1、考研数学一（随机变量及其分布）-试卷 2 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.0B.C.D.1 一 e 1 3.设离散型随机变量 X 的概率分布为 PX=i=cp i ，i=1，2，其中 c0 是常数，则（分数：2.00）A.P=B.P=C.P=c+1D.0P1 的任意实数4.假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两
2、个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点5.设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)一定是（分数：2.00）A.可积函数B.单调函数C.连续函数D.可导函数6.设随机变量 X 的概率分布为 PX=k= ，k=0，1，2，则常数 a= （分数：2.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 PX 一 应该（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定8.设随机变量 X 服从正态分布 N(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 P 1 =PX 一 4，P 2 =PY+5，则（分数：2.00）A.P 1 =P 2
3、B.P 1 P 2 C.P 1 P 2 D.因 未知，无法比较 P 1 与 P 2 的大小9.设随机变量 X 的密度函数为 F X (x)，Y=2X+3，则 Y 的密度函数为 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设离散型随机变量 X 的概率函数为 PX=i=P i+1 ，i=0，1，则 P= 1（分数：2.00）填空项 1
4、:_12.设离散型随机变量 X 的分布函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1 一 X已知 PX029=075，则满足PYk =025 的常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)=ke x2+2x3 (一x)是一概率密度，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 若 k 满足概率等式 PXk= （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0975，则 PX092= 1（分数：2.00）填空项 1
5、:_17.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X=0 无实根的概率为 05，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 F(x)是连续型随机变量 X 的分布函数，常数 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设连续型随机变量 X 的分布函数为 其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 Y= （分数：2.00）_21.设随机变量 X 服从参数 = （分数：2.00）_22.袋中装有大小相同的 1
6、0 只球，编号为 0，1，2，9从中任取一只，观察其号码，按“大于 5”，“等于 5”，“小于 5”三种情况定义一个随机变量 X，并写出 X 的分布律和分布函数（分数：2.00）_23.设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X 的四个值，已知至少有一个大于 a 的概率为 09，问 a 是多少?（分数：2.00）_24.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮箱，求没有信的邮箱数 X 的概率函数（分数：2.00）_25.向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(一，0，(0，1和(1，+)的概率分别为 02，05和 03，并且随机点在区间(0，1上分布均匀设随
7、机点落入(一，0得 0 分，落入(1，+)得 1 分，而落入(0，1坐标为 x 的点得 x 分试求得分 X 的分布函数 F(x)（分数：2.00）_26.设随机变量 X 服从0，a+2上的均匀分布，对 X 进行 3 次独立观测，求最多有一次观测值小于 a+1 的概率（分数：2.00）_27.设某一设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率分别为 01，02，03，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数 X 的分布函数（分数：2.00）_28.设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数： ()Y 1 =e X ； ()Y 2 =一2lnX； ()Y 3 = （
8、分数：2.00）_29.设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 Y= （分数：2.00）_30.设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=X，求 Y 的概率密度（分数：2.00）_31.某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳 6 次若 6 次均未过竿，则认定其为落选如果一位参试者在该指定高度的过竿率为 06，求他在测试中所跳次数的概率分布（分数：2.00）_32.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，G(x)是区间0，1上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间0，1上的均匀分布（分数：2.00）
9、_33.已知随机变量 X 的概率密度 （分数：2.00）_考研数学一（随机变量及其分布）-试卷 2 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 的分布函数 F(x)= （分数：2.00）A.0B.C. D.1 一 e 1 解析：解析：由 PX=x=F(x)一 F(x 一 0)，可知 PX=1=F(1)一 F(10)=1 一 e 1 一 3.设离散型随机变量 X 的概率分布为 PX=i=cp i ，i=1，2，其中 c0 是常数，则（分数：
10、2.00）A.P=B.P= C.P=c+1D.0P1 的任意实数解析：解析：根据概率分布的性质，有 cp i 0(i=1，2，)，且 因此有 0P1，使无穷级数 ，由 可得 P= 4.假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点 解析：解析：由于 Y=minX，2= 所以 Y 的分布函数为 5.设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)一定是（分数：2.00）A.可积函数 B.单调函数C.连续函数D.可导函数解析：解析：根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数 x，
