (x)。6.设随机变量 XN(， 2 )，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为( )（分数：2.00）A.(，)。B.C.D.(0，)。7.设随
3、机变量 X i （分数：2.00）A.0。B.C.D.1。8.设随机变量 X与 Y相互独立。且 XN （分数：2.00）A.X-Y。B.X+Y。C.X-2Y。D.Y-2X。9.已知随机变量 X与 Y的相关系数大于零，则( )（分数：2.00）A.D(X+Y)D(X)+D(Y)。B.D(X+Y)D(X)+D(Y)。C.D(X-Y)D(X)+D(Y)。D.D(X-Y)D(X)+D(Y)。10.已知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，X 和 Y的相关系数 =0，则 X和 Y( )（分数：2.00）A.独立且有相同的分布。B.独立且有不相同的分布。C.不独立且
4、有相同的分布。D.不独立且有不相同的分布。11.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当 n时，以 (x)为极限的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 X 1 ，X 2 ，X 2 ，X 4 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，已知 （分数：2.00）A.5。B.4。C.3。D.2。13.已知总体 X服从正态分布 N(， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，均值为 （分数：2.00）A.满足 PUb=B.满足 PUb=C.满足 PUb=D.满足 PUb+PUa= 的任意实数。二、填空题(总题数
5、：9，分数：18.00)14.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放人一件正品，然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7件正品的概率 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k时随机变量 Y在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 X的概率密度 f(x)= （分数
6、：2.00）填空项 1:_18.设二维随机变量(X，Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则P0X （分数：2.00）填空项 1:_19.某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b)上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.已知随机变量 XN(2，9)，Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY =-025，则 D(2X-3Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，2)，YN(0，3)，则 D(X 2 +Y 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设总体
7、 XN(， 2 )， 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自该总体的样本，样本方差为 S 2 ，对H 0 ： 2 16H 1 ： 2 16，其检验统计量为 1，拒绝域为 2。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_25.设随机变量 （分数：2.00）_26.设随机变量 X与 Y独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从参数为 2的指数分布，求： ()二维随机变量(X，Y)的联合概率密度； ()概率 PXY。（分数：2.00）_27
8、.设二维随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)1x+y2，0y1上服从均匀分布。试求： ()(X，Y)的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)； ()Z=X+Y 的概率密度 f Z (z)。（分数：2.00）_28.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为： （分数：2.00）_29.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 2答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若事件 A和 B同时出现的概率
9、P(AB)=0，则( )（分数：2.00）A.A和 B不相容(互斥)。B.AB是不可能事件。C.AB未必是不可能事件。 D.P(A)=0或 P(B)=0。解析：解析：不可能事件与零概率事件之间的区别和联系：不可能事件发生的概率为零，但零概率事件未必是不可能事件。由 P(AB)=0不能推出 AB是不可能事件，故选 C。3.设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(BA)=1 不等价于( )（分数：2.00）A.P(A-B)=0。B.P(B-A)=0。 C.P(AB)=P(A)。D.P(AB)=P(B)。解析：解析：P(BA)= =P(A)，然而 P(B-A)=P(B)-P(AB)，所以选项 B
10、正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上： A 选项 P(A-B)=P(A)-P(AB)=0 P(AB)=P(A)。 C 选项 P(AB)=P(A) P(BA)=1。 D 选项 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(B)4.连续抛掷一枚硬币，第 k(kn)次正面向上在第 n次抛掷时出现的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：依据题意，总共抛掷 n次，其中有 k次出现正面，余下的为 n-k次反面。第 n次必是正面向上，前 n-1次中有 n-k次反面，k-1 次正面(如上图所示)。 根据伯努利公式，所以概率为5.设 F 1 (x)，F 2 (x)为两个
11、分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)。B.2f 2 (x)F 1 (x)。C.f 1 (x)F 2 (x)。D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 2 (x)。 解析：解析：因为 f 1 (x)与 f 2 (x)均为连续函数，故它们的分布函数 F 1 (x)与 F 2 (x)也连续。根据概率密度的性质，应有 f(x)非负，且 。在四个选项中，只有 D项满足。 6.设随机变量 XN(， 2 )，0，其分布函数 F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为( )（分数：2.
