1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 63及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )|B)=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(A 1 A 2 )| )=P(
2、A 1 | )+P(A 2 | 3.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A n 相互独立C.A 1 ，A n 两两互不相容D.A 1 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 4.设离散型随机变量 X的概率分布为 PX=i=cp i ，i=1，2，其中 c0 是常数，则（分数：2.00）A.B.C.p=c+1D.0p1 的任意实数5.设随机变量 X的密度函数为 f X (x)，Y=2X+3，则 Y的密度函数为 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X
3、2 的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.B.C.D.7.对于任意二随机变量 X和 Y，与命题“X 和 lY不相关”不等价的是（分数：2.00）A.EXY=EXEYB.Cov(X，Y)=0C.DXY=DXDYD.D(X+Y)=DX+DY8.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 P|XEX|329，则一定有（分数：2.00）A.DX=2B.P|XEX|379C.DX2D.P|XEX|379二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设事件 A发生的概率是事件 B发生概率的 3倍，A 与 B都不发生的概率是 A与 B同时发生概率的 2倍，若 P(B)=29，则 P(AB)= 1（分数
4、：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.假设随机变量 X与 Y相互独立，且 PX=k=bk 2 ，PY=k=bk 2 (k=1，2，3)，则 a= 1，b= 2，Z=X+Y 的分布律为 3（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_12.设随机变量 X和 Y的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2 =BY 2 =2，则 E(X+Y) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量序列 X 1 ；X 2 ，X n ，相互独立，EX i = i ，DX i =2，i=1，2，则当n时，1n （分数
5、：2.00）填空项 1:_14.设总体 X与 Y独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的简单随机样本，统计量 T= （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 X服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自 X的商单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.假设随机事件 A与 B相互独立，P(A)=P( （分数：2.00）_18.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4
6、 的四个邮箱，求没有信的邮箱数 X的概率函数（分数：2.00）_19.设随机变量 X服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=|X|，求 Y的概率密度（分数：2.00）_20.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性（分数：2.00）_设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：6.00）(1).试求 X的概率密度 f(x)；（分数：2.00）_(2).试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；（分数：2.00）_(3).求条件概率 PY1|X05（分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X 12 是取自总体
7、X的一个简单随机样本，EX=，DX=记 Y 1 =X 1 +X 8 ，Y 2 =X 5 +X 12 ，求 Y 1 与 Y 2 的相关系数（分数：2.00）_22.设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?（分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：4.00）(1).试求： （分数：2.00）_(2).证明：B 2 = （分数：2.00）_23.设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)= （
8、分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 63答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 1 ，A 2 和 B是任意事件，且 0P(B)1，P(A 1 A 2 )|B)=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则（分数：2.00）A.P(A 1 A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 ) B.P(A 1 A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)C.P(A 1 BA 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)D.P(A 1
9、 A 2 )| )=P(A 1 | )+P(A 2 | 解析：解析：由条件知，P(A 1 A 2 |B)=0，但是这不能保证 P(A 1 A 2 )=0和 P(A 1 A 2 | )=0，故(A)和(D)不成立由于 P(A 1 |B)+P(A 2 |B)=P(A 1 A 2 )|B)未必等于 P(A 1 A 2 )，因此(B)一般也不成立由 P(B)0 及 P(A 1 A 2 )|B)=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，可见选项(C)成立： 3.在全概率公式 P(B)= （分数：2.00）A.A 1 ，A n 两两独立，但不相互独立B.A 1 ，A n 相互独立C.A 1 ，A n 两两
10、互不相容D.A 1 ，A n 两两互不相容，其和包含事件 B，即 解析：解析：若 A 1 ，A n 两两互不相容，则 A 1 B，A n B亦两两互不相容，且因 B，故P(B)=P( A i B)应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即 P(B)=P( 4.设离散型随机变量 X的概率分布为 PX=i=cp i ，i=1，2，其中 c0 是常数，则（分数：2.00）A.B. C.p=c+1D.0p1 的任意实数解析：解析：根据概率分布的性质，有 cp i 0(i=1，2，)，且 因此有 0p1，使无穷级数 p i 收敛，且 p i =p(1p)，由 可得 p= 5.设随机变量 X的密度函数为
11、f X (x)，Y=2X+3，则 Y的密度函数为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：y=2x+3 是 x的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=(3y)2，|h(y)|=|12|=12，根据随机变量函数的公式，应选(B)6.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 则 X 1 +X 2 的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题意知 X 1 为离散型随机变量，其分布律为 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 x|X 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 x|X 1 =1 =12PX 2 x+
12、 PX 2 x1=12F 2 (x)+ 7.对于任意二随机变量 X和 Y，与命题“X 和 lY不相关”不等价的是（分数：2.00）A.EXY=EXEYB.Cov(X，Y)=0C.DXY=DXDY D.D(X+Y)=DX+DY解析：解析：由于 Cov(X，Y)=EXYEXEY=0 是“X 和 Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价于是，“X 和 Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价故应选(C) 选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例设 X和 Y同服从参数为 p(0p1)的