11、F(x)=PXx=6.设随机变量 X 的概率分布为 PX=k= ，k=0，1，2，则常数 a= （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由泊松分布知，PX=k=a 当 a(e+1)=1 即 a=7.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2 )，则随 的增大，概率 PX 一 应该（分数：2.00）A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析：解析：若 XN(， 2 )，则 N(0，1)，因此 PX=P 8.设随机变量 X 服从正态分布 N(，4 2 )，YN(，5 2 )；记 P 1 =PX 一 4，P 2 =PY+5，则（分数：2.00）A.P 1 =P 2 B.P 1 P
12、2 C.P 1 P 2 D.因 未知，无法比较 P 1 与 P 2 的大小解析：解析：p 1 =PX 一 4=( )=(一 1)=1(1)， p 2 =PY+5=1 一 PY+5=1一 ( 9.设随机变量 X 的密度函数为 F X (x)，Y=2X+3，则 Y 的密度函数为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：Y=2x+3 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)= =10.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F(x)=aF 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 （分数：2.0
13、0）A. B.C.D.解析：解析：对任何 x，为保证 F(x)0，a 与b 均应大于 0，又 F(+)=aF 1 (+)一 bF 2 (+)=a 一b=1，应选(A)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设离散型随机变量 X 的概率函数为 PX=i=P i+1 ，i=0，1，则 P= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 PX=0+PX=1=P+P 2 =1，所以 P 2 +P 一 1=0解得 (方程的负根 p= 12.设离散型随机变量 X 的分布函数 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于分
14、布函数 F(x)只在 x=1，0，1 处有 3 个间断点，因此离散型随机变量 X 与X的概率分布分别为 X的分布函数 F X (x)为 13.假设 X 是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而 Y=1 一 X已知 PX029=075，则满足PYk =025 的常数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：071）解析：解析：由于 PYk=P1 一 Xk=PX1 一 k=1 一 PX1 一 k=025， 可见 PX1 一 k=1025=075 由 PX029=075，得 1 一 k=029，k=07114.设 f(x)=ke x2+2x3 (一x)是一概率密度，则 k
15、= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 f(x)=ke x2+2x3 作变换，得 将其与正态分布 N(1，12)的密度比较，可得 15.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 若 k 满足概率等式 PXk= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，3）解析：解析：当 x0 时，PXx=0，PXx=1； 当 x6 时，PXx=1，PXx=0 因此满足 PXk=16.设随机变量 X 服从正态分布 N(，1)，已知 PX3=0975，则 PX092= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0025）解析：解析：由 P
16、X3=17.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)，且二次方程 y 2 +4y+X=0 无实根的概率为 05，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设事件 A 表示方程 y 2 +4y+X=0 无实根，依题意 P(A)=P164X0=PX4=1 一 ( )=05， 即 ( 18.设 F(x)是连续型随机变量 X 的分布函数，常数 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设
17、连续型随机变量 X 的分布函数为 其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 y0 时，F Y (y)=0；当 y0 时， F Y (y)=PYy=P 所求 Y 的分布函数为 将 F Y (y)对 y 求导数，得到 Y 的概率密度为 )解析：解析：求一个随机变量函数 Y 的分布，如果 Y 是连续型，则求 Y=g(X)的概率密度 f Y (y)的最基本方法是分布函数法；如果 y=g(x)是关于 x 的单调可导函数且其导数恒不为零，则可用单调函数公式法求解 f Y (y)21.设随机变量 X 服从参数 = （分数：2.0
18、0）_正确答案：(正确答案：当 X2 时，Y=X2；当 X2 时，Y=2因此随机变量 Y 的取值一定不小于 0 且不大于 2，即 P0Y2=1由于 X 服从参数 = 的指数分布，因此当 x0 时，PXx=1 一当 0y2 时，PYy=Pmin(X，2)y=PXy=1 一 于是，Y 的分布函数为 F(y)= )解析：22.袋中装有大小相同的 10 只球，编号为 0，1，2，9从中任取一只，观察其号码，按“大于 5”，“等于 5”，“小于 5”三种情况定义一个随机变量 X，并写出 X 的分布律和分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设随机变量 Y 表示从 10 个球中任取一只，其球上的
19、号码数，令 则有 PY=i=01，i=0，1，9，PX=0=05，PX=1=01，PX=2=04于是 X 的分布函数为 )解析：23.设随机变量 X 在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数 a，任取 X 的四个值，已知至少有一个大于 a 的概率为 09，问 a 是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意 0a1 且 PXa=1 一 a，PXa=a，且 a 4 =1 一 09=01，a= )解析：24.将三封信随机地投入编号为 1，2，3，4 的四个邮箱，求没有信的邮箱数 X 的概率函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易见 X 是离散型随机变量，其可能取值为 1，2，3，