12、00）A.(，)。B.C. D.(0，)。解析：解析：XN(， 2 )，其密度函数 F(X)= f(x)的拐点的 x坐标 a应满足 F“(a)=f“(a)=0，故 a= 为 f(x)的驻点，当 x= 时，F()= ，故曲线拐点在 7.设随机变量 X i （分数：2.00）A.0。 B.C.D.1。解析：解析：由 PX 1 X 2 =0=1得知，PX 1 X 2 0=0。于是根据 X 1 ，X 2 的分布律，有 PX 1 =-1，X 2 =-1=0，PX 1 =-1，X 2 =1=0。 PX 1 =1，X 2 =-1-0，PX 1 =1，X 2 =1=0。 再根据联合分布律与边缘分布律的性质及其
13、关系可得(X 1 ，X 2 )的联合分布律如下表。 8.设随机变量 X与 Y相互独立。且 XN （分数：2.00）A.X-Y。B.X+Y。 C.X-2Y。D.Y-2X。解析：解析：由题意知，XN(1，1)，而 X+YN(1，1)，故 X+Y和 Z是同分布的随机变量。9.已知随机变量 X与 Y的相关系数大于零，则( )（分数：2.00）A.D(X+Y)D(X)+D(Y)。B.D(X+Y)D(X)+D(Y)。C.D(X-Y)D(X)+D(Y)。D.D(X-Y)D(X)+D(Y)。 解析：解析：根据公式 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y)确定正确选项。 由于 X与 Y的相关系数10.已
14、知(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，X 和 Y的相关系数 =0，则 X和 Y( )（分数：2.00）A.独立且有相同的分布。 B.独立且有不相同的分布。C.不独立且有相同的分布。D.不独立且有不相同的分布。解析：解析：二维正态分布独立和不相关等价，故首先可以得到 X和 Y独立；又(X，Y)服从二维正态分布，故其边缘分布服从一维正态分布，且 XN(， 2 )，YN(， 2 )。所以选 A。11.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当 n时，以 (x)为极限的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解
15、析：由于 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E(X i )=，D(X i )=，根据方差与期望的运算法则，有 12.设 X 1 ，X 2 ，X 2 ，X 4 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，已知 （分数：2.00）A.5。B.4。C.3。 D.2。解析：解析： 由 Y 2 (n)可知 n=2，且 (X 1 +X 2 )N(0，1)，故 13.已知总体 X服从正态分布 N(， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，均值为 （分数：2.00）A.满足 PUb=B.满足 PUb=C.满足 PUb=D.满足 PUb+
16、PUa= 的任意实数。 解析：解析：a、b 应使 PaUb=1-a二、填空题(总题数：9，分数：18.00)14.袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的，事件C=第二个人取出的球是黄色的，则有 根据全概率公式可得 P(C)=P(A).P(CA)+P(B).P(CB)15.假设盒内有 10件产品，其正品数为 0，1，10 个是等可能的，今向盒内放人一件正品，
17、然后从盒内随机取出一件产品发现它是正品，则原来盒内有 7件正品的概率 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A i =“盒内原有 i件正品”，i=0，1，10；事件 B=“取出的产品是正品”，所以 A 0 ，A 1 ，A 10 构成一个完备事件组，依题意有 所求概率 P(A 7 B)可直接应用贝叶斯公式： 或先应用全概率公式求出 P(B)= 16.已知随机变量 X的概率分布为 PX=k= (k=1，2，3)，当 X=k时随机变量 Y在(0，k)上服从均匀分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题设可
18、知 PX=k=1，PX=k= 。根据全概率公式，可得17.已知 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 又因为18.设二维随机变量(X，Y)在 xOy平面上由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域上服从均匀分布，则P0X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由直线 y=x与曲线 y=x 2 所围成的区域面积为 ，所以(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)= 于是 19.某车间生产的圆盘其直径服从区间(a，b)上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
19、：正确答案：*）解析：解析：设圆盘直径为 X，其概率密度为 设圆盘面积为 Y，所以 那么有20.已知随机变量 XN(2，9)，Y 服从参数为 05 的指数分布，且 XY =-025，则 D(2X-3Y)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：90）解析：解析：D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)-2Cov(2X，3Y) =4D(X)+9D(y)-21.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN(0，2)，YN(0，3)，则 D(X 2 +Y 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：26）解析：解析：因 XN(0，2)，故 22.设总体 XN
20、(， 2 )， 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自该总体的样本，样本方差为 S 2 ，对H 0 ： 2 16H 1 ： 2 16，其检验统计量为 1，拒绝域为 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 统计量； ）解析：解析： 未知，对 2 的检验使用 2 检验，又根据题设知，假设为单边检验，所以统计量为 2 = 2 (n-1)，从而拒绝域为 三、解答题(总题数：7，分数：14.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，F(x)=0；
21、当 1x2 时，则 当 x2 时，F(x)=1。 综上所述，X的分布函数 F(x)为 )解析：25.设随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 PXY=1 知，PX=Y=0。由此可得 X与 Y的联合分布律为 因为 PX=-1，Y=-1PX=-1PY=-1，所以 X与 Y不独立。 ()由(X，Y)的联合分布律知 PU=V=-1=PX=-1，Y=0= PU=-1，V=1=PX=0，Y=-1= PU=1，V=-1=PX=0，Y=1= PU=V=1=PX=1，V=0= 所以 U与 V的联合分布律与边缘分布律为 )解析：26.设随机变量 X与 Y独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y
22、 服从参数为 2的指数分布，求： ()二维随机变量(X，Y)的联合概率密度； ()概率 PXY。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知 X在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从指数分布 e(2)，因此可得根据随机变量独立的性质，可得 ()当 x0 或者 x2 时，f(x，y)=0，因此区域 xy 为 y轴和 x=2之间，且在直线 y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为 )解析：27.设二维随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)1x+y2，0y1上服从均匀分布。试求： ()(X，Y)的边缘概率密度 f X (x)和 f Y (y)； ()Z=X+
23、Y 的概率密度 f Z (z)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 G如图 3-3-6所示： 可知区域 G是菱形，其面积为 1。故 () F Z (z)=PZz=PX+Yz )解析：28.设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()P(X=2Y)=P(X=0，Y=0)+P(X=2，Y=1)= ()Cov(X-Y，Y)=Cov(X，Y)-Cov(Y，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY， 其中 )解析：29.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()E(X)= ，得到矩估计量 ()对于总体 X的样本值 x 1 ，x 2 ，x n ，其似然函数为 得到最大似然估计量为 )解析：