13、01分布且相互独立，从而 X与 Y不相关易见 DX=DY=p(1p)；乘积 XY服从参数为 p 2 的 01分布： PXY=1=PX=1，Y=1=p 2 ，PXY=0=1p 2 因此 DXY=p 2 (1p 2 )p 2 (1p) 2 =DXDY8.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 P|XEX|329，则一定有（分数：2.00）A.DX=2B.P|XEX|379C.DX2D.P|XEX|379 解析：解析：因事件|XEX|3是事件|XEX|3的对立事件，且题设 P|XEX|329，因此一定有 P|XEX|379，即选项(D)正确 进一步分析，满足不等式 P|XEX|329 的随机变量，
14、其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此结论(A)与(C)都不能选比如：X 服从参数为 p的 01分布，DX=pq1，显然 DX2，但是 P|XEX|3=P二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设事件 A发生的概率是事件 B发生概率的 3倍，A 与 B都不发生的概率是 A与 B同时发生概率的 2倍，若 P(B)=29，则 P(AB)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：59）解析：解析：P(A)=3P(B)=69， P(10.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，3）解析：解析：当 x0 时，PX
15、x=0，PXx=1； 当 0x1 时，PXx= 0 f(x)dx+ 0 x 13dx=x313，PXx23； 当 1x3 时，PXx= 0 1 13dx+ 1 x 0dx=13，PXx=23； 当 3x6 时，PXx= 0 1 13+ 3 x x9dx 11.假设随机变量 X与 Y相互独立，且 PX=k=bk 2 ，PY=k=bk 2 (k=1，2，3)，则 a= 1，b= 2，Z=X+Y 的分布律为 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：611）填空项 1:_ （正确答案：3649）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析： X，Y 的分布律分别为 Z=X+Y的可能取值
16、为210，1，2由于 PZ=PX+Y=2=PX=1，Y=3=PX=1PY=3 类似地，PZ=1=PX+Y=1=PX=1，Y=2+PX=2，Y=3 PZ=0=PX+Y=0 =PX=1，Y=1+PX=2，Y=2+PX=3，Y=3 PZ=1=PX=2PY=1+PX=3PY=2 PZ=2=PX=3PY=1 于是 Z的分布律为12.设随机变量 X和 Y的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2 =BY 2 =2，则 E(X+Y) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：DX=EX 2 (EX) 2 =2，DY=2， Cov(X，Y)= XY 13.设随机变量序
17、列 X 1 ；X 2 ，X n ，相互独立，EX i = i ，DX i =2，i=1，2，则当n时，1n （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 X 1 ，X 2 ，相互独立，其期望、方差都存在，且对所有 i=1，2，DY i =2l(l2)，因此根据切比雪夫大数定律，当 n时 1n 14.设总体 X与 Y独立且都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X m 与 Y 1 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的简单随机样本，统计量 T= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14）解析：解析：依题意 X i N(0， 2 )，Y
18、i N(0， 2 )且相互独立，所以 U与 V相互独立，由 t分布典型模式知 15.设总体 X服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自 X的商单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.假设随机事件 A与 B相互独立，P(A)=P( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从 P( )=a1，得 P(B)=2a，P(A)P(B)=(a1)(2a)应用广义加法公式 a1+(2a)(a1)(2a
19、)=79 )解析：18.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮箱，求没有信的邮箱数 X的概率函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易见 X是离散型随机变量，其可能取值为 1，2，3，则相应概率分别为 PX=1 )解析：19.设随机变量 X服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=|X|，求 Y的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 y0 时，PYy=0；当 y0 时， PYy=P|X|y=PyXy=(y)(y) 于是 Y的分布函数 F Y (y)为 F Y (y) 当 y0 时，F Y (y)=(y)+(y)=2(y) Y 的概率密度 f Y (y)为 f Y
20、 (y) )解析：20.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意， )解析：设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：6.00）(1).试求 X的概率密度 f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易见，当 x (0，1)时 f(x)=0；对于 0x1，有 f(x)= + f(x，y)dy=67 0 2 (x 2 + )解析：(2).试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：事件“X 大于 Y”的概率 )解析：(3)
21、.求条件概率 PY1|X05（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件概率 PY1|X05 其中 PX05= 0 05 f(x)dx=67 0 05 (2x 2 +x)dx=528； PX05，Y1=67 0 05 dx 1 2 (x 2 + )dy=67 0 05 (x 2 + )dx=13112 于是 PY1|X05 )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X 12 是取自总体 X的一个简单随机样本，EX=，DX=记 Y 1 =X 1 +X 8 ，Y 2 =X 5 +X 12 ，求 Y 1 与 Y 2 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据简单随机样本的性质，X 1 ，
22、X 2 ，X 12 相互独立且与总体 X同分布，于是有 EX i =，DX i = 2 ，Cov(X i ，X j ) DY 1 =D(X 1 +X 8 )=DX 1 +DX 8 =8 2 ， DY 2 =D(X 5 +X 12 )=DX 5 +DX 12 =8 2 ， Cov(Y 1 ，Y 2 )=Cov(X 1 +X 8 ，X 5 +X 12 ) =Cov(X 5 ，X 5 )+Cov(X 6 ，X 6 )+Cov(X 7 ，X 7 )+Cov(X 8 ，X 8 )=4 2 ， 于是 Y 1 与 Y 2 的相关系数为 )解析：22.设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100名职工每人
23、一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设至少购买 n件，n 件中合格品数为 X，易见 X服从二项分布 B(n，09)，且n100，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从二项分布 N(09n，009n)依题意 PX100=0975， )解析：设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本，其均值和方差分别为 （分数：4.00）(1).试求： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 XB(1，p)，故 X的概率分布为 于是 Pn =k=C n k p k (1p) nk ，k=
24、0，1，2，n， 即 P )解析：(2).证明：B 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑事件 A：“试验直至时间 T 0 为止，有 k只器件失效，而有 nk 只未失效”的概率记 T的分布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t=0时投入试验，则在时间 T 0 以前失效的概率为 PTT 0 =F(T 0 )=1 ；而在时间 T 0 未失效的概率为 PTT 0 =1F(T 0 )= 由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A的概率为 L()=C n k (1 ) nk ， 这就是所求的似然函数取对数得 lnL()=lnC n k +kln(1 )+(nk)(T 0 )， 于是 的最大似然估计为 )解析：