20、则相应概率分别为 )解析：25.向直线上掷一随机点，假设随机点落入区间(一，0，(0，1和(1，+)的概率分别为 02，05和 03，并且随机点在区间(0，1上分布均匀设随机点落入(一，0得 0 分，落入(1，+)得 1 分，而落入(0，1坐标为 x 的点得 x 分试求得分 X 的分布函数 F(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 H 1 ，H 2 ，H 3 分别表示事件：随机点落入(一，0，(0，1和(1，+)，它们构成完备事件组由条件知 P(H 1 )=02，P(H 2 )=05，P(H 3 )=03 易见 于是，由全概率公式即得 )解析：26.设随机变量 X 服从0，a+2上
21、的均匀分布，对 X 进行 3 次独立观测，求最多有一次观测值小于 a+1 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Y 表示对 X 进行 3 次独立观测，其观测值小于 a+1 的次数，P=PXa+1=05，则 YB(3，05)所求概率为 PY=0+PY=1=05 3 + )解析：27.设某一设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率分别为 01，02，03，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数 X 的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 只取 0，1，2,3 各值，为计算概率 PX=i，i=0，1，2，3，设 A i =第 i 个部件需要调整，i=1，
22、2，3依题意，A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立，且 P(A 1 )=01，P(A 2 )=02，P(A 3 )=03 =010807+090207+090803=0398， PX=2=1 一 PX=0一 PX=1一 PX=3=0092 于是 X 的分布函数 F(x)为 )解析：解析：显然 X 是离散型随机变量，为求 X 的分布函数 F(x)，我们应首先求出 X 的分布律，即 X 的所有可能取值与相应概率28.设随机变量 X 服从(0，1)上的均匀分布，求下列函数的密度函数： ()Y 1 =e X ； ()Y 2 =一2lnX； ()Y 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题
23、意，X 的概率密度为 f X (x)= ()y=e x 在(0，1)内是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=lny 的定义域为(1，e)，x=h(y)= 0，用公式(216)即得 Y 的概率密度为 ()Y=21nx 在(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)= 的定义域为(0，+)，h(y)= 0，根据公式(216)，Y 3 的概率密度为 ()y= 在(0，1)内单调可导，其反函数x=h(y)= 的定义域为(1，+)，当 y1 时，其导数 h(y)= 0，应用公式(216)，Y 3 的概率密度为 ()y=x 2 在(0，1)内单调可导，其反函数 x=h(y)= 的定义域亦为(0，
24、1)，且h(y)= 0应用公式(216)，Y 4 的概率密度为 )解析：29.设 f(x)是非负随机变量的概率密度，求 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X 是只取非负值的随机变量，所以在(0，+)内 y= 是 x 的单调可导函数，其反函数 x=h(y)=y 2 的定义域为(0，+)，h(y)=2y0，根据公式(216)，Y= 的概率密度 f Y (y)为 )解析：30.设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=X，求 Y 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 y0 时，PYy=0；当 y0 时， PYy=PXy=P一 yXy=(y)一 (一
25、 y) 于是 Y 的分布函数 F Y (y)为 当 y0 时，F Y (y)=(y)+(一 y)=2(y) Y 的概率密度 f Y (y)为 )解析：31.某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳 6 次若 6 次均未过竿，则认定其为落选如果一位参试者在该指定高度的过竿率为 06，求他在测试中所跳次数的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该人在选拔赛中跳的次数为 X，显然 X 是一个离散型随机变量，其全部可能取值为 1，2，3，4，5，6，由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有 PX=1=06，PX=2=0406， PX=3
26、=04 2 06，PX=4=04 3 06 PX=5=04 4 06，PX=6=04 5 即 X 的概率分布为 )解析：32.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，G(x)是区间0，1上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间0，1上的均匀分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：指数分布的分布函数与区间0，1上均匀分布的分布函数分别为 设 Y=G(X)的分布函数为 H(X)，对于分布函数 G(x)易见，当 y0 时， H(y)=PYy =PG(X)y=0； 当 y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=1； 当 0y1 时，H(y)=PYy=PG(X)y=PXy=1 一 e y 于是，Y=G(X)的分布函数 )解析：33.已知随机变量 X 的概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接应用 F(x)=PXx，F Y (y)=PF(X)y求解 ()令Y=F(X)，则由 0F(x)1 及 F(x)为 x 的单调不减连续 函数知(如图 21)，当 Y0 时 F Y (y)=0；当y1 时，F Y (y)=1；当 0y 时， F Y (y)=PF(X)y=PF(X)0+P0F(X)y 当 y1 时， F Y (y)=PF(X)y =PF(X)0+P0F(X) F(X)y =0+P0X1+P1XF 1 (y) 综上得 )解析：
